ELETROTÉCNICA (ENE078)

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1 UNIVERSIDADE FEDERAL DE JUIZ DE FORA Graduação em Engenharia Civil ELETROTÉCNICA (ENE078) PROF. RICARDO MOTA HENRIQUES Aula Número: 20

2 Revisão da aula passada... Circuitos com a corrente adiantada em relação à tensão Predominância de elementos capacitivos Circuito capacitivo Circuitos com a corrente atrasada em relação à tensão Predominância de elementos indutivos Circuito indutivo Análise de circuitos sem necessidade de cálculo de derivadas e integrais com Resistência, reatância indutiva e reatância capacitiva Álgebra complexa: solução para se tratar circuitos CA, onde tensões e correntes são funções SENOIDAIS de mesma frequencia. 2

3 Revisão da aula passada... Forma retangular Eixos real e imaginário j Im (j) parte real parte imaginária j unidade imaginária j 1 Re 3

4 Revisão da aula passada... Forma polar ou trigonométrica Eixos real e imaginário módulo ângulo Im (j) 2 2 cos arctan sin Re 4

5 Revisão da aula passada... Representação de uma senóide por meio de um número complexo sin g t A t G A m m Para soma de senóides como g(t), podemos utilizar a álgebra de números complexos sob os fasores G A álgebra de fasores só pode ser aplicada a formas de onda senoidais de mesma frequência!!! 5

6 6

7 FASORES Fasor Definição: O fasor é um vetor bidimensional (plano complexo ou de Argand-Gauss) para representar uma onda em movimento harmônico simples. Observação 1: O eixo-x do diagrama fasorial é o eixo dos reais e o eixo-y é o eixo dos imaginário Diagrama fasorial genérico Observação 2: O sentido de rotação do fasor é o anti-horário. 7

8 FASORES Fasor Aplicação: O comportamento da tensão e corrente em CA para os diversos elementos de circuitos já estudados é senoidal/cosenoidal. Isso permite a comparação a seguir: Diagrama fasorial da tensão CA (senoidal) Onde: α = ωt (ângulo variável com o tempo) 8

9 FASORES Fasor Aplicação: A análise anterior propicia a seguinte decomposição fasorial do comportamento das tensões e correntes em CA. Domínio do Tempo rms Domínio da frequência 9

10 FASORES Fasor Exemplo: Dado o circuito abaixo determine i(t). Represente o diagrama fasorial com v(t) e i(t). Dado: v(t) i(t) R = 100Ω v(t) = 100sen(ωt) [V] Resposta: i(t) = 1sen(ωt) [A] I m.fasor: v t = V m sen ωt + θ 0 V = V m θ 0 v t = 100 sen ωt + 0 V = i t = 1 sen ωt + 0 I = 1 0 I = 1 0 V = R e 10

11 Como resolver a soma de tensões senoidais? Tensões e correntes alternadas até aqui... Como somar? v T t = v 1 t = V m1 sen wt + θ 1 + v 2 t = V m2 sen wt + θ 2? Soma ponto a ponto... Processo difícil e improdutivo Em circuitos CA, isto acontecerá várias vezes... 11

12 Como resolver a soma de tensões senoidais? Tensões e correntes alternadas a partir daqui... Um método mais rápido usa um vetor radial girante. Este vetor radial que um módulo (comprimento) constante e com uma extremidade fixa na origem é denominado FASOR quanto usado na análise de circuitos elétricos em CA v 1 t = V m1 sen wt + θ 1 = V m1 θ 1 v 2 t = V m2 sen wt + θ 2 = V m2 θ 2 12

13 Transformando senóides em fasores Tensões e correntes alternadas a partir daqui... Usaremos os FASORES, isto é, a álgebra dos números complexos para representar todas as grandezas dos circuitos em corrente/tensão alternada Os módulos e posições relativas dos FASORES das grandezas elétricas envolvidas é chamado de DIAGRAMAS FASORIAL Exemplo: Somar tensões transfomar v(t) em fasor v 1 t = V m1 sen wt + θ 1 = V m1 θ 1 v 2 t = V m2 sen wt + θ 2 = V m2 θ 2 O resultado da soma de fasores usando a álgebra complexa: V T θ T = v T t = V T sen wt + θ T Domínio do tempo Domínio fasorial/complexo 13

14 Transformando senóides em fasores Tensões e correntes alternadas a partir daqui... Exemplo de soma de duas corrente quaisquer senoidais: 14

15 Uso dos números complexos em CA O modelo matemático dos circuitos e equipamentos elétricos de corrente alternada utiliza o tratamento matemático relativo aos números complexos. No estudo das raízes, foi ampliado o conceito de número: A unidade imaginária i passou a formar uma classe de números imaginários, enquanto os demais passaram a ser chamados de números reais. 15

