Óptica Geométrica: Óptica de raios com matrizes

Tamanho: px
Começar a partir da página:

Download "Óptica Geométrica: Óptica de raios com matrizes"

Transcrição

1 Óptica 0/007 UFRJ - IF Prof. Paulo H. S. Ribeiro Óptica Geométrica: Óptica de raios com matrizes Aula 4 Adriano Henrique de Oliveira Aragão

2 Sumário Ótica Geométrica: postulados Princípio de Fermat A equação do raio Equações de Hamilton Caracterização geométrico-óptica de componentes óticos Matrizes de raios

3 Óptica Quântica: explica a maioria dos fenômenos ópticos Óptica Eletromagnética: tratamento clássico mais completo sobre a luz Óptica Ondulatória: aproximação escalar para a Óptica Eletromagnética Óptica de Raios: Quando as ondas de luz passam por objetos de dimensões muito maiores que o seu comprimento de onda. O Comportamento da luz pode ser descrito por raios obedecendo certas leis geométricas

4 Postulados da Óptica de Raios (segundo Saleh & Teich). Luz viaja na forma de raios. Os raios são emitidos por uma fonte de luz e podem ser observados quando alcançam um detector óptico.. Um meio óptico é caracterizado pelo seu índice de refração nc/v, onde v (c) é a velocidade da luz no meio (vácuo). O tempo que a luz leva para percorrer uma distância d é td/vnd/c. A distância nd é conhecida como caminho óptico.

5 3. Em um meio não homogêneo, n(r) é função da posição r(x,y,z). O comprimento do caminho óptico ao longo de um dado traçado entre dois pontos A e B é: B A n( r ) ds, onde ds é o elemento diferencial de comprimento ao longo do caminho. + Princípio de Fermat

6 Princípio de Fermat Raios ópticos viajando entre dois pontos A e B seguem um caminho tal que o tempo do trajeto entre eles é um extremo relativo aos caminhos vizinhos. Matematicamente, B n ( r δ ) ds 0, A Usualmente, o caminho óptico é um mínimo, caso no qual, De todos os caminhos possíveis para ir de um ponto a outro, a luz segue aquele que é percorrido no tempo mínimo.

7 Meio homogêneo (ncte): caminho ótico mínimo corresponde à distância mínima -> Propagação retilínea da luz entre pontos. P.F. leva a lei da reflexão e da refração Onde está o ponto P que minimiza o caminho ótico [AP]+[PB]? d ( n AP + n PB) dx n sinθ n sin θ 0

8 Ainda o Princípio de Fermat: ds T n[ r ( s)] ds v c Considere uma variação no caminho: Calcule usando δt δnds + nδds c δn n δr, δds ( dr + δdr ) r( s) r( s) +δr ( s) ( dr ) n dr ds ds dr ds dδr ds e integrando por partes, obtém-se 0 d n ds

9 A equação do raio n d ds n dr ds 0 ds é um comprimento diferencial ao longo da trajetória do raio ( dx) + ( dy) ( dz ) ds + Trajetória descrita por x(s), y(s) e z(s), sendo que r(s) é o vetor formado com essas componentes. Solução dessa equação + condições de contorno trajetórias representando um grupo (feixe) de raios. Equação paraxial do raio: ds dz d dz n dx dz n x

10 Formulações equivalentes: Equação Eikonal: O eikonal S(r) é uma função da posição tal que B A suas superfícies equiníveis são ortogonais em todo lugar aos raios óticos, os comprimentos do caminho ótico ao longo de todos os raios de uma superfície equinível para outra são iguais. os raios estão ao longo do gradiente de S(r). S ( r ) n ( r ) B n( r ) ds S( r ) ds S( B) S( A) A Equação eikonal é equivalente ao princípio de Fermat!

11

12 Formulação Hamiltoniana: Defina uma hamiltoniana H ( f / c) σ σ ( x, y, σ x, σ y; z) n ( x, y, z) x y Onde: Usualmente representamos a distribuição de luz sobre um plano zcte especificando o ponto (x,y) e os ângulos (θx,θy) nos quais os raios interceptam o plano. (θx,θy) é o ângulo que o raio faz com o plano (y,x)-z. σ x, y sin σ λ x, y e λ é o comprimento de onda da luz no meio. e use dx dz H σ x d σ H x dz x

13 Componentes Ópticos: Espelho Plano: Reflete raios originados de um ponto tal que os raios refletidos parecem se originar de um outro ponto atrás do espelho, chamado imagem.

