Desenvolvendo Algoritmos Quânticos Utilizando uma Linguagem Funcional

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1 Desenvolvendo Algoritmos Quânticos Utilizando uma Linguagem Funcional Marcos B. Cardoso, Renata H. S. Reiser, Antônio C. R. Costa 1 Escola de Informática - Universidade Católica de Pelotas (UCPel) Rua Felix da Cunha, Pelotas - RS - Brasil {mbcardo,reiser,rocha}@atlas.ucpel.tche.br Abstract. This article approaches the functional modeling for the quantum computation. This approach is based in the work developed for AMR SABRY and intends besides implementing what SABRY suggested, develop more quantum algorithms to execute tests in the model. Resumo. Este artigo aborda a modelagem funcional para a computação quântica. A mesma está baseada no trabalho desenvolvido por AMR SABRY e pretende além de implementar o que por SABRY foi sugerido desenvolver mais algoritmos quânticos para executar testes no modelo. 1. Introdução O desenvolvimento e a análise de novos algoritmos que possam usufruir dos benefícios providos pelo paralelismo quântico [Rieffel and Polak, 2000] desperta grande interesse da comunidade científica, como intuito de aproveitar todo o poder computacional provido pelo computador quântico. Este trabalho propõe o estudo e implementação destes algoritmos, teoricamente mais rápidos que os algoritmos desenvolvidos para os computadores convencionais, denominados de algoritmos quânticos. Embora a grande maioria dos algoritmos quânticos desenvolvidos atualmente utilizem linguagens de programação imperativa, neste trabalho segue-se a proposta introduzida em [Sabry, 2003], de aplicação da programação funcional na modelagem das computações quânticas. Mais especificamente, na implementação de algoritmos básicos da computação quântica faz-se uso da linguagem funcional Haskell [Bird, 1988], cuja semântica acessível utiliza construções lógicas do Cálculo Lambda (λ-calculus). Ciente de que a programação puramente funcional não possui estruturas de controle, este trabalho utiliza-se do conceito de mônadas [Wadler, 1995], viabilizando a possibilidade de discretizar passos de um programa, lidando com transformações de estados, exceções e continuações. Tendo em vista que todo modelo de computação quântica deve comprometer-se com a interpretação da Mecânica Quântica [Hirvensalo, 2001], a metodologia sugerida por Amr Sabry [Sabry, 2003] para modelagem de algoritmos quânticos engloba efeitos colaterais globais, podendo ou não estarem relacionados com a realidade física. Nesta abordagem, para a representação de qubits (bits quânticos) define-se um novo tipo de dado na linguagem, interpretando o vetor quântico como um estado de memória. Esta interpretação deixa implícita a superposição de estados, ou seja, a possibilidade de um bit quântico assumir mais de um valor (Falso, Verdadeiro ou Falso e Verdadeiro), simultanemente. Bolsista PRO-BIC/FAPERGS.

