Introdução à Óptica ( ) Prof. Adriano Mesquita Alencar Dep. Física Geral Instituto de Física da USP B04. Optica Ondulatoria II

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1 Introdução à Óptica ( ) Prof. Adriano Mesquita Alencar Dep. Física Geral Instituto de Física da USP B04 Optica Ondulatoria II 1

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3 Onda Plana (r,t)= (r)e i2 t Equação de Onda (r) =a(r)e i'(r) Uma onda plana tem amplitude complexa dada por: (r) =Ae ik r = Ae i(k xx+k y y+k z z) Onde A é uma constante chamada de envelope complexo e k é o vetor de onda '(r) = arg{a} k r A superfície em fase constante obedece a relação (q inteiro): k r = k x x + k y y + k z z =2 q + arg{a} 3

4 Onda Plana (r,t)= (r)e i2 t Equação de Onda (r) =a(r)e i'(r) Se o eixo z esta na direção de k (r,t)= A cos(2 t kz + arg{a}) = A cos(2 (t z/c) + arg{a}) A função de onda é periódica no tempo com período 1/ν, e periodicidade espacial 2π/k, que é o comprimento de onda e c a velocidade de fase 4

5 Onda Plana = 2 k = c 5

6 Onda Esférica (r,t)= (r)e i2 t Equação de Onda (r) =a(r)e i'(r) Uma onda esférica tem amplitude complexa dada por: (r) = A 0 r e ikr I(r,t)=2h 2 (r,t)i I(r) = (r) 2 (B04.6.1) 6 I(r) = A 0 2 Fazendo arg{a0} = 0, kr=2πq, esferas concentricas r 2 separadas por uma distancia radial λ=2π/k

7 Aproximação de Fresnel Vamos agora imaginar uma onda esférica originaria em r=0 mas que está suficientemente perto do eixo z e longe da origem, de tal forma que:p x2 + y 2 z A aproximação paraxial pode ser aplicada (tan θ θ), ou seja: 2 = (x2 + y 2 ) z 2 1 e aplicando expansão em série de Taylor p p 1+ r = x 2 + y 2 + z 2 = z 1+ 2 = z = z + x2 + y 2 z 2 2z

8 Aproximação de Fresnel r z = z + x2 + y 2 2z essa expressão é substituída na fase da Eq.(B04.6.1). (r) = A 0 r e ikr Todavia, sendo a magnitude menos sensível a erro do que a fase, podemos utilizar uma aproximação de primeira ordem r z O resultado é conhecido como aproximação de Fresnel para ondas esféricas: (r) A 0 z e ikz e ik x 2 +y 2 2z 8

9 Aproximação de Fresnel Para pontos (x,y) próximos ao eixo z, dentro de um circulo de raio a=(x 2 +y 2 ) 1/2 a validade da aproximação de Fresnel é a 4 4z 3 ou N F 2 m 4 1 onde: m = a z e N F = a2 z Número de Fresnel 9

10 Ondas Paraxiais Uma onda é dita paraxial se suas normais de frente de onda são raios paraxiais. Uma maneira de construir uma onda paraxial é começar com uma onda plana! (r) =Ae ikz considerá-la como uma onda portador, e modificar ou modular seu envelope complexo A, tornando-o uma função de variação lenta em relação a posição, A(r), de modo que a amplitude complexa da onda modulada torna-se (r) =A(r)e ikz (B4.10.1) 10

11 Ondas Paraxiais (r) =A(r)e ikz (r, t) = A(r) cos(2 t kz + arg{a(r)}) A variação do envelope A(r) e sua derivada em relação a z deve ser lenta comparada com o comprimento de onda 2π/k, mantendo aproximadamente na forma de onda plana 11

12 Equação de Helmholtz Paraxial Para a onda paraxial, Eq.(B4.10.1), satisfazer a equação de Helmholtz, o envelope complexo A(r) deve satisfazer outra equação diferencial parcial, obtida substituindo uma equação na outra. Assumir que A(r) varia lentamente com z significa que: (r) =A(r)e ikz r 2 +k 2 =0 A z= A Ou seja: A @z A = Ak 2

13 Equação de A = Ak A derivada dessa equação também deve variar lentamente, na região dentro de um comprimento de onda tal 2 (r) =A(r)e 2 2 k2 A r 2 +k 2 =0 Exercício 3: Substituir a Eq. de onda na Eq. de Helmholtz e encontrar: Ver Pag 48 do livro 13

14 Equação de Helmholtz Paraxial A Equação: r 2 =0 r Helmholtz Paraxial Laplaciano Transverso Essa equação é a aproximação de Helmholtz para ondas com envelopes variando lentamente, ou simplesmente Equação Paraxial de Helmholtz Similar com a Eq. de Schrodinger de física quantica. Solução mais simples é a Equação da onda paraboloide. Uso mais interessante é do feixe Gaussiano 14

15 Lista 2) Exercício 4 15

16 Relação entre Óptica ondulatória e de Raio A otica de raios surge como um caso limite da optica ondulatorio quando o comprimento de onda 0! 0 espaço livre Escrevendo a amplitude complexa como: (r) =a(r)e ik 0S(r) magnitude, fase e k 0 = 2 0 A frente de onda são as superfícies S(r) = constante (eikonal) k = nk 0 16

17 Relação entre Óptica ondulatória e de Raio 17

18 Equação Eikonal Eq. de Fresnel: r 2 n 2 c 2 =0 Onda harmonica: (r,t)=a(r)e i(k r!t) A(z) =e a(z)+ik0 Por simplicidade: (z,t) =e a(z)+ik 0(nz Eikonal S(r) é o Caminho Optico nz r(r ) r 2 = r 2 = r = r(a + ik 0 S) r 2 a + ik 0 r 2 S +(ra) 2 18 ct+ ) k = n! c r 2 (a + ik 0 S)+(r(a + ik 0 S)) 2 2 k 2 0(rS) 2 +2ik 0 ra rs

19 r 2 n 2 c 2 =0 (r,t)=a(r)e i(k r!t) (z,t) =e a(z)+ik 0(nz ct+ ) k = n! c 2 r 2 +n 2 k 2 0 =0 A(z) =e a(z)+ik 0 r 2 = r 2 a + ik 0 r 2 S +(ra) 2 19 k 2 0(rS) 2 +2ik 0 ra rs ik 0 2ra rs + r 2 S + r 2 a +(ra) 2 k 2 0(rS) 2 + n 2 k 2 0 2ra rs + r 2 S =0 r 2 a +(ra) 2 k0 2 (rs) 2 n 2 =0 a varia lentamente com o comprimento de onda, que por sua vez, tende a zero, assim: rs 2 n 2 Essa é a Eq. Eikonal da optica de raios, o principal postulado da optica de raios. Dado um n(r) podemos usar a Eq, da parte imaginaria para encontrar S(r). =0