14 Espelho Parabolóide: Foca todos raios incidentes paralelos ao seu eixo em um mesmo ponto, o chamado foco.

15 Espelho Esférico: s distância do objeto s distância da imagem r raio de curvatura sinθ sinθ ( r s' ) ( s r) Aberração esférica! Diferentes raios não vão para o mesmo foco Aproximação paraxial: s + s' r f

16 Interface dielétrica curvada: s distância do objeto s distância da imagem r raio de curvatura sinθ sinθ ' ( s r) n ( s + r) n Aproximação paraxial: Aberração esférica também! n n n n + s s' r

17 Lentes delgadas: Para uma lente com índice n e raios de curvaturas r e r, as distâncias das imagens e do objeto estão relacionadas por ( ) f r r n s s ' + Combinação de lentes delgadas: a distância focal f de qualquer número de lentes delgadas (todas em contato mútuo) é f f f f

18 Caracterização geométrico-óptica de componentes óticos ) Secções do espaço livre (raios paraxiais!!) d dz n dx dz n x d dz n dy dz n y ( x, dz y) Para n constante, 0 d -> raios são linhas retas Se um raio intercepta o plano zz em (x,y) fazendo ângulos (θx,θy) com os planos y-z e x-z, então o raio irá interceptar o plano zzz+d em (x,y) fazendo ângulos (θx,θy), onde x x + d y y + d θ x θ y θ θ θ y θ y x x

19 y y + θ y d θ θ y y

20 ) Lentes delgadas: Para uma lente delgada de foco em f, x x θ x θ x Matriz de transferência de raios x f

21 Na aproximação paraxial, a relação entre o ponto de entrada e o de saída de um sistema ótico é linear, sendo que de forma geral, podemos escrever y + Bθ θ Cy + Dθ Ay O que nos permite escrever y θ A C B D y θ Essa matriz caracteriza a transformação que o sistema ótico faz nos raios incidentes

22 Exemplos: ) Reflexão em um espelho plano: M 0 0 ) Propagação no espaço livre: M d 0

23 3) Reflexão em um espelho esférico: 0 r M 4) Refração em uma superfície esférica ( ) 0 n n r n n n M

24 5) Refração em uma superfície plana: M 0 0 n n 6) Transmissão através de uma lente delgada M f 0

25 Uma das vantagens dessa técnica é que podemos decompor um sistema ótico complicado em uma multiplicação de matrizes mais simples: M... M Mn M onde M M N M M

26 Matrizes de raios para feixes Gaussianos O formalismo de matrizes também é útil para descrever feixes Gaussianos. Se nós temos um feixe Gaussiano de comprimento de onda λ, raio de curvatura R e cintura do feixe w, é possível definir um parâmetro complexo para o feixe q através de: w i R q π λ Esse feixe pode ser propagado através de um sistema ótico com uma matriz dada usando a equação q D C B A k q

27 Fim! Pausa para café e depois, Gabriela entra em ação.

(D) A propriedade que permite reconhecer dois sons correspondentes à mesma nota musical, emitidos por fontes sonoras diferentes, é a frequência.

(D) A propriedade que permite reconhecer dois sons correspondentes à mesma nota musical, emitidos por fontes sonoras diferentes, é a frequência. Escola Físico-Química 8. Ano Data Nome N.º Turma Professor Classificação 1. O som é produzido pela vibração de uma fonte sonora. Essa vibração, ao propagar-se num meio material, como, por exemplo, o ar,

Leia mais

Cálculo Diferencial e Integral II

Cálculo Diferencial e Integral II 1 álculo Diferencial e Integral II Exercícios para as aulas práticas - 5 1. alcule o integral estendido a, ds, em que é o segmento de recta de x y extremos A(0, 2) e B(4, 0), percorrido de A para B. 2.

Leia mais

Refração da Luz Índice de refração absoluto Índice de refração relativo Leis da refração Reflexão total da luz Lentes Esféricas Vergência de uma lente

Refração da Luz Índice de refração absoluto Índice de refração relativo Leis da refração Reflexão total da luz Lentes Esféricas Vergência de uma lente Refração da Luz Índice de refração absoluto Índice de refração relativo Leis da refração Reflexão total da luz Lentes Esféricas Vergência de uma lente Introdução Você já deve ter reparado que, quando colocamos

Leia mais

Apostila de Física 39 Lentes Esféricas

Apostila de Física 39 Lentes Esféricas Apostila de Física 39 Lentes Esféricas 1.0 Definições Lente Sistemas ópticos de maior importância em nossa civilização. Lente esférica Sistema óptico constituído por 3 meios homogêneos e transparentes

Leia mais

Teste de Avaliação 3 B - 08/02/2013

Teste de Avaliação 3 B - 08/02/2013 E s c o l a S e c u n d á r i a d e A l c á c e r d o S a l Ano letivo 2012/2013 Ciências Físico-químicas 8º an o Teste de Avaliação 3 B - 08/02/2013 Nome Nº Turma 1. A figura mostra um feixe de luz muito

Leia mais

Aula 6 Derivadas Direcionais e o Vetor Gradiente

Aula 6 Derivadas Direcionais e o Vetor Gradiente Aula 6 Derivadas Direcionais e o Vetor Gradiente MA211 - Cálculo II Marcos Eduardo Valle Departamento de Matemática Aplicada Instituto de Matemática, Estatística e Computação Científica Universidade Estadual