2 A partir desta representação pode-se ser explorado o paralelismo quântico e tornase viável o tratamento das operações básicas como a negação de operadores e o operador and, ambos caracterizados como operadores reversíveis. Com base nestes resultados, o objetivo deste trabalho foi estender a implementação introduzida em [Sabry, 2003] para outros algoritmos básicos da Computação Quântica. Neste trabalho foram estudados os conceitos fundamentais da linguagem Haskell incluindo a aplicação da técnica de valores virtuais para implementação de algoritmos quânticos, com análise e especificação de tipos de dados quânticos (clássicos, sobreposição e emaranhados), atribuição de valores, transformações unárias e modelgem de medidas. 2. Computação Quântica A evolução dos processadores com chips cada vez menores e mais rápidos, converge para o estudo da nanôtecnologia. Isso significa que estamos nos aproximando dos limites físicos da matéria e para continuarem os avanços, será preciso abandonar o uso de transistores e partir para alguma estrutura mais eficiente, justificando-se o interesse pela Computação Quântica [Rieffel and Polak, 2000]. A Computação Quântica consiste em um modelo de computação baseado nas leis da Mecânica Quântica [Oliveira et al., 2003]. São significaticvos os casos estudados, onde os procedimentos e os cálculos quânticos mostram-se capazes de realizar, em minutos ou horas, tarefas que levariam bilhões de anos em computadores clássicos. Estes resultados despertam um grande entusiasmo na comunidade científica e ao mesmo tempo uma grande busca pela compreensão e manipulação da chamada informação quântica O Computador Quântico O tempo que leva uma certa computação pode ser diminuído através da utilização de processadores paralelos. Para realizar uma redução exponencial no tempo é requerido um incremento no número de processadores, e conseqüentemente, implica em um aumento exponencial na quantia de espaço físico requerido. Contudo, em um sistema quântico, o aumento na quantia física implica apenas em um aumento exponencial do paralelismo no sistema. Assim, para se obter um aumento exponencial relacionado ao paralelismo é necessário apenas um aumento linear na quantia de espaço físico, efeito este chamado paralelismo quântico. Em um computador temos, por exemplo, capacitores que carregados estão representando 1, e quando descarregados, representam 0. A partir disso, pode-se lidar com as informações. Quando utilizamos átomos, fótons, ou outros sistemas desse tipo, podemos aproveitar as propriedades da Mecânica Quântica para construirmos computadores mais rápidos que os atuais O Funcionamento do Computador Quântico Funciona Uma partícula quântica é similar a um elétron ou núcleo atômico, onde o mesmo aceita dois estados ao mesmo tempo, ou seja, com seu giro(spin) positivo e negativo. Assim, a construção do bit quântico, ou qubit, é obtida. Quando o spin está positivo, o átomo pode ser lido como 1, e quando o spin for negativo, o átomo pode ser lido como 0. Isto corresponde ao sistema digital de 1s e 0s que os computadores tradicionais utilizam. O giro de um átomo para positivo ou negativo é o mesmo que mudar o estado de um transistor de ligado para desligado, onde ambos representam dados em termos de 1s e 0s.

3 Os qubits diferem dos bits dos computadores digitais tradicionais, porque um átomo ou núcleo pode estar em um estado de superposição, representando simultaneamente ambos 0 e 1 e tudo entre os mesmos. A combinação de superposições [de Lima et al., 2003] e correlações permitem um computador quântico ter um enorme poder computacional, permitindo e execução cálculos em paralelo, de maneira não-linear e, exponencialmente, mais rápido que os computadores convencionais Princípio da Incerteza Uma das afirmações feitas pela Mecânica Quântica é de que não podemos determinar ao certo a trajetória de uma partícula.esta insegurança em não saber como administrar algo que não pode ser determinado é denominada Princípio da Incerteza. O conteúdo físico de uma partícula livre com momento linear preciso e com energia precisa, não possui localização espaço-temporal 1, ou seja, existe uma imprecisão infinita sobre a sua posição. Em Mecânica Quântica, mantendo a precisão sobre o momento, perdemos toda a precisão na posição Superposição Coerente Outro fato bastante interessante e relevante da Mecânica Quântica é o de possuir partículas (fótons, elétrons, etc) em mais de um estado diferente ao mesmo tempo. Este fenômeno é chamado de fenômeno da superposição. O experimento apresentado na Figura 1 mostra a reflexão um único fóton em um espelho semiprateado, ou seja, um espelho que reflete exatamente metade da luz que o atinge, enquanto que o restante da luz passa através dele. Figure 1: Fóton refletido em um espelho semi-prateado. Parece sensato afirmar que o fóton está tanto no feixe transmitido quanto no feixe refletido, com a mesma probabilidade. Na verdade, se colocarmos 2 fotodetectores além do espelho semiprateado, em linha reta com os dois feixes, o fóton será registrado com a mesma probabilidade tanto no detector 1 quanto no detector 2. Na verdade o fóton toma os dois caminhos de uma vez. Isto pode ser demonstrado recombinando os dois feixes com a ajuda de dois espelhos completamente prateados e colocando outro espelho semiprateado no ponto de encontro dos feixes, com mais dois fotodetectores na linha direta dos feixes, como mostra-se na Figura 2. Parece-nos óbvio que o fóton deve de alguma forma ter viajado nas duas rotas de uma só vez, pois se uma tela absorvente for colocada no caminho de alguma das duas rotas, então a probabilidade do detector 1 e do detector 2 ser atingido tornar-se-á igual. Podemos observar este fenômeno na Figura 3. 1 Esta partícula é uma onda que está espalhada por todo o espaço.

