Lista Considere um oscilador harmonico tridimencional com o potencial, resolve a Equação de Schrödinger independente no tempo

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1 Lista 8. Considere um oscilador harmonico tridimencional com o potencial, V = m 2 ( ω 2 x x 2 + ω 2 yy 2 + ω 2 zz 2), onde ω x, ω y e ω z representam as frequências deste oscilador (clássico) nas direções, x, y e z, respectivamente. (a) Escrevendo ψ (x, y, z) x, y, z ψ. resolve a Equação de Schrödinger independente no tempo [ 2 2m 2 + m ( ω 2 2 x x 2 + ωyy ωzz 2 2)] ψ E (x, y, z) = Eψ E (x, y, z), () com método de separação de variáveis em x, y e z e obtenha os autovalores do Hamiltoniano. (b) Dependendo dos valores de frequência ω x, ω y e ω z, o espectro de energia apresenta degenerescência. Em que situações? Classifique. (c) Em que situação que apresenta a degenerescência maior? 2. Consideramos dois operadores unitários U e U 2. Se U e U 2 não comutam, mas o Hamiltoniano do sistema H comutam com ambos os operadores, [U, U 2 ] 0, [H, U ] = 0, [H, U 2 ] = 0. Prove que, nesta situação, deve existir a degenerescência no espectro do H. 3. Introduzindo o sistema de coordenadas esféricas, x = r sin θ cos φ, (2) y = r sin θ sin φ, (3) z = r cos θ, (4)

2 (a) Prove que 2 = r 2 r r2 r + r 2 sin θ (b) Definindo operador de momento angular, θ sin θ θ + r 2 sin 2 θ 2 φ 2. (5) ˆL = ˆr ˆP, (6) expresse ˆL em termos de coordenadas esféricas, L x = ( sin φ ) + cos φ cot θ, (7) i θ φ L y = ( cos φ ) sin φ cot θ, (8) i θ φ L z = i φ. (9) (c) Calcule ˆL 2 (0) diretamente usando o resultado do item acima, e confere que ˆL 2 = 2 [ sin θ θ sin θ θ + sin 2 θ (d) Para um sistema que possui simetria esférica, 2 φ 2 ]. () H = 2 2m 2 + V (r), (2) onde o potencial é função de r apenas, demostre que a Equação de Schrödinger independente no tempo pode ser separada em variáveis radial e angulares, ψ (r, θ, φ) = R (r) Y (θ, φ), (3) e obtenha as equações para R (r) e Y (θ, φ). 2

3 4. Consideramos a transformação de variáveis, x = x (u, u 2, u 3 ), (4) y = y (u, u 2, u 3 ), (5) z = z (u, u 2, u 3 ). (6) Para pequena variações de variáveis u í s, a variação do vetor de posição r pode ser escrito onde com d r = du h e + du 2 h 2 e 2 + du 3 h 3 e 3, (7) e i = d r, h i du i (8) h i = d r du i. (9) Um sistema de coordenadas (u, u 2, u 3 ) é dito sistema de coordenadas ortogonais, quando satisfaz (a) Definindo os tres vetores, ( e i e j ) = δ ij. d r i = du i ξi = du i h i e i. expresse o volume dv do paralelepipedo reto-retangulo (bloco retangular) formado dos tres vetores d r, d r 2, d r 3 (20) em termos de h í s e du í s. No caso (r, θ, φ), mostre que dv = r 2 sin θ drdθdφ. (b) Mostre que podemos escrever em geral onde J é o Jacobiando da transformação. dv = Jdu du 2 du 3, (2) 3

