Equação de Dirac e o Átomo de Hidrogênio
|
|
- Orlando Cavalheiro Tomé
- 6 Há anos
- Visualizações:
Transcrição
1 Equação de Dirac e o Átomo de Hidrogênio Rodrigo Andrade e Silva Mecânica Quântica 2 Introdução A equação de Dirac fornece o análogo da equação de Schrodinger para uma mecânica quantica relativistica, isto é, uma equação diferencial covariante no espaço-tempo de Minkowski que descreve os estados quânticos de uma partícula. Neste texto a equação de Dirac será introduzida, mas a enfase será dada em alguns de seus resultados ao inves das suas motivações. Como uma simples aplicação, mostrarei como o conceito de spin /2 surge naturalmente desta equação, e como o fator giromagnético pode ser diretamente obtido quando consideramos a presença de um campo eletromagnético. Por fim, e mais importante, desenvolverei a solução exata dentro de algumas hipóteses para um atomo hidrogenóide, e assim poderemos comparar os niveis de energia exatos com os niveis obtidos atraves de teoria de perturbação, no limite pouco relativistico. Equação de Dirac Na mecanica classica a energia de uma particula livre, com massa m e momento linear p é simplesmente E = p2 o que se traduz num hamiltoniano quântico operador hermitiano atuando no espaço de Hilbert dos estados quanticos, H = P 2 sendo P o operador vetorial momento linear, que na representação de posição fica 2 P = i 3 e H, pela equação de Schrodinger, H = i t 4 Desta maneira, se H atuar num autoestado do momento linear, ele retornará uma energia dada pela relação de disperção classica, dada na equação. No caso relativistico devemos
2 modificar a equação de Schrodinger para torna-la covariante e para que ela forneça a relação de dispersão relativistica, E 2 = p 2 c 2 + m 2 c 4 5 A equação de Klein-Gordon foi uma tentativa de se fazer isto, simplesmente substituindo E por H, dado em 4, e p por P, dado em 3. Assim obtemos uma equação hiperbólica de segunda ordem que, em coordenadas inerciais, fica [ µ µ + m 2] Ψ x, t = 6 Na equação acima foi usado um sistema de unidades em que c = =. Este sistema de unidades será adotado ao longo de todo o texto, a partir daqui. Também consideraremos a assinatura da metrica como +,,,. Um dos problemas da equação de Klein-Gordon é que a quantidade conservada isto é, que satisfaz a equação de continuidade não é necessariamente positiva, o que torna dificil de interpreta-la como densidade de probabilidade, como se faz na mecanica quantica nãorelativistica. Também podemos notar que esta equação depende da segunda derivada temporal, e especificar o estado quantico numa dada seção espacial não é suficiente para saber como ele evolui no tempo, o que é essencialmente diferente do caso não relativistico. Dirac então buscou uma equação de primeira ordem no tempo, covariante, que satisfizesse a relação de dispersão relativistica para partículas livres e que possuisse uma quantidade conservada positivo-definida. Vamos tentar algo da forma, [iγ µ µ m] Ψ x, t = 7 em que os objetos γ µ e m devem ser determinados. Supondo que m comute µ ou seja, m é um objeto independente das coordenadas, e atuando com iγ ν ν m na equação acima, obtemos, [ γ ν ν γ µ µ + m 2] Ψ x, t = 8 que é extramamente semelhante à equação de Klein-Gordon, se m for identificada com a massa da particula. Mas sabemos que a equação de Klein-Gordon satisfaz a relação de dispersão relativistica, então, supondo que γ µ comuta com a derivada, e impondo que γ ν γ µ ν µ = µ µ, temos que 2 γν γ µ + γ µ γ ν = η µν 9 sendo η µν = diag,,, a metrica de Minkowski. Da equação acima então obtemos, γ µ 2 = ± sendo que o sinal + se aplica para o caso µ = e o para os outros. e também, γ ν γ µ = γ µ γ ν e com esta relação vemos que γ µ não podem ser numeros complexos, pois eles não comutam. De fato, se estes objetos puderem ser realizados com matrizes, então elas teriam traço nulo, já que trγ µ = ±trγ ν γ ν γ µ = ±trγ ν γ µ γ ν = trγ µ γ ν γ ν = trγ µ =. Portanto estes 2
3 γ µ também não poderiam ser realizados por matrizes bidimensionais, uma vez que matrizes 2x2 de traço nulo cobrem um espaço tridimencional apenas. A primeira realização possivel é com matrizes quadridimensionais. Neste caso, Ψ pode ser pensado como um vetor coluna de 4 componentes, e m seria m, sendo a matriz identidade mas isto será omitido. Usando as definições usuais do hamiltoniano e do momento, dadas em 4 e 3, podemos reescrever a equação de Dirac como ou, alternativamente, multiplicando esta equação por γ, γ µ p µ m = 2 H = α p + βm 3 sendo α i = γ γ i e β = γ. Note que este conjunto de matrizes é completamente equivalente ao conjunto γ µ. Para que o hamiltoniano acima seja hermitiano, α e β também devem ser e podemos escolhe-los como, σ α = 4 σ e β = sendo que cada entrada das matrizes acima são matrizes 2x2, com os σ indicando as matrizes de Pauli. Pode-se verificar que os γ µ correspondentes satisfazem as equações e. Antes de terminar esta seção introdutória, vale citar que a quantidade Ψ Ψ satisfaz a equação da continuidade e é claramente positiva, podendo ser naturalmente interpretada como densidade de probabilidade. Particula Livre Para entender o significado das componentes da função de onda vamos considerar uma solução do tipo onda plana para uma particula livre, isto é, proporcional a e ipµ x µ. Note que aqui p µ é um 4-vetor comum, e não um operador. Por simplicidade, consideremos que o seu momento está na direção ẑ, ou seja, sua função de onda é proporcional a e iet pz. A equação para as auto energias então fica m pσz pσ z m ψ ψ 2 ψ 3 ψ 4 = E ψ ψ 2 ψ 3 ψ e podemos ver que só há acoplamento entre as componentes ψ e ψ 3 ou ψ 2 e ψ 4. As autoenergias são E = ± p 2 + m 2, ou seja, consistentes com a relação de dispersão relativistica, mas há possibilidade de estados com energia negativa. Para energia positiva podemos ter uma superposição dos estados, u + R = p p 2 +m 2 +m, u+ L = A 4-corrente associada é j µ = Ψ γ γ µ Ψ e satisfaz µj µ =. p p 2 +m 2 +m 7 3
