Processamento de sinais digitais

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1 Processamento de sinais digitais Aula 2: Descrição discreta no tempo de sinais e sistemas silviavicter@iprj.uerj.br

2 Tópicos Sequências discretas no tempo. Princípio da superposição para sistemas lineares. Sequência de resposta de amostra unitária. Sistemas invariantes no tempo. Critério de estabilidade para sistemas discretos no tempo. Critério de causalidade para sistemas discretos no tempo. Equações de diferenças lineares de coeficiente constante. 2

3 Sequências discretas no tempo Nomenclatura: {x(n)} ou x(n) para N1 n N2 x(k): valor particular da sequência no instante k. Serão vistas as sequências: - de amostra unitária - de degrau unitária - senoidais - exponenciais complexas 3

4 Sequência de amostra unitária Unit Sample Sequence. Definição: Importante como sequência de entrada para um filtro digital 4

5 Sequência de amostra unitária Delayed Unit Sample Sequence. Definição: 5

6 Sequência de amostra unitária PROPRIEDADE SIFTING (seleção): extrair um elemento particular de toda a sequência. d(n - k) é não zero apenas quando o seu argumento é zero, quando n = k. Será importante na derivação da relação de convolução entre as sequências de entrada e saída do filtro digital. 6

7 Sequência degrau unitária Unit Step Sequence. Definição: Usada para definir o ponto de partida de uma sequência em expressões analíticas: 7

8 Sequência senoidal Sinusoidal Sequence. Importante em análises no domínio da frequência de filtros digitais. Exemplo de sequências senoidais discretas no tempo: ω: radianos por intervalo de amostragem ou simplesmente radianos. 8

9 Sequência senoidal Propriedade importante para o desenvolvimento da transformada de Fourier de uma sequência discreta no tempo: conjunto de todos os valores distintos de uma sequência senoidal discreta no tempo: Consideremos dois valores de frequência: Valores das sequências do cosseno: A função cosseno é periódica com período 2π. 9

10 Sequência senoidal Exemplo de dois sinais analógicos com diferentes frequências que podem produzir os mesmos valores para uma sequência senoidal discreta no tempo: 10

11 Sequência exponencial complexa Plano complexo Notação em vetor complexo onde: c : magnitude Arg[c]: argumento ou fase 11

12 Sequência exponencial complexa Identidades de Euler: Sequência importante para análise compacta de uma frequência de filtros digitais: magnitude fase 12

13 Sequência exponencial complexa Identidades de Euler Interpretação no plano complexo de senos e cossenos: 13

14 Sequência exponencial complexa A propriedade de sequências senoidais, de que todos os valores podem ser representados com ω na faixa [-π, π] também é válida para exponenciais complexas. Consideremos:, onde m é um valor inteiro. Então: 14

15 Princípio da superposição para Sistema de tempo discreto: sistemas lineares {x(n)} G{.} {y(n)} Características de um filtro linear: Para uma dada sequência de entrada, uma alteração na escala de amplitude da sequência de entrada resulta na mesma mudança de escala em amplitude na sequência de saída. Se duas sequências são adicionadas e a soma é aplicada ao sistema, a saída resultante é a soma das respostas das entradas individuais. 15

16 Princípio da superposição Sistema linear: {x 1 (n) + x 2 (n)} G{.} {y 1 (n) + y 2 (n)} onde Dadas duas constantes α e β: e {α x 1 (n) + βx 2 (n)} G{.} α{y 1 (n) }+ β {y 2 (n)} 16

17 Princípio da superposição Exemplo de um sistema linear: Circuito medidor de valor médio de 3 valores: Como testar a linearidade? Aplica-se a soma escalada de duas sequências de entrada: 17

18 Princípio da superposição Exemplo de um sistema não linear: saída igual ao quadrado da entrada: Aplicando a soma escalada de duas sequências de entrada: que não é igual a para ser linear., a saída que o sistema precisa 18

19 Sequência de resposta de amostra unitária Unit Sample Response Sequence Princípio da superposição: permite estabelecer uma relação entre a entrada e saída de um sistema linear no domínio do tempo. Propriedade sifting da sequência da amostra unitária: O sistema opera através de sua transformação G{. } em sequências. Saída: superposição de respostas a sequências de amostras unitárias deslocadas e escaladas. A sequência de amostra unitária com seu elemento não zero em n = k, d(n - k), é escalada por x(k). 19

20 Sequência de resposta de amostra unitária Sequência de entrada a um sistema linear: superposição no tempo de um conjunto de sequências de amostras unitárias escaladas. Sequência de saída: superposição das respostas de amostras unitárias escaladas. Se: Então: 20

21 Princípio da Superposição: Sequência de resposta de amostra unitária onde G{d(n - k)} é a sequência de saída produzida pelo sistema quando a entrada é uma sequência de amostra unitária com seu elemento não zero em n = k. Esta saída é denominada resposta da amostra unitária: {h(n,k)} é a resposta de um sistema linear! 21