4 Figure 2: Fóton refletido em um espelho semiprateado e dois completamente prateados. Figure 3: Fóton refletido em um espelho semiprateado, um prateado obstruído e outrto não. Bloqueando um dos caminhos, permite-se que os dois detectores sejam atingidos. Se as duas rotas estiverem abertas, o fóton, de alguma forma, sabe que não lhe é permitido atingir o detector 2. É, entretanto, perfeitamente legítimo afirmar que entre os dois espelhos semiprateados o fóton tomou os dois caminhos: o refletido e o transmitido, ou seja, o fóton está em uma superposição coerente, entre estar no feixe transmitido e no feixe refletido simultaneamente Notação O qubit é representado por um sistema quântico[schüler and Alvares, 2001] de dois estados que é constituído por apenas uma partícula. Um sistema quântico de dois estados é descrito por um vetor unitário complexo no espaço de Hilbert C 2. O espaço de Hilbert é um espaço vetorial complexo. Os dois estados do sistema quântico são representados por: 0> e 1>. O estado 0> é representado pelo vetor complexo (1,0) em C 2 enquanto que o estado 1> é representado pelo vetor (0,1). Os vetores (1,0) e (0,1) ou 0> e 1> constituem a base ortogonal no espaço de Hilbert. Para ilustrar, abordaremos um registrador quântico de 3 qubits. Esse registrador é representado pela superposição linear de seus oito autoestados como segue: c 1 000> + c 2 001> + c 3 010> + c 4 011> + c 5 100> +c 6 101> + c 7 110> + c 8 111>. Para reduzir a notaçao notação, considera-se x 1 = 000>, x 2 001>, x 3 = 010>... x 8 = 111>. Sejam c 1..c 8 são amplitudes de probabilidade, então 8 j=1 ( C j ) 2 =1. O estado de um registrador quântico de n qubits é a superposição linear de 2 n autoestados. Uma superposição uniforme de autoestados é uma superposição linear de estados onde todos os autoestados apresentam a mesma amplitude de probabilidade.

5 Comprimento do Número a ser Fatorado (em Bits) Tempo de Fatoração por Algoritmo Clássico Tempo de Fatoração com o Algoritmo de Shor dias 34 segundos mil anos 4,5 minutos mil bilhões de anos 36 minutos bilhões de quadrilhões de anos 4,8 horas Table 1: Comparações entre os tempos estimados para fatoração de números de comprimentos diferentes com um algoritmo clássico e com o de Shor 3. Algoritmo Quântico Algoritmos Quânticos são desenvolvidos de forma que se possa minimizar a complexidade do código e aumentar a eficiência computacional, quando comparados com algoritmos rodados em computadores convencionais [Emberson, 2002]. Dentre os algoritmos quânticos já definidos, serão comentandos nesta seção, dois dos algoritmos mais conhecidos: o algoritmo de Shor e o algoritmo de Grover [Hirvensalo, 2001] Algoritmo de Shor Em 1994, Peter Shor [Shor, 1994] desenvolveu um algoritmo para fatorar em tempo polinomial (ou probabilístico) n-dígitos em um computador quântico. Um dos algoritmos clássicos mais eficiente atualmente, tem seu tamanho de entrada exponencial. A relevência do algoritmo de Shor [Hayward, 1999b] esta em apresentar a possibilidade de aplicação da Computação Quântica em relevantes áreas da Ciência da Computação, como a Criptografia e a Codificação de Dados. O algoritmo de Shor propõe a fatoração de números grandes utilizados na maioria dos mundos sistemas de criptografia. Se um método eficiente de fatorar números grandes é implementado, a maioria das cenas de encriptação atuais seriam quase que inúteis na proteção de dados. A tabela 1 mostra algumas comparações entre esses tempos estimados para fatoração de números de comprimentos distintos. No caso do algoritmo clássico (coluna do meio), o tempo é estimado com base na velocidade dos processadores atuais. Acreditava-se que nenhum algoritmo seria eficiente o bastante a ponto de poder quebrar a segurança de sistemas criptográficos. Dentro desta perspectiva, tem-se