Leia mais

ÓPTICA GEOMÉTRICA ÓPTICA REFLEXÃO MEIOS DE PROPAGAÇÃO DA LUZ CORPOS TRANSPARENTES CORPOS TRANSLÚCIDOS CORPOS OPACOS

ÓPTICA GEOMÉTRICA ÓPTICA REFLEXÃO MEIOS DE PROPAGAÇÃO DA LUZ CORPOS TRANSPARENTES CORPOS TRANSLÚCIDOS CORPOS OPACOS 12. Num calorímetro de capacidade térmica 8,0 cal/ o C inicialmente a 10º C são colocados 200g de um líquido de calor específico 0,40 cal/g. o C. Verifica-se que o equilíbrio térmico se estabelece a 50º

Leia mais

08/12/2014 APLICAÇÕES DE ESPELHOS ESFERICOS TEORIA INTRODUÇÃO. Departamento de Física, Campus de Ji-Paraná Semestre2014-2

08/12/2014 APLICAÇÕES DE ESPELHOS ESFERICOS TEORIA INTRODUÇÃO. Departamento de Física, Campus de Ji-Paraná Semestre2014-2 Departamento de Física, Campus de Ji-Paraná Semestre2014-2 Aula: Espelhos Esféricos 1 S ESFERICOS Um espelho esférico é formado por uma calota esférica refletora, com raio de curvatura definido. Se a superfície

Leia mais

TIPOS DE REFLEXÃO Regular Difusa

TIPOS DE REFLEXÃO Regular Difusa Reflexão da luz TIPOS DE REFLEXÃO Regular Difusa LEIS DA REFLEXÃO RI = raio de luz incidente i normal r RR = raio de luz refletido i = ângulo de incidência (é formado entre RI e N) r = ângulo de reflexão

Leia mais

I. Cálculo Diferencial em R n

I. Cálculo Diferencial em R n Análise Matemática II Mestrado Integrado em Engenharia Electrotécnica e de Computadores Ano Lectivo 2010/2011 2 o Semestre Exercícios propostos para as aulas práticas I. Cálculo Diferencial em R n Departamento

Leia mais

ÓPTICA GEOMÉTRICA. Lista de Problemas

ÓPTICA GEOMÉTRICA. Lista de Problemas Universidade Federal do Rio Grande do Sul Instituto de Física Departamento de Física FIS01044 UNIDADE II ÓPTICA GEOMÉTRICA Lista de Problemas Problemas extraídos de HALLIDAY, D., RESNICK, R., WALKER, J.

Leia mais

Assinale a alternativa que contém o gráfico que representa a aceleração em função do tempo correspondente ao movimento do ponto material.

Assinale a alternativa que contém o gráfico que representa a aceleração em função do tempo correspondente ao movimento do ponto material. Física 53. O gráfico da velocidade em função do tempo (em unidades aritrárias), associado ao movimento de um ponto material ao longo do eixo x, é mostrado na figura aaixo. Assinale a alternativa que contém

Leia mais

REFRAÇÃO DA LUZ. Neste capítulo estudaremos as leis da refração, a reflexão total e a formação de imagens nas lentes esféricas.

REFRAÇÃO DA LUZ. Neste capítulo estudaremos as leis da refração, a reflexão total e a formação de imagens nas lentes esféricas. AULA 18 REFRAÇÃO DA LUZ 1- INTRODUÇÃO Neste capítulo estudaremos as leis da refração, a reflexão total e a formação de imagens nas lentes esféricas. 2- A REFRAÇÃO A refração ocorre quando a luz ao passar

Leia mais

DEFIJI Semestre2014-1 10:07:19 1 INTRODUÇÃO

DEFIJI Semestre2014-1 10:07:19 1 INTRODUÇÃO 1 DEFIJI Semestre2014-1 Ótica Lentes Esféricos Prof. Robinson 10:07:19 1 O ÍNDICE DE REFRAÇÃO INTRODUÇÃO Quando a luz passa de um meio para outro, sua velocidade aumenta ou diminui devido as diferenças

Leia mais

Antenas e Propagação. Artur Andrade Moura. amoura@fe.up.pt

Antenas e Propagação. Artur Andrade Moura. amoura@fe.up.pt 1 Antenas e Propagação Artur Andrade Moura amoura@fe.up.pt 2 Parâmetros fundamentais das antenas Permitem caracterizar o desempenho, sobre vários aspectos, das antenas Apresentam-se definições e utilização

Leia mais

Espectrofotometria Pro r fe f ssor H elber Barc r ellos

Espectrofotometria Pro r fe f ssor H elber Barc r ellos Espectrofotometria Professor Helber Barcellos Espectrofotometria A Espectrofotometria é um processo de medida que emprega as propriedades dos átomos e moléculas de absorver e/ou emitir energia eletromagnética

Leia mais

ÓTICA COM ÍNDICE DE REFRAÇÃO NEGATIVO

ÓTICA COM ÍNDICE DE REFRAÇÃO NEGATIVO Ótica com Índice de Refração Negativo 1 ÓTICA COM ÍNDICE DE REFRAÇÃO NEGATIVO Walter S. Santos 1, Antonio Carlos F. Santos 2, Carlos Eduardo Aguiar 2 1 Colégio Pedro II, Rio de Janeiro 2 Instituto de Física,