4 e para energia negativa temos algo similar, p p u R = 2 +m 2 +m, u L = p p 2 +m 2 +m 8 Podemos observar que no limite pouco relativistico p m a função de onda para energia positiva é praticamente apenas constituida das duas componentes superiores. Podemos pensar no spinor Ψ como tendo as duas primeiras componentes associadas a uma função de onda de energia positiva e as duas ultimas componentes associadas a energia negativa. Isto não é perfeitamente verdade pois, como vimos, sempre há um acoplamento da parte superior e inferior de Ψ. Este aspecto dos autoestados da equação de Dirac leva à ideia de anti-particulas: uma anti-particula é um buraco no mar de particulas de energia negativa. Particula num Campo Eletromagnético Da mesma maneira que se faz em mecanica quantica não-relativistica, em que se obtem o hamiltoniano classico e então o promove para operadoes, podemos fazer aqui. Se há um campo eletromagnetico caracterizado pelo 4-potencial A µ, então o hamiltoniano de uma particula de carga e é obtido pela substituição p µ p µ ea µ, ou seja, H eφ = α p e A + βm 9 Como eφ é proporcional à identidade, as auto-energias deste hamiltoniano são m σ p ea ψ + ψ + σ p ea m ψ = E eφ ψ onde ψ + e ψ são spinores de dimensão dois. No limite pouco relativisticos, para energias positivas, E m, de modo que uma das equações fica σ p e Aψ + ψ, e a outra fica σ p ea 2 ψ + = [ p e A i σ p ea p ea ] ψ + E eφ mψ + 2 com um calculo bastante simples podemos mostrar que p ea p eaψ = ie Aψ = iebψ, de modo que [ m + p e A ] 2 µ B + eφ ψ + = Eψ + 22 sendo µ = e / σ. Portanto, a menos da massa de repouso, este é exatamente o hamiltoniano que se obteria na mecanica quântica não relativistica. Além disto, observamos que S = /2 σ atua em ψ + exatamente como o operador de spin, então reescrevendo a expressão para o momento magnético µ = g e S 23 4
5 com g = 2. Ou seja, o fator g de Landé surge naturalmente das equações. Este exemplo então ilustra de maneira bastante clara o surgimento do spin /2, diretamente da equação de Dirac. Particula num Potencial Central Considere uma partícula num campo eletrico estático, então existe um referencial no qual A =, e neste sistema de coordenadas o hamiltoniano discutido acima fica H = α p + βm + eφ x. Conforme sugerido por esta expressão, vamos considerar uma particula sob efeito de uma interação tal que em algum sistema de coordenadas possamos escrever H = α p + βm + V x 24 sendo que V faz o papel de uma energia potencial. Vale ressaltar que esta expressão só possui esta aparência num referencial particular, como pode ser visto no caso eletromagnético em qualquer outro referencial a particula sentirá também um campo magnético, além do elétrico. Vamos supor que V é esfericamente simétrico em relação a origem 2, na esperança que possamos encontrar algumas quantidades conservadas, isto é, operadores que comutem com o hamiltoniano. Podemos esperar que o momento angular total e o operador paridade sejam fortes candidatos. Primeiro notamos que o momento angular orbital L = x p obviamente comuta com V, pois L só atua nas coordenadas angulares, e com mβ, pois β = γ comuta tanto com x quanto com p = i. Então [H, L i ] = [ α p, L i ], que é ɛ ijk α l [p l, x j ]p k = iɛ ijk α j p k, sendo que somas de a 3 estão subentendidas nos indices repetidos. Defina agora o operador de spin S como S = 2 σ σ Então, S claramente comuta com V e mβ, de modo que [H, S i ] = [ α p, S i ] = iɛ ijk α j p k. Portanto temos que J = L + S comuta com H. Segundo, como V automaticamente terá simetria de inversão pela origem, esperamos que os autoestados desse hamiltoniano também possua essa simetria. Deve existir então algum operador associado a esta simetria, que portanto comute com o hamiltoniano. Seja Π o operador de inversão espacial, que troca x x. Consequentemente Π p = pπ, e portanto Π não comuta com o hamiltoniano. Suponha que exista um operador U, que comute com x e p, e tal que ΠU comute com o hamiltoniano. Então U deve ser tal que ele não afetará o termo com V, deve comutar com β e deve anticomutar com α. Pedindo algumas propriedades interessantes ao operador de paridade, como o fato de ele ser igual ao seu proprio inverso, temos que o próprio β satisfaz estes requerimentos. Portanto Πβ também comuta com o hamiltoniano. Desta maneira, existe uma base de autoestados do hamiltoniano que também são simultaneamente autovetores do momento angular numa dada direção J z, do momento angular quadrado J 2 e do operador paridade Πβ. Então escrevendo Ψ como um vetor composto por dois spinores, ψ Ψ x = + x ψ 26 x 2 V x = V x 25 5
6 e impondo que ele é autoestado do operador paridade que só possui autovalores ±, temos ψ + x ψ ψ = ± + x x ψ 27 x então, em cada caso, ψ + e φ tem paridade bem definida. Impondo que eles também são autovetores de J z e J 2 eles devem ser spinores do tipo j, m; l, /2, que podem ser escritos em termos de produtos tensoriais de kets associados ao momento orbital l, m l e kets de spin ±. Os primeiros kets são harmonicos esféricos na representação de coordenadas e os segundos são spinores T ou T. Temos l±/2, M = ] [± l ± M + 2 l l, /2; M /2, + + M + 2 l, /2; M + /2, 2l + que em notação spinorial fica, Υ j=l±/2,m l = 2l + ± l ± M + Y m /2 2 l θ, φ l M + Y m+/2 2 l θ, φ Desta maneira, a solução para Ψ deve ter o formato urυ j,m l /2 Ψ x = ivrυ j,m l±/2 A equação de Dirac para este problema então resulta, θ, φ θ, φ 3 Investigando o termo com a matriz de Pauli, E m V r ψ + x σ pψ x = 3 E + m V r ψ x σ pψ + x = 32 σ p = r 2 σ x σ x σ p = σ ˆr [ ˆr p + i σ L ] r E vemos que ˆr p = i / r atua apenas na parte radial, σ L = 2S L = J 2 L 2 S 2 não atua na parte radial, j,m σ LΥl = jj + ll + 3 Υ j,m l 34 4 mas no nosso caso há apenas duas possibilidades: l = j + /2 ou l = j /2 e temos que o autovalor na equação acima pode ser λ + ou λ, respectivamente, sendo λ = j + /2. Por fim calculamos o efeito de σ ˆr, que não atua na parte radial, σ ˆrΥ j,m j±/2 θ, φ = e iφ sin θ cos θ e iφ sin θ cos θ Aplicando isto às equações 3 e 32 obtemos 6 33 Υ j,m j±/2 θ, φ = Υj,m j /2 θ, φ 35