4 (c) Demonstre que os vetores normais dos elementos de superfícies do paralelopípedo fica onde ɛ ijk é o símbolo de Levi-Civita. d σ ij = ɛ ijk h i h j h k d r k, (22) 5. Definindo J = r/ x θ/ x φ/ x r/ y θ/ y φ/ y φ/ z φ/ z φ/ z (a) Exlicite J em função de (r, θ, φ) (b) Calcule o inverso J = 6. Verifique que o operador x/ r y/ r z/ r x/ θ y/ θ z/ θ r/ φ y/ φ z/ φ. (23) p r = ( r p), (24) r não é hermitiano no espaço radial, onde o produto escalar entre duas funções radiais f (r) e g (f) é definido como (f, g) = 4π 7. Mostre que o operador definido como P r = i é hermitiano. Verifique que 2 0 r 2 dr f (r) g(r). ( r r + r r P r = r ). (25) d r. (26) dr 4

5 8. Calcule os comutadores [L i, L j ], (i, j) = (x, y, z), (27) [r, L i ], [P r, L i ], i = x, y, z [ ] L 2, L i, i = x, y, z. 9. Consideramos o problema de autovalor do momento angular. Temos [ sin θ θ sin θ θ + ] 2 sin 2 Y (θ, φ) = αy (θ, φ), (28) θ φ 2 (a) Fazendo a separação de variáveis, Y (θ, φ) = Θ (θ) Φ (φ), obtenha as equações para Θ (θ) e Φ (φ). (b) Obtenha Φ (φ) e determine os autovalores m para L z. (c) Introduzindo a nova variável, x = cos θ, re-escreva a equação de autovalor da função Θ. (d) Para o caso m = 0, escrevendo em série, Θ 0 = C n x n. (29) n=0 obtenha a fórmula de recorrência para C n. (e) Conclua que a série deve terminar com termo finito, e partindo com isso, obtenha o autovalor α. (f) Da questão acima, temos α = l (l + ) com l inteiros não negativos. Denontamos Θ 0 α=l(l+) (x) = P l (x), onde P l (x) é polinômio de ordem l. Argumente que P l (x) P l (x) dx δ ll (30) e com isso podemos identificar P l (x) como os polinômios de Legendre. 5

6 (g) A partir de fórmula da recorrência para C n, prove que ( ) x 2 dp l dx = l xp l + lp l, (3) (l + ) P l+ = (2l + ) xp l lp l. (32) (h) Mostre que a função de geratriz de polinômios de Legendre é dada por P l (x) s l F (x, s) l=0 0. Introduzindo as seguitnes combinações lineares, = 2xs + s 2. (33) L + = L x + il y, L 0 = L z, L = (L ) = L x il y, (34) mostre que [L +, L ] = 2L 0, (35) [L ±, L 0 ] = L ±, (36) [ L 2, L i ] = 0, i = ±, 0 (37). Como os L s não comutam entre si, não podemos construir autovetor simultaneo para todo mundo, mas pelo menos para um deles. Escolhendo L 0. L 0 comuta com L 2, podemos considerar um autovetor simultâneo dos dois, α, β, L 2 α, β = α α, β, (38) L 0 α, β = β α, β. (39) Aqui, assumimos que o autovetor é normalizado, α, β α, β =. (40) (a) Prove que estes autovalores devem satisfazer a desigualdade, α β 2. (4) ou α β α. (42) 6

7 (b) Mostre que L 0 L ± α, β = (β ± ) L ± α, β. (43) (c) Extrai as consequências mais geral da equação acima. (d) Conclua que devem existir o valor máximo β max e o valor mínimo β min de β tal que L + α, β max = 0, (44) (e) Mostre que L 2 pode ser escrito como L α, β min = 0. (45) L 2 = L L + L L 0, (46) ou L 2 = L L L + + L 0. (47) (f) Mostre que (g) Prove que (h) Prove que α = β 2 min β min, (48) α = β 2 max + β max. (49) β min = β max, 2β max = N, onde N é um inteiro. Escrevendo j = N/2, temos α = j (j + ). (50) (i) Quantos diferentes valores de β existem para um dado j? (j) Denotamos os autovetores como L 2 j, m = j(j + ) j, m, (5) L z j, m = m j, m, (52) com j m j, onde j é um número inteiro, ou semi-inteiro. Escrevendo L + j, m = N + j, m +, (53) L j, m = N j, m. (54) determine as constantes de normalização N ±. N ± = (j m)(j ± m + ). (55) 7

