Lista Definimos uma rotação em termos de um vetor unitário que difine o plano da rotação e o ângulo em torno deste vetor.

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1 Lista 4 1. Definimos uma rotação em termos de um vetor unitário que difine o plano da rotação e o ângulo em torno deste vetor. = ( ) (a) Mostre que a rotação própria (o que não envolve inversão dos eixos, mantendo sistema destrogiro) pode ser representada em termos de matriz 3 3 orthogonal com determinante +1. (b) Prove que, para uma matriz (3 3) ortogonal com determinante +1 vale det =0 (1) onde é a matriz de identidade. Com isto, conclua que a matriz possui o autovalor igual a +1 (c) A matriz possui 3 autovalores. Mostre que o produto de 3 autovalores é 1 (d) Prove que os dois autovalores que não igual a +1 do ite ) acima são complexos para 6= 0e um conjugado de outro. (e) Determine os dois autovalores do item d. O que representam outros 2 autovalores? (f) Mostre que para quaisquer rotações, ( 1 1 ) e ( 2 2 ),arotação consecutiva destas também é uma rotação definida acima. (g) Mostre que o conjunto de todas as rotações, i.e., o conjunto ( ); ( ) ª forma um grupo. (h) Mostre que o grupo acima é não Abeliano. (i) Quando infinitesimal, chamamos a rotação infinitesimal. Mostre que duas rotações infinitesimais são comutativas (o resultado das rotações consecutivas não depende da ordem das rotações). 2. Considere daus rotações consecutivas, a primeira, 1, 45 graus em torno do eixo, a segunda, 2 45 graus em torno do eixo. Obtenha a direção e o ângulo de rotação da rotação resultante, = Mostre que, para uma dada matriz, lim ³1+ X 1 =! =0 desde que a série converge. 4. Mostre que a matriz corresponde a rotação ( ) pode ser escrita por ( ) = ( Σ) (2) 1

2 onde Σ = Σ Σ (3) Σ são matrizes (3 3) hermitianas e obtenha suas formas explicitas. 5. Argumente que a representação, ( ) ( ) (4) do grupo de rotação é uma representação irredutível. 6. Definimos os operadores de momento angular orbital como = = (5) (a) Usando as regras de comutação entre e demonstre que os componentes do momento angular definido acima satisfaz a algebra de Lie, [ ]= [ ]= [ ]= (6) (b) Considere a rotação do sistema por angulo emtornodoeixo A nova função de onda em coordenadas cartesianas fica ( ) ( ) = ( cos sin cos + sin ) (7) Demonstre explicitamente que ( ) = ( ) (8) Analogamente mostre que a rotação por angulo emtornodoeixo fica ( ) = ( ) (9) e em torno do eixo por angulo fica (c) Introduzindo novos operadores, ( ) = ( ) (10) + = + 0 = =( +1 ) = (11) recalcule a algebra de Lie nestes operadores. 2

3 (d) Definindo 2 = (12) demonstre que 2 é um operador de Casimir da algebra de Lie. (e) Expresse 2 em termos de { + 0 } em 2 formas possiveis. (f) Argumente que podemos diagonalizar simutaneamente os operadores, 2 e (g) Denotamos os autoestados acima por i (h) Demonstre que temos 2 i = i (13) i = i (14) ± i = ± ( ) ± 1i (15) (i) Para um valor fixo, demonstre que tem que existir o valor máximo de max,talque + ( max )=0 (16) e também tem que existir o valor mínimo de min,talque ( min )=0 (17) (j) Prove que existe inteiro não negativo, tal que min = max (18) (k) Mostre que o valor de é determinado pelo max ou min (l) Mostre que min = max = (19) onde é um número inteiro ou semi-inteiro, não negativos. (m) Mostre que = ( +1) (20) Daqui adiante, denotamos os autovetores i por i com (21) (n) Fixando, obtenha os elementos de matrizes, h 0 i (22) h 0 i (23) h 0 i (24) 3

4 (o) Para dado, prove que, o conjunto de autovetores, { i } (25) constitui a base para uma representação do grupo de rotação irredutível. (p) Demonstre que em termos de função de onda, a atuação destes operadores em cordenadas esfêricas ficam µ hr i = sin +cotcos µ hr i = cos +cotsin µ 1 hr L 2 i = sin 2 (r) (26) (r) (27) hr i = (r) (28) sin µ sin (r) (29) 7. Sejam µ 1 + = 0 µ 0 = 1 os autoestados do componente do elétron que tem spin 1/2. Expresse nesta base, o autoestado do componente do spin na direção de = (sin cos sin sin cos ) 8. Uma partícula de spin 1 está no autoestado de seu componente com = 1 (polarizada). Ela está localizada na origem do sistema de coordenadas (por exemplo, no estado fundamental de um oscilador harmônico). Ela decai em duas partículas sem spin que saem do sistema como partículas livres. Obtenha a distribuição angular das partículas. 9. No mesmo problema anterior, o que acontece se a partícula que decai não esteja polarizada? Considere os casos de estado misto e estado puro. 10. Os autoestados de um oscilador harmonico tridimensional isotrópico podem ser classificados em termos de números quânticos de osciladores unidimensionais nas direções, e (chamaremos por conveniência, es Por outro lado, eles podem também ser classificados em termos de autoestados de momento angular. Obtenha, por exemplo, na terceira nível de energia, a relação entre os estados cartesianos e os de momento angular.(dica: Utilize a relação entre e 1 ). 4

5 11. Definimos a função de correlação por ( ) =( + ) () onde () é o operador de Heisenberg correspondente ao operador de Schrödinger. a) Mostre que ( ) é independente de, ouseja ( ) =(0)=()(0) paraoautoestadodohamiltonianodosistemaquenãodependeexplicitamente no tempo. b) Calcule () para um pacote de onda de uma partícula livre, = e interprete o resultado. 12. Um feixe de elétron está no estado de spin misto, com probabilidade 12 da componente de spin positivo e 12 negativo. Prove que este estado é tambem um estado misto com probabilidade 12 da componente do spin positivo e 12 negativo. Generalize o resultado em relação ao estado de máxima entropia (estado misto com igual probabilidade em todos estados). Por outro lado, qual é a forma de matriz de densidade se o feixe está num estado puro, onde tem a probabilidade 12 da componente de spin positivo e 12 negativo. Compare as diferenças entre as duas matrizes de densidades. 13. Calcule a matriz de rotação formado de elemento de matrizes D () ( ) 0 = h ( ) 0 i para =12 e =1explicitamente, onde ( ) é a rotação especificado pelos angulos de Euler, e Para essas matrizes, verifique que vale D () ( ) =D () ( 0 0) D () (00) D () (0 0) e considere sua razão. 14. Considere um sistema de duas partículas 1 e 2Expresse o autoestado de momento angular do sistema, i em termos de combinação linear de produtos diretos dos autoestados de momento angular do sistema i edosistema2 2 2 i i = X ( : ) 1 1 i 2 2 i onde os coefientes ( : ) é chamado de Coeficientes de Clebsch- Gordan (as vezes denotado por ( : ) h i. 5

6 (a) Construa o procedimento de obter os coeficientes de Clebsch-Gordan como a representação irredutível do grupo de rotação do sistema composto e demonstre que, para um dado par de ( 1 2 ) o valor de é limitado por (b) Calcule os coeficientes de CG para o caso de 1 = 2 =12 e 1 = 2 =1 6