7 d E m V r ur E + m V r vr dr + ±λ + r d dr ±λ r vr = 36 ur = 37 sendo que o sinal ± que aparece nestas equações vem dos autovalores do operado de paridade, mais especificamente da equação 27. Vamos agora considerar um átomo hidrogenoide, com Z protons no nucleo e apenas um elétron. Supondo que o nucleo seja muito mais pesado que o eletron de modo que possamos tratar o problema como o de um elétron sob efeito do potencial central Vamos introduzir os parametros adimensionais V r = Ze2 r 38 ɛ = E m 39 x = mr 4 e a constante de estrutura fina α = e 2 /37, de modo que as equações 36 e 37 fiquem ɛ + Zα d ux x dx + ±λ + vr = 4 x ɛ + + Zα d vx x dx ±λ ur = 42 x Aproximando a solução no infinito x, obtemos ux vx e ɛ 2 x 43 que é uma exponencial decrescente 3. Propomos então soluções do tipo de Frobenius, mas evidenciando este carater no infinito, ux = e ɛ 2x x η k a k x k 44 e analogamente para vx, mas com coeficientes b, ao invés de a. Tentaremos encontrar uma solução assumindo que possamos usar o mesmo η em ambas as expressões. O termos de menor ordem em x fornecem as equações, sendo que o sinal ± foi embutido no λ. Para as outras ordens, Zαa η + λ + b = 45 η λ + a + Zαb = 46 ɛa k Zαa k ɛ 2 b k + λ + + η + kb k = 47 3 Note que como estamos procurando estados ligados, E < m, o que implica ɛ <. 7
8 + ɛa k + Zαb k ɛ 2 a k λ η ka k = 48 então vemos que nãp pode ocorrer a = b =, pois senão todos os coeficientes serão nulos. Deste modo, devemos impor que o sistema de equações 45 e 46 admite soluções não-triviais, ou seja, seu determinante é nulo. Isto corresponde a uma equação do segundo grau para η, cuja solução é η = ± λ 2 Zα 2 49 note que o sinal de λ não faz diferença nesta expressão. Supondo que Zα 2 é pequeno bem menor que, e lembrando que λ é maior que /2, devemos sempre pegar o caso +, para que a função de onda não exploda de uma maneira não-normalizael na origem, isto é, queremos que a função não cresça mais rapidamente que /r. Se Zα então η poderia ser complexo, mas nesse regime o campo elétrico poderia ser grande o suficiente para tornar provavél criação de pares eletron-positron, o que fugiria da equação de Dirac, então não devemos confiar no nosso resultado neste regime. A partir das relações de recorrencia 47 e 48 podemos obter a razão entre os coeficientes a e b, b k = Zα + ɛ + λ η k ɛ a k Zα ɛ + λ + + η + k 5 + ɛ e para k muito grandes, temos a k /a k, o que caracteriza um crescimento exponencial e, portanto, não normalizavél. Como de costume, devemos truncar as series. Supondo que para algum n tenhamos a n + = b n + =, então ɛa n ɛ 2 b n = 5 + ɛb n ɛ 2 a n = 52 como o determinante destas equações já é automaticamente nulo, elas fornecem a razão b n /a n. Comparando com 5 obtemos e podemos resolver para ɛ, que já determina as autoenergias E, + η + n ɛ 2 = Zαɛ 53 E = + mc 2 54 Zα 2 2 j+/2 2 Zα 2 +n E vemos que esta energia depende de n e j, apenas. Isto é capaz de explicar a estrutura fina do atomo de hidrogenio, mas não a hiperfina. Por exemplo, os niveis 2s /2 e 2p /2 possuem a mesma energia de acordo com a expressão acima, já que possuem o mesmo numero quantico principal e mesmo momento angular total j = /2. No entanto sabemos que estes niveis se degeneram devido ao Lamb shift. É esperado que não tenhamos obtido isto, já que despresamos qualquer outro efeito do nucleo, fora o eletrotático, e portanto perdemos no nosso modelo a interação spin-spin, do nucleo com o eletron. Alem disto também tem as limitações da propria equação de Dirac, que não leva em conta, pelo menos não nesta nossa descrição, a criação de pares particulas-antiparticulas: nós consideramos o eletron como a unica particula relevante do nosso universo. 8
9 Conclusão Neste trabalho então foram discutidas as ideias básicas da equação de Dirac, bem como alguns de seus resultados mais imediatos. Interessantemente, estes resultados imediatos e completamente naturais foram, na realidade, extremante profundos, evidenciando a beleza da equação de Dirac. Pudemos ver facilmente que ela prevê a existencia de antiparticulas, prevê a existencia do spin e fornece naturalmente o fator g de Landé para particulas de spin /2 interagindo apenas com um campo eletromagnético e também explica as correções finas para os niveis de energia de atomos hidrogenóides. Portanto, apesar da teoria de Dirac ser incompleta e ser necessario considerar teorias mais precisas, como teoria quantica de campos, ela se mostrou demasiadamente elegante. 9
Eq. de Dirac com campo magnético
Eq. de Dirac com campo magnético Rafael Cavagnoli GAME: Grupo de Médias e Altas Energias Eletromagnetismo clássico Eq. de Schrödinger Partícula carregada em campo mag. Eq. de Dirac Partícula carregada
Leia maisTeoria Clássica de Campos
Teoria Quântica de Campos I 7 No passo (1) o que estamos fazendo é quantizar (transformar em operadores) uma função definida em todo espaço (um campo) e cuja equação de movimento CLÁSSICA é de Dirac ou
Leia maisMomento Angular. 8.1 Álgebra do Momento Angular
Capítulo 8 Momento Angular Neste capítulo vamos estudar os autovalores e autovetores do momento angular. Este problema também pode ser analisado com o uso do método de operadores, o que faremos na primeira
Leia maisEquação de Schrödinger em 3D
Equação de Schrödinger em 3D Conteúdo básico: extensão do que foi feito em 1D: p 2 /2m + V(x,y,z) = E; Equação independente do tempo: 2m 2 ψ +V(x, y, z)ψ = Eψ A interpretação probabilística envolve a integração
Leia maisO ÁTOMO DE HIDROGÊNIO
O ÁTOMO DE HIDROGÊNIO Alessandra de Souza Barbosa 04 de dezembro de 013 O átomo de hidrogênio Alessandra de Souza Barbosa CF37 - Mecânica Quântica I /36 Sistema de duas particulas um elétron e um próton;
Leia maisO Método de Hartree-Fock