16 Uso dos números complexos em CA A soma a + bi de um número real com um imaginário puro denomina-se número complexo, onde a e b são números reais e i é a unidade imaginária. Um número complexo na forma z = a + bi está na forma algébrica. O número complexo z = a + bi pode ser representado em um plano ortogonal, onde o eixo horizontal é o eixo dos números reais e o eixo vertical, o dos números imaginários: 16

17 Uso dos números complexos em CA Com o uso de trigonometria, obtém-se: z é o módulo do número complexo z. O ângulo é chamado de argumento. 17

18 Uso dos números complexos em CA Um número complexo está expresso na forma polar quando indicado da seguinte forma: O conjugado do número complexo z = a + bi é definido por : Em Eletricidade, a unidade imaginária é usualmente representada pela letra j. 18

19 Uso dos números complexos em CA TRANSFORMAÇÃO DA FORMA ALGÉBRICA PARA A POLAR Sendo z = a + jb um número complexo na forma algébrica, para obter sua forma polar deve-se calcular o módulo e o argumento, respectivamente, conforme segue: Exemplo 1: z 1 = 5 j10 Exemplo 2: z 2 = 2 + j3 19

20 Uso dos números complexos em CA Re(z) = z cos Im(z) = z sen Re(z 1 ) = z 1 cos = 10 cos 60º = 5 Im(z 1 ) = z 1 sen = 10 sen 60º = 8,66 z 1 = 5 + j8,66 Re(z 2 ) = z 2 cos = 50 cos ( 90º) = 0 Im(z 2 ) = z 2 sen = 50 sen ( 90º) = 50 z 2 = j50 20

21 Uso dos números complexos em CA OBTENÇÃO DO CONJUGADO Determinar o conjugado de: z 1 = 5 j4 SOMA E SUBTRAÇÃO DE NÚMEROS COMPLEXOS Na soma e na subtração de números complexos, eles deverão estar na forma algébrica. Então, faz-se a operação matemática com as partes reais em separado e, da mesma forma, com as partes imaginárias. Exemplo 1: Somar os números complexos z 1 = 5 + j10 e z 2 = 15 j25 z 1 + z 2 = 5 + j j25 = (5 + 15) + j(10 25) z 1 + z 2 = 20 j15 21

22 Uso dos números complexos em CA Re(z 1 ) = 10,324 Im(z 1 ) = 14,745 Re(z 2 ) = 13,199 Im(z 2 ) = 13,667 z 1 z 2 = 10,324 j14,745 (13,199 + j13,667) z 1 z 2 = (10,324 13,199) + j( 14,745 13,667) z 1 z 2 = 2,875 j28,412 22

23 Uso dos números complexos em CA MULTIPLICAÇÃO E DIVISÃO DE NÚMEROS COMPLEXOS Em Eletricidade, é usual fazer estas operações trabalhando-se com os números complexos na forma polar, da seguinte forma: na multiplicação, multiplicam-se os módulos e somamse os argumentos; na divisão, dividem-se os módulos (o do numerador pelo do denominador) e subtraem-se os argumentos (o argumento do numerador menos o argumento do denominador). 23

24 Uso dos números complexos em CA Exemplo 1: Multiplicar os números complexos z 1 = 5 + j12 e z 2 = 3 j4,5 24

25 ASSOCIAÇÕES SÉRIE E EM PARALELO DE RESISTORES, INDUTORES E CAPACITORES EM CIRCUITOS DE CORRENTE ALTERNADA INTRODUÇÃO Circuito monofásico: circuito suprido por uma única fonte de tensão alternada. Todos os circuitos elétricos de corrente alternada (CA) contêm alguma quantidade de resistência, indutância e capacitância. Em um determinado circuito, o efeito de algum destes elementos pode ser muito pequeno e aí, ele pode ser desprezado. A resistência, juntamente com as reatâncias, limitam a corrente nos circuitos de corrente alternada. A oposição total causada por estes três elementos limitadores de corrente é denominada impedância. 25

26 ASSOCIAÇÕES SÉRIE E EM PARALELO DE RESISTORES, INDUTORES E CAPACITORES EM CIRCUITOS DE CORRENTE ALTERNADA Os circuitos formados por combinações dos elementos R, X L e X C são os seguintes: circuito RL: são os que contêm resistência e indutância e a capacitância é desprezível; circuito RC: contêm resistência e capacitância e a indutância é desconsiderada; circuito LC: contêm indutância e capacitância e o efeito da resistência é desprezado; circuito RLC: os três elementos afetam a corrente, de modo que nenhum deles pode ser desconsiderado. 26

