Lista de Exercícios 5

Transcrição

1 FFI5 Física-Matemática II Lista de Eercícios 5 Seja Φ a distribuição definida por Φ[f] := f (n) (a), n N, a R, onde f representa uma função teste qualquer e f (n) (a) sua n-ésima derivada calculada em a. (a) Relacione Φ com a distribuição δ de Dirac (e/ou suas derivadas) centrada em a, δ a [f] := f(a); (b) Encontre uma representação Φ() para a distribuição Φ de modo que Φ[f] = Φ()f()d; (c) Manipulando a distribuição Ψ[f] := Φ[( a) m f], obtenha a identidade ( a) m δ (n) ( a) = { ( ) m m! δ (n m) ( a), m n, m > n. Calcule as seguintes integrais: (a) eiy ddy. Com esse resultado, obtenha J (r)dr; (Lembre-se da representação integral de J n dada na Lista 3 em termos da função geratriz.) (b) eiy n y m ddy (n, m N). Com esse resultado, calcule dr r n J n (r); (Guie-se pelo item anterior para fazer mudanças de variáveis úteis. Note que essas integrais eistem apenas no sentido de distribuição, lim ɛ + dr r n J n (r)e ɛr, pois, com eceção do caso n =, r n J n (r) oscila com amplitude cada vez maior para r crescente.) (c) d π ei cos y dy cosh(ay), a. 3 A transformada de Fourier F pode ser estendida para distribuições temperadas (aquelas que tomam funções do espaço de Schwartz como funções teste) através da definição F(Φ)[f] := Φ[F(f)]. Daí vemos, por eemplo, que F(/ π) = δ() e F(δ()) = / π. Mostre que com essa definição tem-se: Segundo Semestre 3

2 FFI5 Física-Matemática II (a) F(e ia )(k) = πδ(k a); (b) F(cos a)(k) = π [δ(k a) + δ(k + a)]; (c) F(sin a)(k) = i π [δ(k a) δ(k + a)]; (d) F( n )(k) = i n πδ (n) (k); (e) F(/(±iɛ))(k) = i π Θ(±k), com ɛ + ; (Θ é a distribuição de Heaviside.) (f) Resolva a EDO (n) (t) = pelo método da transformada de Fourier. (Use o fato de que as únicas distribuições suportadas apenas no ponto a são as combinações lineares finitas de δ a e suas derivadas. Além disso, lembre-se do resultado do item (c) do eercício.) 4 Uma distribuição que aparece frequentemente no conteto de transformadas de Fourier é a distribuição valor principal de Cauchy da função /, definida por: ( p.v. ) [f] := lim ɛ + = [ ɛ f() ] d + f() ɛ d f() f( ) d. (a) Mostre que, no sentido de distribuição, vale a identidade ( ± iɛ = p.v. ) iπδ, onde ɛ + ; (b) Mostre que F ( p.v. ) = i π sign; (sign é a distribuição sinal: sign := Θ.) (c) Calcule F(Θ); (d) Mostre que se Φ() =, então Φ = ( p.v. ) + αδ, onde α é uma constante arbitrária; (e) Generalizando o resultado ( anterior, ) ( apenas mostre ) que a distribuição Φ = (a b) p.v. ( a) (a b) p.v. ( b) +αδ a +βδ b (com a b) satisfaz ( a)( b)φ() =. (De fato, essa é a solução geral.) Segundo Semestre 3