O Método de Hartree-Fock CF740 Tópicos Especiais de Física Atômica e Molecular Cálculos de Estrutura Eletrônica Utilizando Funcionais de Densidade Departamento de Física Universidade Federal do Paraná
Leia maisAula de Física Atômica e molecular. Operadores em Mecânica Quântica Prof. Vicente
Aula de Física Atômica e molecular Operadores em Mecânica Quântica Prof. Vicente Definição Seja f uma quantidade física que caracteriza o estado de um sistema quântico. Os valores que uma dada quantidade
Leia maisA Experiência de Stern-Gerlach e o Spin do Elétron
UFPR 28 de Abril de 2014 Figura: Placa Comemorativa. ela foi realizada em 1922; ela investiga os possíveis valores do momento de dipolo magnético, µ, de um átomo de prata; ela explora a dinâmica do dipolo
Leia maisNOTAS DE AULAS DE FÍSICA MODERNA
NOTAS DE AULAS DE FÍSICA MODERNA Prof. Carlos R. A. Lima CAPÍTULO 8 ÁTOMOS MONOELETRÔNICOS Edição de agosto de 2008 CAPÍTULO 8 ÁTOMOS MONOELETRÔNICOS ÍNDICE 8.1- Introdução 8.2- Problema da Força Central
Leia maisProblemas de Duas Partículas
Problemas de Duas Partículas Química Quântica Prof a. Dr a. Carla Dalmolin Massa reduzida Rotor Rígido Problemas de Duas Partículas Partícula 1: coordenadas x 1, y 1, z 1 Partícula 2: coordenadas x 2,
Leia maisBilineares do Campo de Dirac. Analogamente:
Teoria Quântica de Campos I 133 ( eq. 133.1 ) Analogamente: ( eq. 133.2 ) Bilineares do Campo de Dirac Claramente, qualquer grandeza observável vai ter que ser composta do produto de um número par de campos
Leia maisCF372 Mecânica Quântica I Os Postulados da Mecânica Quântica
CF372 Mecânica Quântica I Os Postulados da Mecânica Quântica 1 Introdução. Vamos apresentar nestas notas os postulados da mecânica quântica de acordo com o livro texto. Antes iremos fazer um paralelo entre
Leia maisRegras de Feynman para uma teoria Bosônica em geral
Teoria Quântica de Campos I 106 mente pois tratamos os estados iniciais e finais com mais detalhe (ainda que de forma heurística), como ondas planas. Veremos que na versão final da história, quando estivermos
Leia maisTeoria Quântica de Campos
Teoria Quântica de Campos I 1 Teoria Quântica de Campos (escopo do curso e um pouco de história) (Weinberg cap 1, Peskin 2.1, Nastase 1) Objetivo: uma teoria Quântica e Relativística (no sentido restrito)
Leia maisQuantização por Integrais de Trajetória:
Teoria Quântica de Campos I 14 Representações Fermiônicas: é possível mostrar que existem representações impossíveis de se obter através do simples produto de Λ s. Em especial o objeto: ( eq. 14.1 ) Matrizes
Leia maisMecânica Quântica. Química Quântica Prof a. Dr a. Carla Dalmolin. A Equação de Schrödinger Postulados da Mecânica Quântica
Mecânica Quântica Química Quântica Prof a. Dr a. Carla Dalmolin A Equação de Schrödinger Postulados da Mecânica Quântica Mecânica Clássica O movimento de uma partícula é governado pela Segunda Lei de Newton:
Leia maisÁtomos polieletrónicos
Átomos polieletrónicos Química Teórica e Estrutural P.J.S.B. Caridade & U. Miranda 2/12/2013 5/11/2013, Aula 8 Química Teórica & Estrutural (2013) Caridade & Ulises 1 Átomo de hidrogénio O Hamiltoniano
Leia maisMatrizes Semelhantes e Matrizes Diagonalizáveis
Diagonalização Matrizes Semelhantes e Matrizes Diagonalizáveis Nosso objetivo neste capítulo é estudar aquelas transformações lineares de R n para as quais existe pelo menos uma base em que elas são representadas
Leia mais- identificar operadores ortogonais e unitários e conhecer as suas propriedades;
DISCIPLINA: ELEMENTOS DE MATEMÁTICA AVANÇADA UNIDADE 3: ÁLGEBRA LINEAR. OPERADORES OBJETIVOS: Ao final desta unidade você deverá: - identificar operadores ortogonais e unitários e conhecer as suas propriedades;
Leia maisPostulados da Mecânica Quântica
Postulados da Mecânica Quântica Química Quântica Prof a. Dr a. Carla Dalmolin Operadores Propriedades Princípio da Incerteza Princípios da Mecânica Quântica A função de onda contém toda a informação que
Leia maisUniversidade Estadual de Santa Cruz
Universidade Estadual de Santa Cruz PROFÍSICA Programa de Pós-graduação em Física Seleção 2009. Prova Escrita 2/0/2009 Candidato (nome legível): - Esta prova consta de oito questões distribuídas da seguinte
Leia maisO poço de potencial finito
O poço de potencial finito A U L A 13 Meta da aula Aplicar o formalismo quântico ao caso de um potencial V(x) que tem a forma de um poço (tem um valor V 0 para x < -a/ e para x > a/, e um valor 0 para
Leia maisSimetria em Mecânica Quântica
Simetria em Mecânica Quântica Márcio H. F. Bettega Departamento de Física Universidade Federal do Paraná bettega@fisica.ufpr.br CF703 Física Quântica I Simetria em Mecânica Quântica Simetrias em física
Leia mais+ E p. ψ(x) = E. ψ(x)
Erwin Schrödinger: E c E p = E E c. ψ(x) E p. ψ(x) = E. ψ(x) h 8π m d ψ(x) dx E p. ψ(x) = E. ψ(x) Equação de onda a uma dimensão (x), independente do tempo: que traduz o comportamento de uma partícula
Leia maisAdição de dois spins1/2
Adição de dois spins/ a c tort de julho de O momento angular é um dos pontos mais importantes da mecânica quântica. Saber somar dois ou três momentos angulares é crucial para o entendimento da estrutura
Leia maisFísica de Partículas
matheus@ift.unesp.br http://www.ift.unesp.br/users/matheus/ Física de Partículas Parte 1 Ricardo D Elia Matheus O que queremos da Física de Partículas? Animação: Scales of the Universe II http://htwins.net/scale2/
Leia maisBreve Revisão de Mecânica
Capítulo 1 Breve Revisão de Mecânica Quântica Seguimos as secções 5.1 a 5.3 do Griffiths [1] e a secção 1.1 do meu texto de Introdução à Teoria de Campo []. É assumido como pré-requisito o conhecimento
Leia maisEquação de Schrödinger
Maria Inês Barbosa de Carvalho Equação de Schrödinger Apontamentos para a disciplina Física dos Estados da Matéria 00/0 Licenciatura em Engenharia Electrotécnica e de Computadores Faculdade de Engenharia
Leia maisSe pensarmos em um campo sem massa (m = 0) e cuja fonte externa é uma carga pontual. Por outro lado, para esta teoria livre sabemos que (eq. 109.