27 ASSOCIAÇÕES SÉRIE E EM PARALELO DE RESISTORES, INDUTORES E CAPACITORES EM CIRCUITOS DE CORRENTE ALTERNADA FASORES Cada elemento, R, L ou C, tem, em circuitos CA, um comportamento peculiar, que gera uma defasagem específica entre a onda de corrente e a onda de tensão. A solução dos circuitos elétricos contendo esses elementos poderia envolver a combinação gráfica das ondas defasadas, porém este método é às vezes muito trabalhoso: 27

28 ASSOCIAÇÕES SÉRIE E EM PARALELO DE RESISTORES, INDUTORES E CAPACITORES EM CIRCUITOS DE CORRENTE ALTERNADA É mais prático empregar vetores para representar as grandezas senoidais que variam com o tempo. Uma senóide pode ser considerada como o desenvolvimento, em coordenadas retangulares, de um vetor de módulo constante, que gira em sentido antihorário. Este vetor girante é denominado fasor. O fasor tem módulo igual à amplitude (valor máximo) da senóide. Quando conveniente, o fasor pode ter como módulo o valor eficaz da senóide. 28

29 ASSOCIAÇÕES SÉRIE E EM PARALELO DE RESISTORES, INDUTORES E CAPACITORES EM CIRCUITOS DE CORRENTE ALTERNADA Onda senoidal de período T, representada em um sistema de coordenadas retangulares Embora cada posição do FASOR represente a onda senoidal, em eletricidade CA consideraremos a posição de cada FASOR apenas em wt=0. Isto se justifica pelo fato de várias senóides de mesma frequencia mantêm sua distância angular em qualquer instante de tempo considerado. 29

30 ASSOCIAÇÕES SÉRIE E EM PARALELO DE RESISTORES, INDUTORES E CAPACITORES EM CIRCUITOS DE CORRENTE ALTERNADA O semi-eixo horizontal positivo é geralmente tomado como referência para a marcação do ângulo de defasagem entre os fasores. Como os fasores giram no sentido anti-horário, os ângulos que concordam com este sentido são positivos; os ângulos em sentido contrário, são negativos. 30

31 ASSOCIAÇÕES SÉRIE E EM PARALELO DE RESISTORES, INDUTORES E CAPACITORES EM CIRCUITOS DE CORRENTE ALTERNADA Em um circuito resistivo puro, os fasores de tensão e de corrente estão em fase. 31

32 ASSOCIAÇÕES SÉRIE E EM PARALELO DE RESISTORES, INDUTORES E CAPACITORES EM CIRCUITOS DE CORRENTE ALTERNADA Nos circuitos indutivos puros, a corrente está 90 graus atrasada da tensão, ou a tensão está 90 graus adiantada da corrente. j (phi) é a letra grega que designa o ângulo de defasagem entre os fasores. 32

33 ASSOCIAÇÕES SÉRIE E EM PARALELO DE RESISTORES, INDUTORES E CAPACITORES EM CIRCUITOS DE CORRENTE ALTERNADA Nos circuitos capacitivos puros, a corrente está 90 graus adiantada da tensão, ou a tensão está 90 graus atrasada da corrente. Como j (phi) representa a defasagem entre os fasores, não é conveniente atribuir-lhe sinal graficamente. 33

34 ASSOCIAÇÕES SÉRIE E EM PARALELO DE RESISTORES, INDUTORES E CAPACITORES EM CIRCUITOS DE CORRENTE ALTERNADA USO DOS NÚMEROS COMPLEXOS EM ELETRICIDADE A parte real dos números complexos é associada às resistências e à potência ativa. Às reatâncias e à potência reativa se atribui a parte imaginária dos números complexos. Uma reatância indutiva é designada por +jx L. Por ter efeito oposto ao da reatância indutiva, a reatância capacitiva é designada por jx C. A resistência elétrica sempre será um número real e positivo. A potência ativa é um número real e sempre positivo. 34

35 ASSOCIAÇÕES SÉRIE E EM PARALELO DE RESISTORES, INDUTORES E CAPACITORES EM CIRCUITOS DE CORRENTE ALTERNADA A potência reativa é imaginária e positiva, designada por +jq, se a reatância que lhe deu origem for indutiva; é imaginária e negativa, designada por jq, se a reatância for capacitiva. O ângulo de defasagem entre a corrente e a tensão da fonte é designado por letras gregas como j ou θ. Multiplicar um fasor por j é o mesmo que fazê-lo girar adiantando-se 90 graus em relação ao ângulo de origem; multiplicar um fasor por j atrasa-o 90º de sua posição original. 35

36 ASSOCIAÇÕES SÉRIE E EM PARALELO DE RESISTORES, INDUTORES E CAPACITORES EM CIRCUITOS DE CORRENTE ALTERNADA CIRCUITOS SÉRIE EM CORRENTE ALTERNADA Em um circuito de corrente alternada que contém um resistor, um indutor e um capacitor em série, o estudo é feito após o cálculo das reatâncias indutiva e capacitiva: 36