Leia mais

Óptica Geométrica. Universidade do Estado do Rio Grande do Norte. Dr. Edalmy Oliveira de Almeida

Óptica Geométrica. Universidade do Estado do Rio Grande do Norte. Dr. Edalmy Oliveira de Almeida Universidade do Estado do Rio Grande do Norte Rua Almino Afonso, 478 - Centro Mossoró / RN CEP: 59.610-210 www.uern.br email: reitoria@uern.br ou Fone: (84) 3315-2145 3342-4802 Óptica Geométrica Dr. Edalmy

Leia mais

x d z θ i Figura 2.1: Geometria das placas paralelas (Vista Superior).

x d z θ i Figura 2.1: Geometria das placas paralelas (Vista Superior). 2 Lentes Metálicas Este capítulo destina-se a apresentar os princípios básicos de funcionamento e dimensionamento de lentes metálicas. Apresenta, ainda, comparações com as lentes dielétricas, cujas técnicas

Leia mais

UNIVERSIDADE FEDERAL DO RIO GRANDE DO SUL INSTITUTO DE FÍSICA PROGRAMA DE PÓS-GRADUAÇÃO EM ENSINO DE FÍSICA

UNIVERSIDADE FEDERAL DO RIO GRANDE DO SUL INSTITUTO DE FÍSICA PROGRAMA DE PÓS-GRADUAÇÃO EM ENSINO DE FÍSICA UNIVERSIDADE FEDERAL DO RIO GRANDE DO SUL INSTITUTO DE FÍSICA PROGRAMA DE PÓS-GRADUAÇÃO EM ENSINO DE FÍSICA Mestrando Patrese Coelho Vieira Porto Alegre, maio de 0 O presente material é uma coletânea sobre

Leia mais

UFMG - 2005 2º DIA FÍSICA BERNOULLI COLÉGIO E PRÉ-VESTIBULAR

UFMG - 2005 2º DIA FÍSICA BERNOULLI COLÉGIO E PRÉ-VESTIBULAR UFMG - 2005 2º DIA FÍSICA BERNOULLI COLÉGIO E PRÉ-VESTIBULAR Física Questão 01 Durante um voo, um avião lança uma caixa presa a um paraquedas. Após esse lançamento, o paraquedas abre-se e uma força F,

Leia mais

Curvas em coordenadas polares

Curvas em coordenadas polares 1 Curvas em coordenadas polares As coordenadas polares nos dão uma maneira alternativa de localizar pontos no plano e são especialmente adequadas para expressar certas situações, como veremos a seguir.

Leia mais

DESENHO E FABRICAÇÃO ÓPTICA. Sérgio Carlos Zilio

DESENHO E FABRICAÇÃO ÓPTICA. Sérgio Carlos Zilio DESENHO E FABRICAÇÃO ÓPTICA Sérgio Carlos Zilio Instituto de Física de São Carlos Universidade de São Paulo 2007 Prefácio Este é um texto destinado à introdução dos conceitos ligados ao cálculo e construção

Leia mais

Série 3ª SÉRIE ROTEIRO DE ESTUDOS DE RECUPERAÇÃO E REVISÃO 3º BIMESTRE / 2013

Série 3ª SÉRIE ROTEIRO DE ESTUDOS DE RECUPERAÇÃO E REVISÃO 3º BIMESTRE / 2013 Disciplina FÍSICA Curso ENSINO MÉDIO Professor ANDRÉ ITO Série 3ª SÉRIE ROTEIRO DE ESTUDOS DE RECUPERAÇÃO E REVISÃO 3º BIMESTRE / 2013 Aluno (a): Número: 1 - Conteúdo: Espelhos esféricos e lentes; 2 -

Leia mais

FÍSICA. Professor Felippe Maciel Grupo ALUB

FÍSICA. Professor Felippe Maciel Grupo ALUB Revisão para o PSC (UFAM) 2ª Etapa Nas questões em que for necessário, adote a conversão: 1 cal = 4,2 J Questão 1 Noções de Ondulatória. (PSC 2011) Ondas ultra-sônicas são usadas para vários propósitos

Leia mais

Física - UFRGS 2010. 02. Alternativa D Afirmativa I Um ano corresponde à distância percorrida pela luz durante um ano.

Física - UFRGS 2010. 02. Alternativa D Afirmativa I Um ano corresponde à distância percorrida pela luz durante um ano. Física - UFRGS 2010 01. Alternativa E De acordo com as leis de Kepler, a órbita de cada planeta é uma elipse com o Sol em um dos focos. A reta que une um planeta e o Sol, varre áreas iguais em tempos iguais

Leia mais

Potenciação no Conjunto dos Números Inteiros - Z

Potenciação no Conjunto dos Números Inteiros - Z Rua Oto de Alencar nº 5-9, Maracanã/RJ - tel. 04-98/4-98 Potenciação no Conjunto dos Números Inteiros - Z Podemos epressar o produto de quatro fatores iguais a.... por meio de uma potência de base e epoente

Leia mais

Cap. 7 - Fontes de Campo Magnético

Cap. 7 - Fontes de Campo Magnético Universidade Federal do Rio de Janeiro Instituto de Física Física III 2014/2 Cap. 7 - Fontes de Campo Magnético Prof. Elvis Soares Nesse capítulo, exploramos a origem do campo magnético - cargas em movimento.

