Uma breve história do mundo dos quanta. Érica Polycarpo Equipe de Física Coordenação: Prof. Marta Barroso

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1 Uma breve história do mundo dos Érica Polycarpo Equipe de Física Coordenação: Prof. Marta Barroso

2 Tópicos da Quarta Aula Revisão Notação complea Ondas Planas Derivadas Equação de Schroedinger Superposição de Ondas Pacote de ondas Princípio da Incerteza Propriedades da função de onda Referências

3 Revisão Notação Complea: Fórmula de Euler: ze if z cos f+ i sen f A álgebra dos números compleos permite representar e operar vetores no plano. Possibilita que grandezas que variam senoidalmente ou cossenoidalmente em função do tempo, ou seja, do tipo A sen wt + f, sejam representados por vetores bidimensionais fasores Acos f+ isen f, que sofrem rotação em sentido anti-horário com velocidade angular w. É mais fácil operar somar, multiplicar, etc com números compleos de diferentes módulos e argumentos do que operar com funções senos e cossenos de diferentes amplitudes e fases. y Z f 3

4 Revisão Ondas Planas Uma onda plana pode ser representada por um número compleo cuja fase depende do tempo e da posição Z,t Z e ik-ωt Onda plana se propagando de negativo p/ positivo Knúmero de onda π/λ ω frequência angular πν Velocidade de fase: v f ω/k 4

5 5 Revisão Derivadas n n Ce d du Ce u C d du Csen u Csen d du C u Cn d du C u C d du C u, cos,, cos,, 1 d dg dg df d du g f u cos cos bt a a g a dg df d dg d du bt a g seng f bt a sen u + + +

6 Equação de Schroedinger Zurique, 196: Peter Debye pede ao jovem físico Erwin Schroedinger para discutir as idéias de de Broglie em um seminário Schroedinger procura a equação de onda que deve ser satisfeita pela função de onda de de Broglie, para a qual: 6

7 Equação de Schroedinger A função de onda mais geral com a qual se pode descrever um sistema livre, com energia e momento bem definidos, é Lembrando da equação diferencial obedecida por ondas clássicas, vejamos como se comportam as derivadas temporais e espaciais dessa função de onda: 7

8 8 Equação de Schroedinger Dado que, Chegamos à Eq. de Schroedinger para a partícula livre Generalizando para partícula sob ação de potencial m t i ψ ψ h h ψ ψ ψ U m t i + h h

9 Superposição de ondas Uma função de onda desse tipo onda plana tem λ e, portanto, p bem definidos, mas está espalhada por todo. Como eplicar o caráter corpuscular do elétron? A solução está na superposição de ondas planas: ψ, t n C n e Re Ψ, Im Ψ i k n ω n t 9

10 Superposição de ondas Vamos olhar para a superposição de duas ondas com k próimos Qual a velocidade de fase da onda? Qual a velocidade de grupo da onda? 10

11 Superposição de ondas Esse tipo de onda ainda se concentra em vários pontos do espaço, de - a +. Como representar uma partícula localizada em torno de um ponto no espaço? Transformando a soma em integral, e os coeficientes C n em funções do número de onda Ak Análise de Fourier : largura a largura 1/a Por eemplo: A k Ce k k 0 / a 11

12 Princípio da Incerteza 197,Heinsenberg: uma partícula é representada por uma função de onda que possui uma distribuição de momento e de posição. Quanto mais distribuída for Ψ no espaço de momento p menos definido, menos distribuída será no espaço de posição mais definido, e vice-versa. Em consequência, a determinação simultânea, com alta precisão, do momento e da posição é impossível. p h 1

13 Propriedades da função de onda Função de onda de Schroedinger associada a onda de matéria de de Broglie é interpretada como uma amplitude de probabilidade. A intensidade dessa onda ψ, t d fornece a probabilidade de encontrar a partícula entre em e +d em um dado instante t. A função de onda do sistema contém toda a informação eperimentalmente acessível Essas quantidades, as grandezas físicas observáveis L,p,E,Q,,..., correspondem aos autovalores ou aos valores médios dos operadores associados a elas Αψ, t < Α > aψ, t ψ *, t Αψ, t d 13

14 Referências Notas de aulas dos cursos PAPES V/VI Marta Barroso IF-UFRJ/Cederj Curso de Física Básica 4 H. Moysés Nussenzveig Editora Edgar Blucher, Notas de Aulas de Mecânica Quântica José Simões IF-UFRJ 14