Teoria Quântica de Campos I 178 Se pensarmos em um campo sem massa (m = 0) e cuja fonte externa é uma carga pontual temos que φ(x) = φ(x) é justamente 1/ x (o Laplaciano agindo em φ(x) tem produzir a delta)
Leia maisFísica de Partículas
matheus@ift.unesp.br http://www.ift.unesp.br/users/matheus/ Física de Partículas Parte 1 Ricardo D Elia Matheus O que queremos da Física de Partículas? Animação: Scales of the Universe II http://htwins.net/scale2/
Leia maisFunções de Correlação. Com isso, nossa amplitude de transição fica em uma forma bastante reveladora: Paremos aqui um momento para notar duas coisas:
Teoria Quântica de Campos II 13 ( eq. 13.1 ) Com isso, nossa amplitude de transição fica em uma forma bastante reveladora: ( eq. 13.2 ) Paremos aqui um momento para notar duas coisas: (1) As equações 10.1
Leia maisMestrado e Doutorado em Física
UNIVERSIDADE FEDERAL DO MARANHÃO FUNDAÇÃO Instituída nos termos da Lei nº 5.152, de 21/10/1996 São Luís Maranhão CENTRO DE CIÊNCIAS EXATAS E TECNOLOGIA PROGRAMA DE PÓS-GRADUAÇÃO EM FÍSICA Exame de Seleção
Leia maisÁtomo de Hélio. Tiago Santiago. 2 de novembro de Resumo
Átomo de Hélio Tiago Santiago de novembro d015 Resumo Nesse trabalho o átomo de Hélio é abordado definindo-se o hamiltoniano e utilizando métodos de aproximação para estimar a energia do ground state.
Leia maisO degrau de potencial. Caso I: energia menor que o degrau
O degrau de potencial. Caso I: energia menor que o degrau A U L A 8 Meta da aula Aplicar o formalismo quântico ao caso de uma partícula quântica que incide sobre um potencial V(x) que tem a forma de um
Leia maisOPERADORES HERMITIANOS Mecânica Quântica I ( ) - Capítulo 03
ESPAÇO DE FUNÇÕES E OPERADORES HERMITIANOS Mecânica Quântica I (1108045) - Capítulo 03 I. Paulino* *UAF/CCT/UFCG - Brasil 2015.2 1 / 47 Sumário Conceitos Preparatórios Partícula numa caixa Princípio da
Leia maisProf. Rodrigo Negreiros UFF XI Escola do CBPF
Prof. Rodrigo Negreiros UFF XI Escola do CBPF I. Introdução. Aula I II. Visão geral de estrelas compactas. III. Física nuclear relativística. Aula II IV. Estrelas de Nêutrons no contexto da física nuclear.
Leia maisUniversidade Estadual de Santa Cruz (UESC) Segunda prova de seleção para ingresso em 2012/2. Nome: Data: 13/08/2012
Universidade Estadual de Santa Cruz (UESC) Programa de Pós-Graduação em Física Segunda prova de seleção para ingresso em 2012/2 Nome: Data: 13/08/2012 1 Seção A: Mecânica Clássica Uma nave espacial cilíndrica,
Leia maisNOTAS DE AULAS DE ESTRUTURA DA MATÉRIA
NOTAS DE AULAS DE ESTRUTURA DA MATÉRIA Prof. Carlos R. A. Lima CAPÍTULO 10 ÁTOMOS COMPLEXOS Primeira Edição junho de 2005 CAPÍTULO 10 ÁTOMOS COMPLEXOS ÍNDICE 10-1- Introdução 10.2- Átomos com mais de um
Leia maisO oscilador harmônico simples quântico
1 / 18 O oscilador harmônico simples quântico Prof. Dr. Vicente Pereira de Barros Instituto Federal de Educação Ciência e Tecnologia de São Paulo - Campus Itapetininga 29/05/2014 2 / 18 Introdução Introdução
Leia maisMétodos de Física Teórica II Prof. Henrique Boschi IF - UFRJ. 1º. semestre de 2010 Aulas 3 e 4 Ref. Butkov, cap. 8, seção 8.3
Métodos de Física Teórica II Prof. Henrique Boschi IF - UFRJ 1º. semestre de 2010 Aulas 3 e 4 Ref. Butkov, cap. 8, seção 8.3 Equações de Poisson e Laplace Vimos na aula passada o método de separação de
Leia maisRelatividade Especial Virtual - Uma Generalização da Relatividade Especial de Einstein
Relatividade Especial Virtual - Uma Generalização da Relatividade Especial de Einstein Edigles Guedes e-mail: edigles.guedes@gmail.com 24 de junho de 2012. RESUMO Nós construímos a Teoria da Relatividade
Leia maisSpin e Princípio de exclusão de Pauli
10 AULA Spin e Princípio de exclusão de Pauli Spin e Princípio de exclusão de Pauli METAS: Introduzir o spin. Introduzir o formalismo utilizado na descrição de spin 1/2. Introduzir o Princípio de exclusão.