22 Sequência de resposta de amostra unitária (a) (b) 22

23 Sequência de resposta de amostra unitária (a) (b) 23

24 Sequência de resposta de amostra unitária (a) (b) 24

25 Sequência de resposta de amostra unitária Princípio da Superposição: 25

26 Resposta de amostra unitária Exemplo não recursivo: Circuito medidor de valor médio de 3 valores h(n,0)? Para n=-1: {x(n)}={d(n)} Para n= 0: Para n= 1: Para n= 2: Condição inicial zero (n=-2) 26

27 Resposta de amostra unitária Exemplo recursivo: Filtro de primeira ordem h(n,0)? {x(n)}={d(n)} e aplica-se a condição inicial zero. Para n=0: Para n=1: Unit Step Sequence Para n=2:... Para n=k: 27

28 Resposta de amostra unitária Exemplo de sequências para diferentes valores de a 28

29 Resposta de amostra unitária Exemplo recursivo: Sistema variante no tempo Aplica-se a condição inicial zero: {h(n,0)}? {x(n)}={d(n)} {h(n,1)}? {x(n)}={d(n-1)} Os valores da resposta de amostra unitária dependem do tempo da aplicação da sequência de amostra unitária. 29

30 Sistema linear invariante no tempo LTI Linear Time Invariant System Se: Então: Um deslocamento no tempo aplicado a uma sequência de amostra unitária resulta APENAS em um deslocamento correspondente no tempo na sua resposta de amostra unitária. 30

31 Sistema linear invariante no tempo Relação de CONVOLUÇÃO: e x(n) h(n) y(n) *: Operação de convolução Operação matemática de como um sistema linear opera sobre um sinal. Sinal de saída: resultado da convolução do sinal de entrada x(n) com a resposta a impulso do sistema h(n). 31

32 Sistema linear invariante no tempo Operação de CONVOLUÇÃO Comutativa Substituição de variáveis: m=n-k Obtemos: Distributiva 32

33 Sistema linear invariante no tempo Conexão em cascata de sistemas: Dois sistemas LTI em cascata correspondem a um sistema LTI com uma resposta impulso que é a convolução das respostas impulso dos dois sistemas. Exemplo de três sistemas LTI com respostas impulso idênticas: Resposta impulso de saída: Consequência da propriedade comutativa da convolução - a resposta impulso de uma combinação em cascata de um sistema LTI independe da ordem em que aparecem. 33

34 Sistema linear invariante no tempo Conexão paralela: Os sistemas tem a mesma entrada, e suas saídas são somadas para produzir a saída geral. Combinação paralela Sistema equivalente Resposta impulso de saída: Consequência da propriedade distributiva da convolução - a conexão de dois sistemas LTI em paralelo é equivalente a um único sistema cuja resposta impulso é a soma das respostas impulso individuais. 34

35 Operação de convolução de tempo discreto Análise gráfica Passo 1: Escolher um valor inicial de n. Se {x(n)} começa em n = n x e {h(n)} em n h, escolher n= n x + n h. Passo 2: Expressar as duas sequências em termos de k. Fazer x(k)=x(n) e para produzir h(n-k) faz-se uma rotação em torno do eixo vertical para produzir h(-k) e depois desloca por um valor n (se n positivo, desloca para a direita, e se n negativo desloca para a esquerda). Passo 3: Multiplicar as duas sequências elemento por elemento e acumular os resultados para todos os valores de k. A soma dos produtos gera o y(n). Passo 4: Incrementar os índices de n e repetir os passos acima até a soma dos produtos no passo 3 ser zero. 35

36 Operação de convolução de tempo discreto Análise gráfica Exemplo 1: Convolução de duas sequências finitas: 36

37 Operação de convolução de tempo discreto Análise gráfica Calcula o produto do par de valores de sequências para cada k para gerar y(n) 37

38 Análise gráfica Operação de convolução de tempo discreto Duas sequências finitas gera uma sequência de duração finita. Se {x(n)} contém N x elementos e {h(n)} contém N h elementos, então a sequência de saída contém N y = N x + N h -1 elementos. 38

39 Operação de convolução de tempo discreto Análise gráfica Resultado da convolução de duas sequências finitas: * = Valores calculados para os cinco valores de n: y(-2)=1, y(-1)=2, y(0)=3, y(1)=2, y(2)=1 39

40 Análise gráfica Operação de convolução de tempo discreto Exemplo 2: Convolução de um sequência de duração finita com outra de duração infinita 40

41 Operação de convolução de tempo discreto Exemplo 2: Convolução de um sequência de duração finita com outra de duração infinita Únicos termos não-zero: 41

42 Operação de convolução de tempo discreto Análise gráfica 42

43 Outra forma: Operação de convolução de tempo discreto 43

44 Operação de convolução de tempo discreto Análise gráfica Exemplo 3: Convolução de duas sequências infinitas: 44

45 Análise gráfica Operação de convolução de tempo discreto 45

46 Critério de estabilidade para sistemas discretos no tempo Sequência limitada - o valor absoluto de cada elemento é inferior a algum número finito M, ou seja, {x(n)} é limitada se x(n) <M, para todo n. Sequência estável - quando cada sequência de entrada limitada produz uma sequência de saída limitada. Aplicações práticas em filtros digitais estáveis (saídas não se tornam infinitas). Critério de estabilidade: Um sistema LTI é estável sse o fator de estabilidade, denotado por S, for finito: A estabilidade de um filtro digital é expressa em termos dos valores absolutos de sua resposta de amostra unitária. 46