37 ASSOCIAÇÕES SÉRIE E EM PARALELO DE RESISTORES, INDUTORES E CAPACITORES EM CIRCUITOS DE CORRENTE ALTERNADA As propriedades básicas de um circuito série não sofrem modificações, quando estão presentes resistores, indutores e capacitores. Contudo, é necessário utilizar números complexos para considerar o comportamento particular de cada um destes elementos no circuito de corrente alternada. Uma vez calculadas as reatâncias, a impedância do circuito terá sempre a forma: Z = R + jx L jx C A impedância representa a oposição total causada pelos 3 elementos a corrente alternada! 37

38 ASSOCIAÇÕES SÉRIE E EM PARALELO DE RESISTORES, INDUTORES E CAPACITORES EM CIRCUITOS DE CORRENTE ALTERNADA O módulo e o argumento (fase) da impedância Z são obtidos fazendo-se, respectivamente: Z = R 2 + (X L X C ) 2 A representação gráfica da impedância resulta no triângulo da impedância: 38

39 ASSOCIAÇÕES SÉRIE E EM PARALELO DE RESISTORES, INDUTORES E CAPACITORES EM CIRCUITOS DE CORRENTE ALTERNADA em que: R = Z cos j X = Z sen j sendo X = X L X C. O argumento da impedância do circuito série coincide com o ângulo de defasagem j. 39

40 ASSOCIAÇÕES SÉRIE E EM PARALELO DE RESISTORES, INDUTORES E CAPACITORES EM CIRCUITOS DE CORRENTE ALTERNADA A corrente que flui no circuito, fornecida pela fonte, é a mesma em qualquer um de seus elementos: I = IR = IL = IC Esta corrente é obtida através da Lei de Ohm: 40

41 ASSOCIAÇÕES SÉRIE E EM PARALELO DE RESISTORES, INDUTORES E CAPACITORES EM CIRCUITOS DE CORRENTE ALTERNADA As tensões individuais são obtidas pela Lei de Ohm: A soma fasorial das tensões individuais resultará na tensão aplicada pela fonte: Sendo nulo o efeito de qualquer elemento R, L ou C no circuito, retira-se das equações o termo correspondente. 41

42 ASSOCIAÇÕES SÉRIE E EM PARALELO DE RESISTORES, INDUTORES E CAPACITORES EM CIRCUITOS DE CORRENTE ALTERNADA CIRCUITOS CA COM COMPONENTES EM PARALELO As propriedades são as seguintes: cada elemento em paralelo fica submetido à mesma tensão da fonte: 42

43 ASSOCIAÇÕES SÉRIE E EM PARALELO DE RESISTORES, INDUTORES E CAPACITORES EM CIRCUITOS DE CORRENTE ALTERNADA determinadas as reatâncias, as correntes individuais são obtidas pela Lei de Ohm: a corrente total fornecida pela fonte é igual à soma fasorial das correntes individuais: 43

44 ASSOCIAÇÕES SÉRIE E EM PARALELO DE RESISTORES, INDUTORES E CAPACITORES EM CIRCUITOS DE CORRENTE ALTERNADA a impedância do circuito pode ser calculada de dois modos: - pela Lei de Ohm: - resolvendo a equação dos inversos: se o efeito de um elemento qualquer for desprezível, retira-se das equações o termo correspondente. 44

45 ASSOCIAÇÕES SÉRIE E EM PARALELO DE RESISTORES, INDUTORES E CAPACITORES EM CIRCUITOS DE CORRENTE ALTERNADA FATOR DE POTÊNCIA É o co-seno do ângulo de defasagem j entre a corrente e a tensão da fonte: O fator de potência pode ser expresso em número decimal (o resultado da extração do co-seno) ou em porcentagem (multiplicando o resultado do co-seno por 100). Para um circuito resistivo, j = 0º. Como cos 0º = 1, então o fator de potência deste tipo de circuito é unitário. 45

46 ASSOCIAÇÕES SÉRIE E EM PARALELO DE RESISTORES, INDUTORES E CAPACITORES EM CIRCUITOS DE CORRENTE ALTERNADA Em um circuito indutivo puro, j = 90º. Decorre que cos 90º = zero, daí o fator de potência em um circuito indutivo puro é zero. Para um circuito capacitivo puro, o fator de potência também é zero. Para especificar o tipo de circuito, deve-se acrescentar, junto ao valor do fator de potência, o termo capacitivo ou indutivo. Os circuitos resistivos não precisam de especificação complementar, já que somente eles têm cos j = 1. 46

47 Alguma dúvida? Circuitos em Corrente Alternada Sala: 4273, ao lado do R.U. Horário preferencial: 2ª e 4ª Feira no início da tarde 47

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