Leia mais

LENTES ESFÉRICAS DELGADAS

LENTES ESFÉRICAS DELGADAS COLÉGIO MILITAR DE JUIZ DE FORA CMJF DISCIPLINA: Física 2 a Série Ensino Médio / 2007 Professor: Dr. Carlos Alessandro A. da Silva Notas de Aula: Lentes Delgadas LENTES ESFÉRICAS DELGADAS Elementos geométricos

Leia mais

1. (G1 - utfpr 2014) Sobre fenômenos ópticos, considere as afirmações abaixo.

1. (G1 - utfpr 2014) Sobre fenômenos ópticos, considere as afirmações abaixo. 1. (G1 - utfpr 2014) Sobre fenômenos ópticos, considere as afirmações abaixo. I. Se uma vela é colocada na frente de um espelho plano, a imagem dela localiza-se atrás do espelho. II. Usando um espelho

Leia mais

www.fisicanaveia.com.br

www.fisicanaveia.com.br www.fisicanaveia.com.br Lentes Esféricas Lentes Esféricas: construção Biconvexa Lentes Esféricas: construção PLANO-CONVEXA Lentes Esféricas: construção CÔNCAVO-CONVEXA Lentes Esféricas: construção BICÔNCAVA

Leia mais

UniposRio - FÍSICA. Leia atentamente as oito (8) questões e responda nas folhas de respostas fornecidas.

UniposRio - FÍSICA. Leia atentamente as oito (8) questões e responda nas folhas de respostas fornecidas. UniposRio - FÍSICA Exame Unificado de Acesso às Pós-Graduações em Física do Rio de Janeiro 9 de novembro de 00 Nome (legível): Assinatura: Leia atentamente as oito (8) questões e responda nas folhas de

Leia mais

Óptica. Estudo da luz, como sendo a onda eletromagnética pertencentes à faixa do espectro visível (comprimento de 400 nm até 700 nm).

Óptica. Estudo da luz, como sendo a onda eletromagnética pertencentes à faixa do espectro visível (comprimento de 400 nm até 700 nm). Óptica Estudo da luz, como sendo a onda eletromagnética pertencentes à faixa do espectro visível (comprimento de 400 nm até 700 nm). Fenômenos ópticos Professor: Éder (Boto) Sobre a Luz O que emite Luz?

Leia mais

II Cálculo Integral em R n

II Cálculo Integral em R n Análise Matemática II Mestrado Integrado em Engenharia Electrotécnica e de omputadores Ano Lectivo 2/22 2 o emestre Exercícios propostos para as aulas práticas II álculo Integral em R n Departamento de

Leia mais

Os Postulados da Mecânica Quântica

Os Postulados da Mecânica Quântica Márcio H. F. Bettega Departamento de Física Universidade Federal do Paraná bettega@fisica.ufpr.br Postulados Introdução Vamos apresentar nestas notas os postulados da mecânica quântica de acordo com o

Leia mais

Aulas 09 a 12. Lentes Esféricas

Aulas 09 a 12. Lentes Esféricas Aulas 09 a 12 Lentes Esféricas Associação de dois meios com refringências diferentes separados por duas superfícies curvas ou uma plana e outra curva. 24/03/2013 Lentes Esféricas 2 Lentes Esféricas e Delgadas

Leia mais

1 Propagação de Onda Livre ao Longo de um Guia de Ondas Estreito.

1 Propagação de Onda Livre ao Longo de um Guia de Ondas Estreito. 1 I-projeto do campus Programa Sobre Mecânica dos Fluidos Módulos Sobre Ondas em Fluidos T. R. Akylas & C. C. Mei CAPÍTULO SEIS ONDAS DISPERSIVAS FORÇADAS AO LONGO DE UM CANAL ESTREITO As ondas de gravidade

Leia mais

Estatística e Probabilidade. Aula 8 Cap 05. Distribuição normal de probabilidade

Estatística e Probabilidade. Aula 8 Cap 05. Distribuição normal de probabilidade Estatística e Probabilidade Aula 8 Cap 05 Distribuição normal de probabilidade Estatística e Probabilidade Na aula anterior vimos... Distribuições Binomiais Distribuição Geométrica Distribuição de Poisson

Leia mais

Lentes esféricas delgadas

Lentes esféricas delgadas PRTE II Unidade E Capítulo 4 Lentes esféricas delgadas Seções: 4 Introdução 42 Propriedades das lentes delgadas 43 Estudo analítico das lentes ntes de estudar o capítulo Veja nesta tabela os temas principais

