Física IV Poli Engenharia Elétrica: 13ª Aula (30/09/2014)

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1 Física IV Poli Engenharia Elétrica: 13ª ula (3/9/14) Prof. laro Vannucci Na última aula imos: Proposta de de roglie: associar caráter ondulatório para as partículas: h p ou p K h Função de onda não tem significado físico, mas * corresponde a uma densidade de probabilidade de forma que, se dv for um elemento de olume infinitesimal ao redor de algum ponto do espaço, então dv será a probabilidade de se encontrar a partícula nesta região (neste elemento de olume). função estará normalizada quando (em 1D): dx 1 (1% de probabilidade) E também, a probabilidade de se encontrar a partícula em uma região a x b será obtida calculando: Pab dx, que será a a área sob a cura. O cálculo do alor esperado (alor médio) de uma grandeza f(x) qualquer: f ( x) f ( x) dx * f ( x) dx Representação da função de onda como um pacote de onda, sendo que a elocidade de fase e a elocidade de grupo são determinadas por: fase d e grupo ou grupo K dk b de dp No caso de uma partícula lire, ao longo do eixo x: ikxt ( x, t) e ; sendo que : Re( ) cos( Kx t) Im( ) sin( Kx t ) Uma propriedade muito importante que deemos associar às funções de onda é que elas seguem o Princípio da Superposição. Ou seja, quando um determinado eento pode ocorrer de forma alternatia (elétron passar pela fenda ou para atingir o anteparo, por exemplo), então a amplitude de probabilidade total dele passar pelas fendas será:

2 ( dodiagramade fasorescorrespondente ) cos No caso da experiência com fenda dupla: " onda progressia " que passa pela fenda " onda progressia " que passa pela fenda No anteparo, e se superpõe (utiliza-se o diagrama de fasores para er isso) resultando em uma franja de interferências. Exemplo: Um contador Geiger é utilizado para detectar os elétrons que passam por uma fenda dupla. função de onda relacionada com a fenda é unidades enquanto que com a fenda é 6unidades. Sabendo-se que quando apenas a fenda encontra-se aberta passam por ela 1 elétrons/s, responda: a) Quantos elétrons passam pela fenda quando apenas esta encontra-se aberta? b) Quantos elétrons passam pelas fendas quando as duas encontram-se abertas? Resolução: a) razão entre as intensidades das ondas (ou seja, probabilidades) será: passam 9 ezes mais elétrons pela fenda do que por, ou seja, passam 9 elétrons/s b) amplitude total da função de onda resultante, aplicando o Princípio da Superposição, será: 8 64 Comparando com a fenda apenas: passam pelo conjunto elétrons / s de fendas (ou seja, a Probabilidade de que um elétron passe pelas duas fendas é 16x maior que a Probabilidade dele passar pela fenda, quando a fenda estier fechada) Este formalismo leanta algumas questões enigmáticas: o que acontece quando se lança apenas um elétron de casa ez em direção às fendas, considerando o padrão de interferência obserado no anteparo? Pela proposta ondulatória, cada elétron seria, neste caso, representado por um pacote de ondas que, a princípio, passaria pelas duas fendas.

3 Mas como o elétron não pode ser diidido, por qual fenda ele efetiamente passará? Muitos físicos, incluindo Einstein, se propuseram a responder esta pergunta, atraés de alguma experiência apropriada, mas nenhum deles tee sucesso. O problema é que qualquer tentatia de medida irá interferir no sistema, modificando a configuração original! E a grande questão é que, pela formulação da Física Quântica, as ondas associadas às partículas não correspondem a qualquer tipo de oscilação de algum ente físico. Isto é, a função não tem qualquer significado físico direto; contrariamente às ondas clássicas que podem ser obseradas e medidas em laboratório. Para finalizar, amos agora discutir um outro ponto muito importante. gora, se pela Física Clássica é perfeitamente plausíel medir a posição (x) e a elocidade (momento p) de uma partícula, em um dado instante t, com a precisão que se queira, o mesmo não ocorre com relação a sistemas quânticos. Em 197, o físico alemão Werner Heisenberg demonstrou que quanticamente seria impossíel medir, com precisão, a posição e o momento linear de uma partícula simultaneamente: este ficou conhecido como sendo o Princípio da Incerteza. Ou seja, se x corresponder à incerteza na medida de posição da partícula e p a incerteza na medida do seu momento, então segundo o Princípio de Incerteza de Heisenberg a relação seguinte dee sempre ser satisfeita: De forma que, se p deerá ser muito grande e iceersa. xp x for muito pequeno, então E esta impossibilidade não adém da questão dos aparelhos de medida serem adequados, mas sim da própria estrutura atômica da matéria! Uma outra relação de incerteza que ale ser lembrada é a que enole as grandezas energia ( E hf ) e tempo: Et Exemplo: elocidade de um elétron é medida como sendo 3 5, 1 m / s, sendo que a incerteza na medida é de,3%. Qual seria a incerteza mínima que se obteria na medida de posição deste elétron?

