F 789 A - MECÂNICA QUÂNTICA II -Prof. Eduardo Granado - PROVA 1 (01/04/2015) (θ,ϕ), em que u k,l. (r). Nesta equação, E k,l e l (l+1)ħ 2 são os

Transcrição

1 F 789 A - MECÂNICA QUÂNTICA II -Prof. Eduardo Granado - PROVA 1 (01/04/2015) 1) Considere um sistema de duas partículas de massa m 1 e m 2 que interagem através de um potencial central V(r), onde r é a distância entre as partículas. A equação de autovalores de energia é dada por: H ψ(r)=[ ħ2 2μ 2 +V (r)] ψ(r)=e ψ(r), onde μ m 1 m 2 m 1 +m 2. (a) Mostre que o Hamiltoniano pode ser escrito na forma: H = ħ2 2μ. (Dica: Verifique o formulário) (b) Encontre [ H, L] e [ H, L 2 ], justificando sua resposta. 1 r 2 r r μ r L 2 +V (r) 2 (c) Considerando que a dependência angular dos autoestados simultâneos de L 2 e L z é dada pelos harmônicos esféricos Y m l (θ,ϕ), argumente por que os autoestados simultâneous de H, L 2 e L z são descritos como ψ k, l,m (r)= u (r) k,l Y m r l (θ,ϕ), em que u k,l (r) satisfaz a equação radial: [ ħ2 d 2 2μ dr + l (l+1)ħ 2 +V (r)]u 2 2μ r 2 k, l (r)=e k,l u k, l (r). Nesta equação, E k,l e l (l+1)ħ 2 são os autovalores de H e L 2, respectivamente. (d) Seja uma partícula me massa m confinada ao interior de uma esfera oca de raio a, ou seja, V(r)=0 para r < a e V(r)= para r > a. Aplique as condições de contorno para este problema, e encontre os autoestados de H, L 2 e L z com l=0 e m=0 ( ψ n,0,0 (r) ). Quais são os valores possíveis de energia? 2) Considere o átomo de hidrogênio, onde a energia potencial de interação é escrita como V (r)= e 2 /r. (a) Mostre, através de uma mudança de variáveis, que a equação radial enunciada no problema 1 pode ser reescrita na forma: [ d 2 l (l +1) d ρ ρ 2 ρ λ k.l]u k,l (ρ)=0, onde ρ=r /a 0, λ k,l = E k, l / E I, a 0 ħ 2 /μe 2, e E I μ e 4 /2ħ 2. (b) Encontre o comportamento assintótico de u k,l (ρ) no limite ρ. (c) Denominando a função encontrada em (b) de f k,l (ρ) e definindo y k,l (ρ) de tal forma que u k,l (ρ)= f k,l (ρ) y k, l (ρ), mostre que a equação diferencial satisfeita por y k,l (ρ) é: [ d 2 d ρ 2 2λ d k,l d ρ +( 2 l (l +1) ρ )] y ρ 2 k, l (ρ)=0. (d) Propomos soluções da equação acima na forma de uma expansão em potências em ρ, ou seja, y k,l (ρ)=ρ s q=0 c q ρ q, onde c 0 é por definição o primeiro termo não-nulo da expansão. Pode-se mostrar facilmente, inserindo esta expansão na equação diferencial (não precisa fazer aqui), que s=l+1 e que os coeficientes da expansão satisfazem a relação q(q+2l+1)c q =2[(q+l )λ k, l 1]c q 1. Queremos agora truncar esta relação de recursão para uma dada ordem da expansão q=k, para chegarmos a soluções fisicamente aceitáveis (autoestados normalizáveis). Pergunta: Qual a relação que λ k,l deve satisfazer para que este truncamento ocorra? (e) A partir do resultado de (d), encontre os valores possíveis de energias, e mostre que, para cada nível possível de energia, existe um valor máximo possível para o número quântico l. 3) Considere uma partícula de massa µ sendo espalhada por um potencial V(r). No limite assintótico r, a função de onda da partícula em um estado estacionário é dada por ψ k (r)=e ikz + f k (θ,ϕ) eikr, e a seção de choque diferencial de espalhamento é dada por r σ(θ,ϕ)= f k (θ,ϕ) 2. Na abordagem do problema de espalhamento na aproximação de Born (primeira ordem na série de Born), a amplitude de espalhamento é dada pela relação:

2 ( f B) k (θ,ϕ)= μ e i K r V (r)d 3 r 2 π ħ 2, onde K k d k i é o vetor de onda de espalhamento. (a) Mostre que, quando se tratar de um potencial central V(r), a amplitude de espalhamento pode ser escrita na forma de uma integral simples: f k (θ)= 2μ ħ 2 0 rv (r)sin(kr )dr K. Mostre que a magnitude do vetor K é dada por K =2 k sin(θ/2). (b) Considere um potencial de uma esfera suave, [V(r) = V 0 para r < a e V(r) = 0 para r > a]. Encontre f k (θ) na aproximação de Born, em função apenas de ħ, µ, V 0, k, e θ. (c) Para o problema do ítem (b), esboce gráficos para σ(θ) em três condições distintas, ka << 1, ka >> 1 e ka = 1. 4) Considere o problema de espalhamento de uma partícula de massa µ por uma esfera rígida [V(r) = para r < a e V(r) = 0 para r > a], no limite de baixas energias (ka << 1). (a) Qual método deve ser utilizado para analisar este problema (série de Born ou análise de ondas parciais)? Por quê? (b) Encontre o desvio de fase δ 0 e argumente qualitativamente por que os demais desvios de fase δ l podem ser desconsiderados no limite analisado. Dica: use a equação radial dada no enunciado da questão (1), lembrando que E k,l = ħ2 k 2 2μ. (c) Encontre a seção de choque diferencial σ(θ) e a seção de choque total σ= σ(θ)d Ω para este problema. 2 = 1 r 2 r 2 r+ 1 r 2 ( 2 θ tan θ FORMULÁRIO θ + 1 sin 2 (θ) 2 ϕ 2 ) (Laplaciano em coord. esféricas) L 2 = ħ 2 ( 2 θ tanθ θ + 1 sin 2 θ 2 ϕ 2 ), L z = ħ i ϕ f k (θ)= 1 k 4 π(2l+1)e i δ l l=0 sin δl Y 0 l (θ) Y 0 0 = 1 4 π

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14