8 2. Podemos decompondo a base de coordenada { r } em parte radial e angular, r = r Ω, onde r é o autoestado de coordenada radial r, e Ω = θ, φ é o autoestado de coordenada angular, Ω = (θ, φ). Aqui a base dos estados angulares Ω > satisfaz as propriedades, d Ω Ω Ω = Ω (56) onde Ω representa a identidade no subespaço integral. { } Ω com a medida de π 2π d Ω = sin θdθ dφ. (57) 0 0 ou seja, o produto escalar das funções de ondas ψ (Ω) = Ω ψ e φ (Ω) = Ω φ é definido por ψ φ = d Ω ψ (Ω) φ (Ω). (58) (a) Mostre que a ortogonalidade pode ser expressa como Ω Ω =δ 2 ( Ω Ω ) = δ(cos θ cos θ )δ(φ φ ). (59) (b) Identificando mostre que Y jm (θ, φ) = Ω j, m, (60) d ΩY l m( Ω)Y lm ( Ω) = δ ll δ mm. (6) (c) Mostre que vale a relação de completeza para um dado l l m= l l, m l, m = l (62) onde l é o operador de identidade no espaço de l fixo. Este espaço tem a dimensão (2l + ) (2l + ). (d) Mostre que l m= l Y lm (Ω )Y lm(ω) = δ(cos θ cos θ )δ(φ φ ). (63) 8

9 (e) Mostre que Y l,m (θ, φ) = (f) Mostre que podemos escrever (g) Mostre que com i φ Y l,m(θ, φ) = my l,m (θ, φ), (64) [ i θ cot θ ] Y l,l (θ, φ) = 0. (65) φ ( e iφ (l + m)(l m + ) θ + i cot θ φ ) Y l,m (θ, φ). (66) Y lm (θ, φ) = Θ m l (θ) e imφ. (67) Y l,l = N l e ilφ sin l (θ). N l = ( ) l 2l + (2l)!, 4π 2 l l! fora o fator ( ) l que foi escolhido pela conveniência. (h) Mostre que ( ) θ + m cot θ Y l,m (θ, φ) = sin m θ θ sinm θy l,m (θ, φ), e portanto temos Y l,m (θ, φ) = e iφ (l + m)(l m + ) sin m θ θ sinm θy l,m (θ). (i) Mostre que para m 0, Y l,m (x, φ) = ( ) l m (2l + ) (l + m)! d ( ) 2 l l! 4π (l m)! eimφ x 2 2l ( x 2 ) m/2 dx com x = cos θ. 9

10 (j) Mostre que para m < 0, podemos definir Y l,m (θ, φ) = ( ) m Y l, m (θ, φ). (68) 3. Mostre que a função de onda de uma partícula livre pode ser escrita como l ψ E (r, θ, φ) = α lm j l (kr) Y lm (θ, φ). (69) l=0 m= l 4. No caso de ψ E (r, θ, φ) é a onda na direção z, ψ E (r, θ, φ) e ikr cos θ (70) (a) argumente que a somatório em m não deve existir, e podemos escrever 2l + e ikr cos θ = α l j l (kr) 4π P l (cos θ). (7) (b) Determine α l. l=0 5. Considere o poço de potencial esférico. { V0, V ( r) = V (r) = 0, 0 r < a r a. (a) Deduza a equação para a função de onda radial R l (r) com o momento angular l. (b) Mostre que a solução interna do potencial é onde R l (r) = Aj l (kr), (72) 2m k = (V 0 + E). 2 (c) Analize o comportamento da R l (r) fora do potencial quando E < 0 e determina a solução. (d) Obtenha a condição de ter um estado ligado e determine graficamente os autovalores da energia para l = 0 (estadof de onda s). Qual é a condição para a qual não exista nenhum estado ligado? E para existir apenas duas estados ligados? 0

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