Leia mais

Além do Modelo de Bohr

Além do Modelo de Bohr Além do Modelo de Bor Como conseqüência do princípio de incerteza de Heisenberg, o conceito de órbita não pode ser mantido numa descrição quântica do átomo. O que podemos calcular é apenas a probabilidade

Leia mais

3.4 Movimento ao longo de uma curva no espaço (terça parte)

3.4 Movimento ao longo de uma curva no espaço (terça parte) 3.4-41 3.4 Movimento ao longo de uma curva no espaço (terça parte) Antes de começar com a nova matéria, vamos considerar um problema sobre o material recentemente visto. Problema: (Projeção de uma trajetória

Leia mais

I CAPÍTULO 19 RETA PASSANDO POR UM PONTO DADO

I CAPÍTULO 19 RETA PASSANDO POR UM PONTO DADO Matemática Frente I CAPÍTULO 19 RETA PASSANDO POR UM PONTO DADO 1 - RECORDANDO Na última aula, nós vimos duas condições bem importantes: Logo, se uma reta passa por um ponto e tem um coeficiente angular,

Leia mais

Aula 9 Plano tangente, diferencial e gradiente

Aula 9 Plano tangente, diferencial e gradiente MÓDULO 1 AULA 9 Aula 9 Plano tangente, diferencial e gradiente Objetivos Aprender o conceito de plano tangente ao gráfico de uma função diferenciável de duas variáveis. Conhecer a notação clássica para

Leia mais

ESTUDO DIRIGIDO DE REVISÃO PARA RECUPERAÇÃO FINAL - 2015

ESTUDO DIRIGIDO DE REVISÃO PARA RECUPERAÇÃO FINAL - 2015 Nome: 2ª série: n o Professor: Luiz Mário Data: / / 2015. ESTUDO DIRIGIDO DE REVISÃO PARA RECUPERAÇÃO FINAL - 2015 Orientações: - Este estudo dirigido poderá ser usado para revisar a matéria que será cobrada

Leia mais

Campos Vetoriais e Integrais de Linha

Campos Vetoriais e Integrais de Linha Cálculo III Departamento de Matemática - ICEx - UFMG Marcelo Terra Cunha Campos Vetoriais e Integrais de Linha Um segundo objeto de interesse do Cálculo Vetorial são os campos de vetores, que surgem principalmente

Leia mais

Capítulo 5: Aplicações da Derivada

Capítulo 5: Aplicações da Derivada Instituto de Ciências Exatas - Departamento de Matemática Cálculo I Profª Maria Julieta Ventura Carvalho de Araujo Capítulo 5: Aplicações da Derivada 5- Acréscimos e Diferenciais - Acréscimos Seja y f

Leia mais

3ª Série de Problemas Mecânica e Ondas MEBM, MEFT, LMAC, LEGM

3ª Série de Problemas Mecânica e Ondas MEBM, MEFT, LMAC, LEGM 3ª Série de Problemas Mecânica e Ondas MEBM, MEFT, LMAC, LEGM 1. Um cientista está no seu moinho, no topo de uma falésia junto à costa marítima, apontando o seu pequeno radiotelescópio para uma estrela

Leia mais

Tomografia por emissão de pósitrons (PET) Pedro Bastos Costa

Tomografia por emissão de pósitrons (PET) Pedro Bastos Costa Tomografia por emissão de pósitrons (PET) Pedro Bastos Costa Introdução Na Tomografia por Emissão de Pósitrons (PET), diferentemente dos exames de Raio-x ou CT, a emissão da radiação é realizada diretamente

Leia mais

DISCIPLINA EFEITOS BIOLÓGICOS DA RADIAÇÕES NÃO IONIZANTES 1º. QUADRIMESTRE DE 2012

DISCIPLINA EFEITOS BIOLÓGICOS DA RADIAÇÕES NÃO IONIZANTES 1º. QUADRIMESTRE DE 2012 INTERAÇÃO LASER-TECIDO DISCIPLINA EFEITOS BIOLÓGICOS DA RADIAÇÕES NÃO IONIZANTES 1º. QUADRIMESTRE DE 2012 1 INTERAÇÃO LUZ-TECIDOS Reflexão Espalhamento Transmissão Refração Absorção Ar Tecido Absorção

Leia mais

Retas e Planos. Equação Paramétrica da Reta no Espaço

Retas e Planos. Equação Paramétrica da Reta no Espaço Retas e lanos Equações de Retas Equação aramétrica da Reta no Espaço Considere o espaço ambiente como o espaço tridimensional Um vetor v = (a, b, c) determina uma direção no espaço Dado um ponto 0 = (x

Leia mais

Curso: Ensino Fundamental II Disciplina: MATEMÁTICA Professor: Álvaro / Leandro

Curso: Ensino Fundamental II Disciplina: MATEMÁTICA Professor: Álvaro / Leandro Nome do aluno: nº série/turma 9 Curso: Ensino Fundamental II Disciplina: MATEMÁTICA Professor: Álvaro / Leandro Data: De 17 a 21/08/2009 Bimestre: 3º Tipo de atividade: Lista de Exercícios A REFLEXÃO DA

Leia mais

7 AULA. Curvas Polares LIVRO. META Estudar as curvas planas em coordenadas polares (Curvas Polares).

7 AULA. Curvas Polares LIVRO. META Estudar as curvas planas em coordenadas polares (Curvas Polares). 1 LIVRO Curvas Polares 7 AULA META Estudar as curvas planas em coordenadas polares (Curvas Polares). OBJETIVOS Estudar movimentos de partículas no plano. Cálculos com curvas planas em coordenadas polares.