como exemplo, o algoritmo de RSA, extensamente usado na codificação de protocolos, e cuja segurança se baseia na dificuldade da solução para este problema Algoritmo de Procura de Grover Grover [Hirvensalo, 2001] desenvolveu um algoritmo para ser utilizado na procura de dados não ordenados em base de dados. Embora esse algoritmo não possua uma eficiência tão grande quanto o algoritmo de Shor, ele permite a solução de problemas que seriam não computáveis em computadores clássicos. Suponha que você tem um sistema com N = 2 n estados, etiquetado S 1, S 2,... S N. Estes estados de tamanho 2 n são representados por strings de n bit s. Suponha que há um elemento marcado S m que satisfaça a condição C(S m ) = 1, e que, para todos estados restantes C(S) = 0. Além disso, suponha que C pode ser avaliado em um tempo unitário [Hayward, 1999a].

6 A idéia do algoritmo de Grover é colocar o registo em uma superposition igual de todos os estados, e então, inverter seletivamente a fase do estado marcado. Neste momento, o algoritmo e executa uma inversão sobre uma operação média um número de vezes. A inversão seletiva do estado marcado segue pela inversão sobre as etapas médias e tem o efeito de aumentar a amplitude do estado marcado por O(1/ N). Conseqüentemente, após O( N) operações de probabilidade a medição de todos os estados marcados aproxima-se a Computação Quântica em Haskell O trabalho de SABRY [Sabry, 2003] se baseia na forte conexão entre programação funcional pura e a Computação Quântica. A programação funcional se mostra interessante para esta abordagem, pois a mesma inclui a noção pré-definida de paralelismo (mesmo que essa noção seja qualitativamente diferente) e está baseada em fundamentos matemáticos (espaços vetoriais, álgebra de matrizes, etc.) que podem ser modelados de forma elegante em uma linguagem funcional. O modelo de Computação Quântica em Haskell possui dois objetivos maiores: Explicar a Computação Quântica em um nível de abstração familiar à comunidade de linguagem de programação, aos invés dos modelos usados pelos físicos. Elicitar as conexões entre Computação Quântica e programação funcional e avaliar a adequação das abstrações funcionais ao domínio da Computação Quântica. Como qualquer outro, este modelo operacional da Computação Quântica também se compromete com a interpretação da Mecânica Quântica, a qual tem sido, e ainda é, assunto de debate entre os físicos. O modelo implementa o mecanismo de colapso da função de onda, inerente à medição. Contrariamente a investigações preliminares, as abstrações da programação funcional (tais como realizadas em Haskell) não são tão adequadas assim à Computação Quântica. Os desacordos são, entretanto, bastante instrutivos. Primeiro, eles explicam alguma coisa da essência da Computação Quântica, naquilo em que ela difere da programação funcional. De modo muito significativo, ao contrário do que acontece com programas funcionais, o raciocínio sobre sistemas quânticos é não-composicional, o que exige novas abstrações Dados Quânticos Os blocos básicos da Computação Quântica são os qubits. Depois de definidos os qubits, como um tipo de dado similar ao tipo clássico Bool, generaliza-se a construção para outros tipos de dados Tipos de Dados Enumerados Em Haskell, o tipo de dado booleano e seus construtores são definidos como segue: data Bool = False True Um valor do tipo Bool pode ser ou False ou True, mas nunca igual a ambos ao mesmo tempo. Em contraste, qubits ou booleanos quânticos, cujo tipo é denotado por QV Bool, são valores da seguinte forma geral:

7 α False + β True onde α e β são números complexos representando amplitudes de probabilidade, cada construtor c é interpretado como um vetor unitário c, e + é a adição de vetores. Tal valor booleano quântico é, de alguma maneira, False e True ao mesmo tempo, e essa superposição pode ser explorada em computações quânticas. Por exemplo, a superposição poderia ser usada para explorar dois caminhos alternativos de uma computação em paralelo. O uso de números complexos para representar as amplitudes de probabilidade significa que as amplitudes de probabilidade tem uma fase e, portanto, podem se reforçar uma à outra ou cancelar uma à outra durante computações intermediárias. Em última instância, entretanto, os únicos observáveis são ainda apenas o False e o True Funções/Operações Na situação clássica, o único operador unário não-trivial sobre booleanos é a função not definida como segue: not False = True not True = False A correspondente função sobre valores booleanos quânticos mapeia o valor geral (α False +β True ) para (β False +α True ). Ela pode ser definida como segue: qnot f :: QV Bool -> QV Bool qnot f v = qv [(False, pr v True), (True, pr v False)] É fácil verificar que qnot f qfalse tem o valor qtrue, e vice-versa. Naturalmente, qnot f também pode ser aplicado a valores mistos como qft. Por causa da estrutura mais rica dos booleanos quânticos podem-se definir outras funções, além do simples qnot f Medições Os valores, resultantes de Computação Clássica ou de Computação Quântica, devem ser observados no final para comunicar resultados para o mundo exterior. Em um modelo de programação clássica, o processo de observar um valor, simplesmente retorna o valor. Em um modelo quântico, o processo de observação é um pouco mais complexo e o mesmo precisa ser tratado. 5. Conclusão O trabalho de pesquisa está inserido dentro de uma abordagem atual e muito interessante, exigindo uma sua base teórica, tanto nos aspectos fundamentais da Computação Quântica quanto no paradigma da programaçao funcional. O trabalho ainda está na fase de estudo, análise, compreensão e implementação de algoritmos básicos, centrado na metodologia proposta por AMR SABRY [Sabry, 2003].

8 O trabalho explica também como Amr Sabry definiu a Computação Quântica em conjunto com a linguagem funcional, incluindo exemplos de como os dados quânticos e funções quânticas foram definidas. As idéias fundamentais da Computação Quântica foram brevemente discutidas, tornando explicitas as principais vantagens de sua utilização, seu funcionamento e aspectos essenciais para sua aplicação. Está previsto a realização de aplicações e o desenvolvimento de testes para os algoritmos com intúito de validar a implementação que está em desenvolvimento. References Bird, R. (1988). Introduction to Functional Programming. Prentice Hall. de Lima, A. R., de Souza, A. R., Isidro, C. R. G., da Silva, M. A. H., Herbster, R. F., and Vilar, V. S. (2003). Superposição Coerente. Emberson, P. (2002). Quantum Algorithm Designer. Hayward, M. (1999a). Quantum computing and grover s algorithm. Hayward, M. (1999b). Quantum computing and shor s algorithm. Hirvensalo, M. (2001). Quantum Computing. Springer Verlag. Oliveira, I. S., Sarthour, R. S., Bulnes, J. D., Belmonte, S. B., Guimarães, A. P., de Azevedo, E. R., Vidoto, E. L. G., Bonagamba, T. J., and Freitas, J. C. C. (2003). Computação quântica manipulando a informação oculta do mundo quântico. Ciência Hoje, 33(139): Rieffel, E. G. and Polak, W. (2000). An Introduction to Quantum Computing for Non- Physicists. Sabry, A. (2003). Modeling quantum computing in haskell. In ACM SIGPLAN 2003 Haskell Workshop. Schüler, J. P. S. and Alvares, L. O. C. (2001). Operações lógicas quânticas e colorabilidade de grafos. In Jornadas Chilenas de Computação, Puntarenas. Shor, P. W. (1994). Algorithms for quantum computation: Discrete logarithms and factoring. In IEEE Symposium on Foundations of Computer Science, pages Wadler, P. (1995). Monads for functional programming. Lecture Notes in Computer Science, 925:24??