4 Resolução: Dada a elocidade, temos o momento do elétron: p e mee ( 5, 1 )(9,191 ) 45,547 1 Kg m / s p (,3)(45,547 1 ),14 1,3 % 8 8 de forma que: p 8 (45,547,1 1 k / ) g m s e como xp /: h x min,377 4p 8 Exemplo: O tempo médio de decaimento de um átomo excitado é de 1 s. Considerando que este alor corresponde à incerteza na medida temporal: a) Calcule a largura da raia f correspondente, utilizando o Princípio de Incerteza. mm b) Se raia 5nm, ache o alargamento relatio f / f desta raia. Resolução: a) b) h 6 Et ; E h f f 8 1 Hz 4 h c f 6, 1 14 Hz 6 f 81 1, f 61 8 note que esta é a incerteza relacionada com o níel de energia do átomo bem como com a energia do fóton emitido deido ao decaimento. Vamos mostrar agora qual será o procedimento a ser seguido para descobrirmos as funções de onda adequadas para os sistemas físicos de interesse. Considerando noamente o caso de uma partícula lire (em 1D) que possui um comprimento de onda de de roglie ( k / ) correspondente ao momento linear p h/, talez pudéssemos pensar em representa-la, por analogia com o estudo que já fizemos sobre as ondas eletromagnéticas clássicas, da forma: cos k x t ; com densidade de probabilidade cos k x t Mas, se assim fosse, haeria posições no eixo x nas quais a partícula nunca seria encontrada!

5 Também por esta razão é que a função de onda adequada para representar uma partícula lire é da forma: e i kxt ; de maneira que: * i k x t i k xt e e, constante! Ou seja, a probabilidade de encontrar a partícula em qualquer ponto do eixo x é a mesma (como deeríamos esperar). Lembrando agora da Lei de Conseração de Energia: E Ecin Epot, amos escreê-la da forma: p E U ; p K. m E eja que interessante: se multiplicarmos os dois lados desta equação pela função de 1 onda, teremos: E p U m ikxt d ikxt gora, considerando que e ik e dx d i kxt p d i k e k p dx dx Substituindo na equação de conseração de energia: d U E ; e esta é a famosa "Equação de Schrödinger" m dx (independente do tempo) (eja no pêndice uma outra maneira interessante de se chegar a esta equação) E será esta a equação a ser resolida para obtermos a função de onda do sistema a ser estudado, conhecendo a função potencial U correspondente. Propriedades a serem satisfeitas pela função de onda : (i) Dee ser uníoca (ii) Dee ser contínua (iii) primeira deriada dee ser contínu Na próxima aula mostraremos como resoler esta equação para alguns sistemas físicos de interesse.

6 pêndice: Forma alternatia para se chegar à equação de Schrödinger Como imos, os fenômenos quânticos enolendo partículas com momento linear p m possuem, associado a eles, um caráter ondulatório de forma que também p h / K. É razoáel supor que a função de onda (que irá descreer o caráter ondulatório da partícula), por sua ez, dea ser solução de uma equação de onda (em analogia com ondas em uma corda, campos E e das equações de Maxwell, etc.) do tipo: 1 x t (1) Considerando que, para uma partícula lire: x, t e ikxt ikx i t x, t e e ; que representaremos por x, t i t x e Deriando ezes esta última equação em relação a x e t, e substituindo na equação de onda (1): ( x) it 1 ( ) ( ) it x e i ( x) e ( ( x ) ) x x 1 "elocidade da onda" Mas: ( f ) f ; e como h 1 p p h, p p h / (3) Da conseração de energia: Substituindo (4) em (3), e depois em (): p m E Ecin Epot U p m E U ( ) (4) ( x) me ( U) ( x) x d U E m dx Equação de Schrödinger independente do tempo