Leia mais

Instituto Superior Técnico Departamento de Matemática Última actualização: 11/Dez/2003 ÁLGEBRA LINEAR A

Instituto Superior Técnico Departamento de Matemática Última actualização: 11/Dez/2003 ÁLGEBRA LINEAR A Instituto Superior Técnico Departamento de Matemática Secção de Álgebra e Análise Última actualização: 11/Dez/2003 ÁLGEBRA LINEAR A FICHA 8 APLICAÇÕES E COMPLEMENTOS Sistemas Dinâmicos Discretos (1) (Problema

Leia mais

Refração da Luz Prismas

Refração da Luz Prismas Refração da Luz Prismas 1. (Fuvest 014) Um prisma triangular desvia um feixe de luz verde de um ângulo θ A, em relação à direção de incidência, como ilustra a figura A, abaixo. Se uma placa plana, do mesmo

Leia mais

4. Tangentes e normais; orientabilidade

4. Tangentes e normais; orientabilidade 4. TANGENTES E NORMAIS; ORIENTABILIDADE 91 4. Tangentes e normais; orientabilidade Uma maneira natural de estudar uma superfície S consiste em considerar curvas γ cujas imagens estão contidas em S. Se

Leia mais

ÓPTICA GEOMÉTRICA PREGOLINI

ÓPTICA GEOMÉTRICA PREGOLINI ÓPTICA GEOMÉTRICA PREGOLINI ÓPTICA GEOMÉTRICA É a parte da Física que estuda os fenômenos relacionados com a luz e sua interação com meios materiais quando as dimensões destes meios é muito maior que o

Leia mais

Flambagem de Colunas Introdução

Flambagem de Colunas Introdução - UNIVERSIDADE FEDERAL FLUMINENSE ESCOLA DE ENGENHARIA INDUSTRIAL METALÚRGICA DE VOLTA REDONDA PROFESSORA: SALETE BUFFONI DISCIPLINA: RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS Flambagem de Colunas Introdução Os sistemas

Leia mais

Universidade Estadual de Campinas. Instituto de Física Gleb Wataghin. F 609 - Tópicos de Ensino de Física. Relatório Parcial

Universidade Estadual de Campinas. Instituto de Física Gleb Wataghin. F 609 - Tópicos de Ensino de Física. Relatório Parcial Universidade Estadual de Campinas Instituto de Física Gleb Wataghin F 609 - Tópicos de Ensino de Física Relatório Parcial Aluna: Luciene O. Machado Orientador:Antonio Carlos da Costa Coordenador: José

Leia mais

24/Abril/2013 Aula 19. Equação de Schrödinger. Aplicações: 1º partícula numa caixa de potencial. 22/Abr/2013 Aula 18

24/Abril/2013 Aula 19. Equação de Schrödinger. Aplicações: 1º partícula numa caixa de potencial. 22/Abr/2013 Aula 18 /Abr/013 Aula 18 Princípio de Incerteza de Heisenberg. Probabilidade de encontrar uma partícula numa certa região. Posição média de uma partícula. Partícula numa caixa de potencial: funções de onda e níveis

Leia mais

3. FORMAÇÃO DA IMAGEM

3. FORMAÇÃO DA IMAGEM 3. FORMAÇÃO DA IMAGEM 3.1 INTRODUÇÃO O sistema de geração da imagem de RM emprega muitos fatores técnicos que devem ser considerados, compreendidos e algumas vezes modificados no painel de controle durante

Leia mais

5/Dez/2012 Aula 21. 21. Polarização das ondas EM 21.1 Por absorção 21.2 Por reflexão 21.3 Por birrefringência 21.4 Equações de Fresnell

5/Dez/2012 Aula 21. 21. Polarização das ondas EM 21.1 Por absorção 21.2 Por reflexão 21.3 Por birrefringência 21.4 Equações de Fresnell 5/Dez/2012 Aula 21 21. Polarização das ondas EM 21.1 Por absorção 21.2 Por reflexão 21.3 Por birrefringência 21.4 Equações de Fresnell 7/Dez/2012 Aula 22 22. Óptica geométrica 22.1 Espelhos planos 22.2

Leia mais

Root Locus (Método do Lugar das Raízes)

Root Locus (Método do Lugar das Raízes) Root Locus (Método do Lugar das Raízes) Ambos a estabilidade e o comportamento da resposta transitória em um sistema de controle em malha fechada estão diretamente relacionadas com a localização das raízes

