Referência: E. Hecht, óptica, Fundação Calouste Gulbekian, segunda edição portuguesa (2002); Óptica moderna Fundamentos e Aplicações S. C.

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1 Aula 6 Ótica geométrica (complementos) Referência: E. Hecht, óptica, Fundação Calouste Gulbekian, segunda edição portuguesa (00); Óptica moderna Fundamentos e Aplicações S. C. Zílio (e-book) -Desenho e Fabricação Óptica S. C. Zílio (e-book) -Internet -Artigos RBEF, The Physics Teacher, Physics Education, American Journal of Physics, European Journal of Physics, etc...

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3 Na aula anterior estudamos a teoria paraxial aplicada a sistemas de lentes esféricas e delgadas. Duas aproximações foram realizadas: 1- todas as lentes eram delgadas; - A teoria de primeira ordem era suficiente para a sua análise; Sistemas óticos reais que exigem precisão, no entanto, não são compatíveis com estes pressupostos.

4 LENTES ESPESSAS Plano principal objeto Foco objeto F o V 1 H 1 Veremos que uma lente espessa pode ser encarada como um conjunto de lentes delgadas

5 LENTES ESPESSAS Plano principal imagem Foco imagem V F i H Veremos que uma lente espessa pode ser encarada como um conjunto de lentes delgadas

6 OS SEIS PONTOS CARDINAIS ( focais, principais e nodais) Pontos principais objeto e imagem F o F i H 1 H Pontos focais

7 PONTOS NODAIS N 1 O N Centro ótico Numa lente imersa num meio único, normalmente o ar, os pontos nodais (N 1 e N ) e os pontos principais (H 1 e H ) coincidem

8 Nas lentes simétricas, os planos principais se distribuem simetricamente Regra útil: para lentes de vidro no ar, a separação H 1 H é aproximadamente igual a um terço da espessura V 1 V

9 A lente plástica plana de um retroprojetor pode ser usada para figuras cômicas

10 Formulação Matricial Ideal para descrever sistemas com muitos elementos óticos θ i Y i Y e θ e Y e = S 11 Y i + S 1 θ i θ e = S 1 Y i + S θ i Y e θe 1 R e = = S S S 11 R i S S 1 Yi θi

11 R = S S S n n n R i Ex. Matriz S para uma lente positiva s s objeto d d f f imagem

12 Na aproximação paraxial, d e d são muito menores do que f Para o raio 1: Y i = Y e = +d, θ i d /f, θ e = 0 Para o raio :Y i = Y e = -d, θ i =0, θ e d /f raio 1 s raio 1 s Ye θe = d' = 0 S S S S S S S S 1 1 Yi θi d d f ' ' objeto θ i d d f f imagem raio raio d d ' f = S S 1 S d S

13 Temos, então: S = f

14 aberrações Teoria de terceira ordem senθ = θ 3 θ 3! + 5 θ 5! Paraxial ou primeira ordem Os desvios em relação à teoria de primeira ordem dão origem às aberrações primárias.

15 Aberração esférica Aberração esférica: consiste na dependência da distância focal com a abertura para raios não paraxiais. h C F R Aberração esférica longitudinal Foco paraxial = i i o o i o s R s n R s s n h R n n s n s n Termo adicional

16 Coma: aberração primária monocromática, que degrada a imagem de objetos pontuais não axiais. A origem do coma reside no fato de que os planos principais só são realmente planos na região paraxial, sendo de fato superfícies curvas. Plano principal objeto Foco objeto F o V 1 H 1

17 A distância focal efetiva varia quando se consideram raios que atravessam a lente em posições não axiais. Quando a imagem se forma sobre o eixo ótico, esta situação é irrelevante; no entanto, para feixes de raios oblíquos e imagens não axiais, o coma torna-se bem visível.

18 Ótica da partículas carregadas Refração de um feixe de partículas d E = 0 E = 0 v y = v 1y θ r v x θ i v 1y v 1x V 1 V 1 V V E = (V V 1 )/d

19 Supondo que o elétron foi acelerado a partir do repouso q(v 1 V o )= ½ mv 1 v 1y d E = 0 E = 0 v 1x θ i v y = v 1y θ r v x V 1 V 1 V V E = (V V 1 )/d Quando cruza a superfície equipotencial, a componente tangencial de sua velocidade (v o senθ i ) não mudará, mas a componente normal (v o cosθ i ) mudará para v o cos(θ r ). Então v senθ 1 i = v senθ r senθ senθ i r = v v 1 = ( V ( V 1 V V o o ) ) = n n 1

20 Analogia com lentes óticas

21 Ótica de partículas em campos axialmente simétricos Ótica de partículas em campos axialmente simétricos Na ausência de campos magnéticos, a equação do movimento de uma partícula carregada e escrita como x q dt x d m = φ x q dt x d m = φ x q dt x d m = φ

22 Na ausência de fontes, a equação de Lapace pode ser escrita como x φ + y φ + z φ = 0 De modo geral, não há solução analítica para a maioria dos casos, mas pode-se resolver numericamente. A maioria das lentes eletrostáticas, sao feitas por campos elétricos com simetria axial, obtidas por tubos ou aberturas cilíndricas.

23 Lente eletrostática consistindo de dois tubos cilindricos. a) representação esquemática, b) o potencial e sua segunda derivada, c) analogia com a ótica geométrica.

24 Solução numérica: Método da relaxação U U U x y = + U U x x Ux ( + x, y) U ( x x, y) = x

25 Segunda derivada x U U ( x+ x, y) U ( x x, y) = x x Vamos calcular o primeiro termo da expressão acima: 1 = U ( x+ x, y) U ( x x, y) x x x x U ( x+ x, y)

26 1 U ( x, y) = ( U ( x+, y) + U ( x, y+ ) + U ( x, y) + U ( x, y )) 4 (x,y+ ) (x-,y) (x,y) (x+,y) (x,y- )

27 Representação de uma lente espessa P Plano de referência P 1 P Plano principal objeto F imagem F 1 f f 1 Q F 1 F Plano principal

28 A partícula entrando na lente paralela ao eixo ótico segue uma linha reta até o plano principal P, onde a trajetória é refratada de tal modo que passa pelo ponto focal F. A partícula passando pelo ponto focal F 1 segue uma linha reta até o plano principal P 1 e é então refratada de tal modo que deixa a lente paralela ao eixo ótico. Trajetórias paralelas na entrada, se cruzam no ponto focal F.

29 Algumas relações úteis podem ser obtidas a partir da lente espessa: ( P F Q F = f f )( ) 1 1 M = f = ( P f ) f 1 ( Q F ) 1 magnificação linear (r /r 1 ).

30 Geometria de lentes V 1 V D 0.1 D V 1 V V 3 D 0.1 D V 1 V V 3 V 4 D 0.1 D 0.1 D

31 Programas de simulação

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34 Lente einzel

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36 ev 90 ev 80 ev 70 ev Q/D P/D ( P F Q F = f f )( ) 1 1

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