Leia mais1 Matrizes Ortogonais
Álgebra Linear I - Aula 19-2005.1 Roteiro 1 Matrizes Ortogonais 1.1 Bases ortogonais Lembre que uma base β é ortogonal se está formada por vetores ortogonais entre si: para todo par de vetores distintos
Leia maisO ÁTOMO DE HIDROGÊNIO
FÍSICA PARA ENGENHARIA ELÉTRICA José Fernando Fragalli Departamento de Física Udesc/Joinville O ÁTOMO DE HIDROGÊNIO A elegância, a riqueza, a complexidade e a diversidade dos fenômenos naturais que decorrem
Leia maisMecânica Quântica. Ênfase nos Primeiros Postulados. Vide, p. ex., C. R. Rocha, Dissertação de Mestrado e I. Greca, Tese de Doutorado
Mecânica Quântica Ênfase nos Primeiros Postulados Vide, p. ex., C. R. Rocha, Dissertação de Mestrado e I. Greca, Tese de Doutorado O experimento de dupla fenda Feynman, Richard P. FISICA EM 12 LICOES -
Leia maisSegunda Lista - Lei de Gauss
Segunda Lista - Lei de Gauss FGE211 - Física III 1 Sumário O fluxo elétrico que atravessa uma superfície infinitesimal caracterizada por um vetor de área A = Aˆn é onde θ é o ângulo entre E e ˆn. Φ e =
Leia maisEquações de Klein-Gordon e Dirac
Capítulo 4 Equações de Klein-Gordon e Dirac Seguimos aqui as secções 7. a 7.3 do Griffiths ] e as secções.2 a.5 de ITC 2]. 4. A equação de Klein-Gordon. Comecemos pela partícula livre. Em mecânica quântica
Leia maisEstrutura Atômica - Prof. J. D. Ayala - 1 -
Estrutura Atômica - Prof. J. D. Ayala - 1-1.1 - MODELO ATÔMICO PLANETÁRIO Supondo que o elétron tem uma massa m, desprezível em relação ao núcleo, cuja carga é Ze. Neste caso o núcleo permanecerá em repouso
Leia maisEnergia. 5.2 Equações de Laplace e Poisson
Capítulo 5 Equações da Eletrostática e Energia 5.1 Introdução Neste momento, já foram vistas praticamente todas as equações e fórmulas referentes à eletrostática. Dessa forma, nesse capítulo estudaremos
Leia maisÁlgebra Linear Exercícios Resolvidos
Álgebra Linear Exercícios Resolvidos Agosto de 001 Sumário 1 Exercícios Resolvidos Uma Revisão 5 Mais Exercícios Resolvidos Sobre Transformações Lineares 13 3 4 SUMA RIO Capítulo 1 Exercícios Resolvidos
Leia mais= 2 sen(x) (cos(x) (b) (7 pontos) Pelo item anterior, temos as k desigualdades. sen 2 (2x) sen(4x) ( 3/2) 3
Problema (a) (3 pontos) Sendo f(x) = sen 2 (x) sen(2x), uma função π-periódica, temos que f (x) = 2 sen(x) cos(x) sen(2x) + sen 2 (x) 2 cos(2x) = 2 sen(x) (cos(x) sen(2x) + sen(x) cos(2x) ) = 2 sen(x)
Leia maistomando o cuidado de notar que de fato: Analogamente: De forma que:
tomando o cuidado de notar que Teoria Quântica de Campos I 51 de fato: Analogamente: De forma que: ( eq. 51.1 ) Esta separação entre a teoria livre e a parte interagente exige um cuidado adicional. Anteriormente
Leia maisLei de Gauss Φ = A (1) E da = q int
Lei de Gauss Lei de Gauss: A lei de Gauss nos diz que o fluxo total do campo elétrico através de uma superfície fechada A é proporcional à carga elétrica contida no interior do volume delimitado por essa
Leia maisCapítulo 3 Equações Diferenciais. O Wronskiano (de Josef Hoëné-Wronski, polonês, )
Capítulo 3 Equações Diferenciais O Wronskiano (de Josef Hoëné-Wronski, polonês, 1776 1853) Seja a equação diferencial, ordinária, linear e de 2ª. ordem Podemos dividir por os 2 membros e escrever a equação
Leia maisCorrelação Eletrônica - CI e MP2
Correlação Eletrônica - CI e MP2 CF740 Tópicos Especiais de Física Atômica e Molecular Cálculos de Estrutura Eletrônica Utilizando Funcionais de Densidade Departamento de Física Universidade Federal do
Leia maisFunção de Onda e Equação de Schrödinger
14/08/013 Função de Onda e Equação de Schrödinger Prof. Alex Fabiano C. Campos, Dr A Função de Onda (ψ) A primeira formulação para esta nova interpretação da Mecânica, a Mecânica Quântica, teoria foi proposta
Leia maisOBSERVÁVEIS COMPATÍVEIS Mecânica Quântica I ( ) - Capítulo 04
SUPERPOSIÇÃO E OBSERVÁVEIS COMPATÍVEIS Mecânica Quântica I (1108045) - Capítulo 04 I. Paulino* *UAF/CCT/UFCG - Brasil 2014.2 1 / 59 Sumário Superposição Princípio da superposição Interpretação do espaço
Leia maisEvolução temporal de uma Partícula Livre descrita por um Pacote de Onda Gaussiano Unidimensional
Evolução temporal de uma Partícula Livre descrita por um Pacote de Onda Gaussiano Unidimensional Caio Vaz Rímoli Resumo: Partículas Livres não relativísticas estão entre os sistemas mais básicos e mais
Leia maisMecânica Quântica 21/12/2009. O experimento de dupla fenda. Ênfase nos Primeiros Postulados ONDE ANDA O ELÉTRON?
//9 Mecânica Quântica Ênfase nos Primeiros Postulados Vide, p. ex., C. R. Rocha, Dissertação de Mestrado e I. Greca, Tese de Doutorado O experimento de dupla fenda Feynman, Richard P. FISICA EM LICOES
Leia maisÁlgebra Linear - 2 a lista de exercícios Prof. - Juliana Coelho
Álgebra Linear - 2 a lista de exercícios Prof. - Juliana Coelho 1 - Verifique que os conjuntos V abaixo com as operações dadas não são espaços vetoriais explicitando a falha em alguma das propriedades.