47 Critério de estabilidade para sistemas discretos no tempo Critério de estabilidade: suficiente e necessário Suficiente: se S é finito, então o sistema é estável. Demonstração: a saída é limitada quando S for finito. Valor absoluto da saída, expresso pela equação de convolução: Como: Temos: ou como M e N são finitos, a saída também é limitada. 47

48 Critério de estabilidade para sistemas discretos no tempo Critério de estabilidade: suficiente e necessário Necessário: que S seja finito para o filtro ser estável. É preciso encontrar uma sequência de entrada limitada que produza uma saída ilimitada. Exemplo: valor de saída para n=0: Para y(0) ser limitado, é necessário que S seja finito. 48

49 Critério de estabilidade para sistemas discretos no tempo Exemplo 1: Estabilidade do circuito de média de 3 valores: Como testar se o filtro é estável? S é finito para valores finitos dos coeficientes b -1, b 0 e b 1. Qualquer filtro com resposta de amostra unitária com um número finito de elementos não zero é sempre estável. 49

50 Critério de estabilidade para sistemas discretos no tempo Exemplo 2: Estabilidade do filtro recursivo de primeira ordem onde Como testar se o filtro é estável? Para a 1, S é ilimitado: cada termo na série é 1. Para a < 1, aplica-se a fórmula da soma geométrica infinita: Como S é finito para a <1, o sistema é estável para a <1. 50

51 Critério de estabilidade para sistemas discretos no tempo Exemplo 3: Estabilidade do filtro recursivo de segunda ordem {h(n)}? Condição inicial y(n)=0 para n<0 e {x(n)}={d(n)} S? O filtro é estável para r <1. 51

52 Critério de causalidade para sistemas discretos no tempo Sistema causal resposta não precede a excitação. Todos os sistemas físicos são causais: não reagem até a aplicação de um estímulo. Sistema LTI causal: Por definição, {h(n)} é a resposta de um sistema a uma sequência de amostra unitária, cujo elemento não zero ocorre em n=0. Filtros digitais causais geralmente usados em aplicações em que as amostras de dados são processadas a medida em que são recebidas (sem acesso a valores futuros da amostra). Filtros digitais não-causais: tem elementos não zero para n<0 (exemplo: circuito medidor de média de 3 amostras). 52

53 Equações de diferenças lineares de coeficientes constantes Formalização da notação para descrever o comportamento no domínio do tempo de filtros digitais. Saída de um sistema LTI de ordem finita no instante n: combinação linear de entradas e saídas onde: a k : coeficiente de realimentação (feedback) dependente do delay b k : coeficiente de alimentação (feedforward) dependente do delay N p : Número de amostras do passado N f :Número de amostras do futuro (Filtro causal: N f 0, Filtro não-causal: N f >0) Exemplo: n=3, M=3, N f =3 e N p = 2 y(3) = a 1 y(2) + a 2 y(1) + a 3 y(0) + (Valores passados de y) b -3 x(6) + b -2 x(5) + b -1 x(4) + b 0 x(3) + b 1 x(2)+b 2 x(1) (Valores futuros de x) (Valor atual de x) (Valores passados de x) 53

54 Equações de diferenças lineares de coeficientes constantes Como implementar um filtro digital com base na equação de diferenças geral? Exemplo: Combinação das equações do circuito de média de 3 amostras não recursivo e o filtro recursivo de primeira ordem e não causal. Passo 1: desenhar dois pontos entrada atual e saída atual 54

55 Equações de diferenças lineares de coeficientes constantes Passo 2: conectar elementos de retardo aos pontos de entrada e saída, para obter acesso a valores passados das sequências de entrada e saída. Valores futuros da sequência de entrada são obtidos conectando avanços ao ponto de entrada. 55

56 Equações de diferenças lineares de coeficientes constantes Passo 3: conectar multiplicadores às saídas dos elementos do retardo para produzir os produtos necessários. 56

57 Equações de diferenças lineares de coeficientes constantes Passo 4: obter um filtro digital ao se conectar as saídas dos multiplicadores a dois somadores. O primeiro gera a soma dos produtos das entradas e dos coeficientes de feedforward, e o outro da saída e dos coeficientes de feedback. 57

58 Equações de diferenças lineares de coeficientes constantes Exemplo: Implementação do filtro digital de segunda ordem a partir da equação de diferenças dada por: 58

59 Referências 1- Introduction to Digital Signal Processing Roman Kuc. BS Publication, Discrete-Time Signal Processing Alan V. Oppenheim, Ronald W. Schafer. Prentice Hall,

60 Obrigada E até a próxima aula. 60

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