3 FFI5 Física-Matemática II 3 5 A δ de Dirac n-dimensional centrada em R n é definida por δ n [f] δ n ( )f( ) d n := f( ), O R n onde O é qualquer aberto de R n tal que O. (a) Argumente que δ n ( ) é o produto das δ s em cada uma das coordenadas; (b) Mostre que se {(, y)} e {(r, θ)} são as coordenadas cartesianas e polares usuais no plano R, respectivamente, então δ( )δ(y y ) = (/r )δ(r r )δ(θ θ ); (Tente justificar porque essa epressão é problemática para r =.) (c) Obtenha a relação entre δ 3 ( ) em coordenadas esféricas e cartesianas; (d) Obtenha uma representação integral para δ n ( ) em coordenadas cartesianas. 6 As funções u α (r) := N α j l (αr), com α > e N α constantes de normalização a serem determinadas, são as soluções do problema de autovalor/autofunção L[u] := ( d r r du ) dr dr l(l + ) r u = λu sujeitas à condição de serem bem comportadas na origem r =, onde os autovalores são λ = α e j l é a função de Bessel esférica de ordem l N. (a) Mostre que dr r j l (αr)j l (βr) = π δ(α β); (Sugestão: Manipule as EDO s que j l (αr) e j l (βr) satisfazem e use a fórmula de α Rayleigh dada na Lista 4 para determinar o comportamento dessas funções para r.) (b) Determine as constantes de normalização N α e mostre que, como esperado, vale a relação de completeza da base {u α } de autofunções: dα u α (r)u α (r ) = δ(r r ); (c) Combine os u α s apropriadamente com harmônicos esféricos (vide Lista 4 para sua definição e propriedades) e forneça as soluções do problema de autovalor/autofunção ψ = λψ em coordenadas esféricas sujeitas à condição de serem bem comportadas em r =. Em seguida, construa uma representação para δ 3 ( ) em coordenadas esféricas. Segundo Semestre 3

4 FFI5 Física-Matemática II 4 7 Considere o operador diferencial associado ao problema do oscilador harmônico sub-amortecido: D t := d /dt +γd/dt+ω, com ω > γ >. (a) Encontre as funções de Green retardada e avançada pelo método direto (i.e., pela junção, em t = t, das soluções da EDO homogênea); (b) Agora, resolva a equação que a função de Green satisfaz pelo método de transformada de Fourier e verifique qual das funções de Green é obtida. Tente entender porque só essa é obtida (tem a ver com γ > ); (c) No caso em que γ =, mostre que o método do item anterior possibilita a obtenção das duas funções de Green (avançada e retardada) dependendo de como se contornam os polos no cálculo da transformada inversa de Fourier; (d) Ainda no caso γ =, use o resultado do item (e) do eercício 4 para mostrar que o método da transformada de Fourier possibilita a obtenção da solução geral da função de Green. 8 Considere a EDO u () µ u() = f() sujeita às condições de contorno de que u() seja bem comportado para ±. (a) Encontre a função de Green desse problema pelo método direto ; (b) Encontre a mesma função de Green mas agora resolvendo a equação que a função de Green satisfaz pelo método da transformada de Fourier; (c) Agora, construa a função de Green a partir das autofunções do operador d /d (restrito ao espaço de funções bem comportadas em ± ). Compare com o método do item anterior e note a semelhança. 9 Considere uma superfície elástica esticada cuja borda está presa num aro circular rígido de raio R contido no plano y e com centro em = y =. Em primeira aproimação, para pequenas deformações, a superfície z(, y) satisfaz a equação z = f, onde f = f(, y) está relacionado à força (por unidade de área) eercida por um agente eterno sobre a superfície. Segundo Semestre 3

5 FFI5 Física-Matemática II 5 (a) Encontre a função de Green desse problema pelo método direto ; (b) Construa a mesma função de Green a partir das autofunções do operador (definido no espaço das funções que satisfazem as condições de contorno apropriadas); (c) Agora, considere que o aro circular é ligeiramente deformado (perpendicularmente ao plano y) de modo que z(r, θ) = ɛ sin(kθ), com k N. Determine o perfil z(r, θ) da superfície na ausência de força f. (Se você optar por encontrar a solução sem ser pelo método da função de Green, ao final pelo menos epresse sua solução em termos da função de Green encontrada anteriormente.) Considere o operador diferencial associado à equação de onda (comumente denominado d Alembertiano), := c / t +. (a) No caso de n dimensões espaciais, utilize o método da transformada de Fourier em todas as variáveis, t e, para obter uma epressão integral para a função de Green G(, t;, t ); (b) Discuta como os polos no integrando dessa epressão devem ser contornados de maneira a se obter as funções de Green retardada e avançada; (Lembre-se do eercício 7.) (c) No caso n = mostre que G ret (, t;, t ) = c Θ(t t )Θ(c t t ) e G adv (, t;, t ) = c Θ(t t)θ(c t t ) e visualize o suporte dessas funções num diagrama t; (d) Obtenha G ret e G adv para os casos n = e n = 3. Segundo Semestre 3