Leia maisInstituto de Física - UFF Profissional - 11 de Dezembro de 2009 Resolva 6 (seis) questões, com pelo menos uma questão de cada uma das
Exame de Ingresso na Pós-graduação Instituto de Física - UFF Profissional - 11 de Dezembro de 009 Resolva 6 (seis) questões, com pelo menos uma questão de cada uma das seções. A duração da prova é de 3
Leia maisINTERFERÊNCIA. S 1 r 1 P S 2 r 2 E 1
INSTITUTO DE FÍSICA DA UFBA DEPARTAMENTO DE FÍSICA DO ESTADO SÓLIDO DISCIPLINA : FÍSICA GERAL E EXPERIMENTAL IV-E (FIS 4) INTERFERÊNCIA Sejam duas fontes puntiformes de luz S e S e um ponto P situado a
Leia maisMétodos de Física Teórica II Prof. Henrique Boschi IF - UFRJ. 1º. semestre de 2010 Aula 4 Ref. Butkov, cap. 8, seção 8.4
Métodos de Física Teórica II Prof. Henrique Boschi IF - UFRJ 1º. semestre de 2010 Aula 4 Ref. Butkov, cap. 8, seção 8.4 Equação da Difusão Um problema importante para vários ramos da Física é saber como
Leia maisESPAÇO VETORIAL REAL. b) Em relação à multiplicação: (ab) v = a(bv) (a + b) v = av + bv a (u + v ) = au + av 1u = u, para u, v V e a, b R
ESPAÇO VETORIAL REAL Seja um conjunto V, não vazio, sobre o qual estão definidas as operações de adição e multiplicação por escalar, isto é: u, v V, u + v V a R, u V, au V O conjunto V com estas duas operações
Leia maisAula de Física II - Cargas Elétricas: Força Elétrica
Prof.: Leandro Aguiar Fernandes (lafernandes@iprj.uerj.br) Universidade do Estado do Rio de Janeiro Instituto Politécnico - IPRJ/UERJ Departamento de Engenharia Mecânica e Energia Graduação em Engenharia
Leia maisModelos Atômicos e Princípios Quânticos Parte II
UNIVERSIDADE FEDERAL FLUMINENSE INSTITUTO DE QUÍMICA DEPARTAMENTO DE QUÍMICA INORGÂNICA QUÍMICA INORGÂNICA I Modelos Atômicos e Princípios Quânticos Parte II Prof. Fabio da Silva Miranda e-mail: miranda@vm.uff.br
Leia maisAula 12. (quase) Tudo sobre os átomos. Física Geral F-428
Aula 1 (quase) Tudo sobre os átomos Física Geral F-48 1 Algumas propriedades atômicas: Átomos são estáveis (quase sempre); Os átomos podem ser agrupados em famílias (propriedades periódicas, com o número
Leia maisMétodos de Física Teórica II Prof. Henrique Boschi IF - UFRJ. 1º. semestre de 2010 Aula 5 Ref. Butkov, caps. 8 e 9, seções 8.8 e 9.
Métodos de Física Teórica II Prof. Henrique Boschi IF - UFRJ 1º. semestre de 2010 Aula 5 Ref. Butkov, caps. 8 e 9, seções 8.8 e 9.1 Vibrações de uma membrana Como mencionado na aula passada, pode-se deduzir
Leia mais1) A ESTRUTURA DOS ÁTOMOS
A ESTRUTURA DOS ÁTOMOS.. Estrutura Atômica A matéria seja no estado líquido sólido ou gasoso é constituída por átomos. Os átomos são constituídos por partículas elementares: os prótons os nêutrons e os
Leia maisComportamento ondulatório da matéria
Louis de Broglie investigou as propriedades ondulatórias da na década de 30. Ele supôs que o e-, em seu movimento ao redor do núcleo, tina associado a ele um λ. Ele igualou as duas expressões conecidas
Leia maish mc 2 =hν mc 2 =hc/ λ
Louis de Broglie investigou as propriedades ondulatórias da matéria na década de 30. Ele supôs que o e-, em seu movimento ao redor do núcleo, tinha associado a ele um λ. Ele igualou as duas expressões
Leia maisMétodo de Gauss-Jordan e Sistemas Homogêneos
Método de Gauss-Jordan e Márcio Nascimento Universidade Estadual Vale do Acaraú Centro de Ciências Exatas e Tecnologia Curso de Licenciatura em Matemática Disciplina: Álgebra Matricial - 2017.1 14 de agosto
Leia maisCurvas Planas em Coordenadas Polares
Curvas Planas em Coordenadas Polares Sumário. Coordenadas Polares.................... Relações entre coordenadas polares e coordenadas cartesianas...................... 6. Exercícios........................
Leia maisMatrizes hermitianas e unitárias
Matrizes hermitianas e unitárias Amit Bhaya, Programa de Engenharia Elétrica COPPE/UFRJ Universidade Federal do Rio de Janeiro amit@nacad.ufrj.br http://www.nacad.ufrj.br/ amit Matrizes complexas O produto
Leia maisPartícula na Caixa. Química Quântica Prof a. Dr a. Carla Dalmolin
Partícula na Caixa Química Quântica Prof a. Dr a. Carla Dalmolin Caixa unidimensional Caixa tridimensional Degenerescência Partícula no anel (mov. de rotação) Partícula na Caixa Partícula numa caixa unidimensional
Leia maisViolação das simetrias de Lorentz e CPT em teoria de campos
Violação das simetrias de Lorentz e CPT em teoria de campos Eduardo Passos UAF-UFCG, PNPD/CAPES October 21, 2008 Conteúdo 1 Questões e Motivações 2 Indução do termo tipo Chern-Simons na QED não-massiva
Leia maisCap. 2 - Lei de Gauss
Universidade Federal do Rio de Janeiro Instituto de Física Física III 2014/2 Cap. 2 - Lei de Gauss Prof. Elvis Soares Nesse capítulo, descreveremos a Lei de Gauss e um procedimento alternativo para cálculo
Leia maisMecânica Quântica. Estados quânticos: a polarização do fóton. A C Tort 1. Instituto Física Universidade Federal do Rio de Janeiro
Mecânica Quântica Estados quânticos: a polarização do fóton A C Tort 1 1 Departmento de Física Teórica Instituto Física Universidade Federal do Rio de Janeiro 11 de Abril de 2012 A luz é polarizada! (a)
Leia maisCinemática relativística et al. Carlos Alexandre Wuensche Processos Radiativos I
Cinemática relativística et al. Carlos Alexandre Wuensche Processos Radiativos I 1 1 Transformações de Lorentz e cinemática relativística Postulados da relatividade especial As leis da natureza são as
Leia maisNOTAS DE AULAS DE FÍSICA MODERNA
NOTAS DE AULAS DE FÍSICA MODERNA Prof. Carlos R. A. Lima CAPÍTULO 6 MECÂNICA QUÂNTICA DE SCHRÖDINGER Edição de janeiro de 2009 CAPÍTULO 6 MECÂNICA QUÂNTICA DE SCHRÖDINGER ÍNDICE 6.1- Introdução 6.2- Equação
Leia maisMecânica Quântica:
Mecânica Quântica: 2016-2017 1. Traço de um operador. 4 a Série 1.1. Invariância do traço: Prove que o traço de uma matriz, que representa um operador A, numa base arbitrária não depende da mesma. (vide
Leia maisPPGQTA. Prof. MGM D Oca
PPGQTA Prof. Polarizabilidade: Dureza e Moleza A polarizabilidade está relacionada ao tamanho do átomo e da capacidade deste estabilizar elétrons na nuvem eletrônica, esta matematicamente correlacionada
Leia maisNote que este funcional gerador agora tem sempre potências ímpares de J, de forma que as funções de n pontos serão nulas para n par:
Teoria Quântica de Campos I 98 de onde fica claro que a lógica por trás do Teorema de Wick (conectar os pontos externos de todas as formas possíveis) aqui é implementada pela regra do produto da derivada.
Leia maisIntrodução à Magneto-hidrodinâmica
Introdução à Magneto-hidrodinâmica Gilson Ronchi November, 013 1 Introdução A magneto-hidrodinâmica é o estudo das equações hidrodinâmicas em uidos condutores, em particular, em plasmas. Entre os principais
Leia maisExame de Ingresso Unificado
Exame de Ingresso Unificado das Pós-graduações em Física IFT(UNESP), IFUSP(USP), PG/FIS(ITA), PPGF(UFSCAR) Instruções 1 Semestre/2010 Parte 1 20/10/2009 NÃO ESCREVA O SEU NOME NA PROVA. Ela deverá ser
Leia maisO átomo de Rutherford
O átomo de Rutherford Elétrons orbitando o núcleo F Elétrica F Centrifúga Quando uma carga elétrica muda de velocidade ou direção, ela deve irradiar energia. Radiação Eletromagnética É o produto de campos
Leia maisDesenvolvimento. Em coordenadas esféricas:
Desenvolvimento Para que possamos resolver a equação da onda em coordenadas esféricas, antes é necessária a dedução do operador Laplaciano nessas coordenadas, portanto temos: Em coordenadas esféricas:
Leia mais1 Diferenciabilidade e derivadas direcionais
UFPR - Universidade Federal do Paraná Setor de Ciências Exatas Departamento de Matemática CM048 - Cálculo II - Matemática Diurno Prof. Zeca Eidam Nosso objetivo nestas notas é provar alguns resultados
Leia maisO propagador do Fóton: Fazemos uma mudança de variáveis em A:
Teoria Quântica de Campos I 156 Fazemos uma mudança de variáveis em A: Já sabemos que a ação é invariante de Gauge, então: e vamos assumir que O[A] também tenha esta propriedade (o que é obrigatório para
Leia maisTeoria da Relatividade Restrita (1905) Parte III. Física Geral IV - FIS503
Teoria da Relatividade Restrita (1905) Parte III Física Geral IV - FIS503 1 Nesta aula: Efeito Doppler da Luz Momento Relativístico Energia Relativística Efeito Doppler do Som É a mudança na frequência
Leia maisUma breve história do mundo dos quanta. Érica Polycarpo Equipe de Física Coordenação: Prof. Marta Barroso
Uma breve história do mundo dos Érica Polycarpo Equipe de Física Coordenação: Prof. Marta Barroso Tópicos da Quarta Aula Revisão Notação complea Ondas Planas Derivadas Equação de Schroedinger Superposição
Leia maisFundamentos da Eletrostática Aula 01 Introdução / Operações com Vetores
Fundamentos da Eletrostática Aula 01 Introdução / Operações com Vetores Prof. Alex G. Dias Prof. Alysson F. Ferrari Eletrostática Neste curso trataremos da parte estática do eletromagnetismo. Ou seja:
Leia maisINTRODUÇÃO À RELATIVIDADE GERAL p. 1
INTRODUÇÃO À RELATIVIDADE GERAL Victor O. Rivelles Instituto de Física Universidade de São Paulo rivelles@fma.if.usp.br http://www.fma.if.usp.br/ rivelles/ XXI Jornada de Física Teórica 2006 INTRODUÇÃO
Leia maisÁlgebra Linear I - Aula 18
Álgebra Linear I - Aula 18 1. Matrizes semelhantes. 2. Matriz de uma transformação linear em uma base. Roteiro 1 Matrizes semelhantes Definição 1 (Matrizes semelhantes). Considere duas matrizes quadradas
Leia maisNOTAS DE AULAS DE FÍSICA MODERNA
NOTAS DE AULAS DE FÍSICA MODERNA Prof. Carlos R. A. Lima CAPÍTULO 6 MECÂNICA QUÂNTICA DE SCHRÖDINGER Edição de agosto de 2011 CAPÍTULO 6 MECÂNICA QUÂNTICA DE SCHRÖDINGER ÍNDICE 6.1- Introdução 6.2- Equação
Leia maisCapítulo Equações da reta no espaço. Sejam A e B dois pontos distintos no espaço e seja r a reta que os contém. Então, P r existe t R tal que
Capítulo 11 1. Equações da reta no espaço Sejam A e B dois pontos distintos no espaço e seja r a reta que os contém. Então, P r existe t R tal que AP = t AB Fig. 1: Reta r passando por A e B. Como o ponto
Leia maisB) [N] é uma constante de normalização indicando que a probabilidade de encontrar o elétron em qualquer lugar do espaço deve ser unitária. R n,l (r) é
QUÍMICA I AULA 04: ESTRUTURA ELETRÔNICA DOS ÁTOMOS TÓPICO 05: ORBITAL ATÔMICO 5.1 A EQUAÇÃO DE SCHRODINGER E O ÁTOMO DE HIDROGÊNIO: Como o elétron tem propriedades ondulatórias, ele pode ser descrito como
Leia maisNotas sobre os anéis Z m
Capítulo 1 Notas sobre os anéis Z m Estas notas complementam o texto principal, no que diz respeito ao estudo que aí se faz dos grupos e anéis Z m. Referem algumas propriedades mais específicas dos subanéis
Leia maisMATRIZES POSITIVAS DEFINIDAS
MATRIZES POSITIVAS DEFINIDAS Álgebra Linear (MAT-27) Ronaldo Rodrigues Pelá IEFF-ITA 7 de novembro de 2011 Roteiro 1 2 3 Roteiro 1 2 3 Por que saber se uma matriz é definida positiva? Importância do sinal
Leia mais