Leia mais

FÍSICA PRIMEIRA ETAPA - 1998

FÍSICA PRIMEIRA ETAPA - 1998 FÍSICA PRIMEIRA ETAPA - 1998 QUESTÃO 01 Este gráfico, velocidade versus tempo, representa o movimento de um automóvel ao longo de uma estrada reta A distância percorrida pelo automóvel nos primeiros 1

Leia mais

REFLEXÃO DA LUZ: ESPELHOS 412EE TEORIA

REFLEXÃO DA LUZ: ESPELHOS 412EE TEORIA 1 TEORIA 1 DEFININDO ESPELHOS PLANOS Podemos definir espelhos planos como toda superfície plana e polida, portanto, regular, capaz de refletir a luz nela incidente (Figura 1). Figura 1: Reflexão regular

Leia mais

Distribuição Gaussiana. Modelo Probabilístico para Variáveis Contínuas

Distribuição Gaussiana. Modelo Probabilístico para Variáveis Contínuas Distribuição Gaussiana Modelo Probabilístico para Variáveis Contínuas Distribuição de Frequências do Peso, em gramas, de 10000 recém-nascidos Frequencia 0 500 1000 1500 2000 2500 3000 3500 1000 2000 3000

Leia mais

Laboratório Virtual Kit Óptico

Laboratório Virtual Kit Óptico Laboratório Virtual Kit Óptico Reflexão A luz nem sempre se propaga indefinidamente em linha reta: em algumas situações eles podem se quebrar, como acontece quando um espelho é colocado em seu caminho.

Leia mais

EXPOSIÇÃO DE HOLOGRAFIA

EXPOSIÇÃO DE HOLOGRAFIA Universidade Estadual de Campinas Instituto de Física.Gleb Wataghin. EXPOSIÇÃO DE HOLOGRAFIA Apresentação dos experimentos com rede de difração, reflexão e refração Eduardo Salmazo Orientador: Prof. José

Leia mais

Lista de Revisão Óptica na UECE e na Unifor Professor Vasco Vasconcelos

Lista de Revisão Óptica na UECE e na Unifor Professor Vasco Vasconcelos Lista de Revisão Óptica na UECE e na Unifor Professor Vasco Vasconcelos 0. (Unifor-998. CE) Um objeto luminoso está inicialmente parado a uma distância d de um espelho plano fixo. O objeto inicia um movimento

Leia mais

Exercícios Adicionais

Exercícios Adicionais Exercícios Adicionais Observação: Estes exercícios são um complemento àqueles apresentados no livro. Eles foram elaborados com o objetivo de oferecer aos alunos exercícios de cunho mais teórico. Nós recomendamos

Leia mais

SEGEMENTAÇÃO DE IMAGENS. Nielsen Castelo Damasceno

SEGEMENTAÇÃO DE IMAGENS. Nielsen Castelo Damasceno SEGEMENTAÇÃO DE IMAGENS Nielsen Castelo Damasceno Segmentação Segmentação Representação e descrição Préprocessamento Problema Aquisição de imagem Base do conhecimento Reconhecimento e interpretação Resultado

Leia mais

Aula 17 GRANDEZAS ESCALARES E VETORIAIS. META Apresentar as grandezas vetoriais e seu signifi cado

Aula 17 GRANDEZAS ESCALARES E VETORIAIS. META Apresentar as grandezas vetoriais e seu signifi cado GRANDEZAS ESCALARES E VETORIAIS META Apresentar as grandezas vetoriais e seu signifi cado OBJETIVOS Ao fi nal desta aula, o aluno deverá: Diferenciar grandezas escalares e vetoriais; compreender a notação

Leia mais

Professor(a): Série: 1ª EM. Turma: Bateria de Exercícios de Física

Professor(a): Série: 1ª EM. Turma: Bateria de Exercícios de Física Nome: nº Professor(a): Série: 1ª EM. Turma: Data: / /2013 Sem limite para crescer Bateria de Exercícios de Física 3º Trimestre 1- A casa de Dona Maria fica no alto de uma ladeira. O desnível entre sua

Leia mais

Ondas Sonoras. Velocidade do som

Ondas Sonoras. Velocidade do som Ondas Sonoras Velocidade do som Ondas sonoras são o exemplo mais comum de ondas longitudinais. Tais ondas se propagam em qualquer meio material e sua velocidade depende das características do meio. Se

Leia mais

Plano de aula. 5. Metodologia: Aula expositiva dialógica orientada pela interação: alunos professor conhecimento.

Plano de aula. 5. Metodologia: Aula expositiva dialógica orientada pela interação: alunos professor conhecimento. Campus Jataí Plano de aula Disciplina: Ondas, Ótica e Termodinâmica Turma: Engenharia Elétrica (4º ano 2009/2) Professor: Rodrigo Claudino Diogo Data da aula: 30/11/2009 Duração: 1h00min 1. Tema: Lentes

Leia mais

CALIBRAÇÃO DE UM ESPECTROSCÓPIO DE PRISMA

CALIBRAÇÃO DE UM ESPECTROSCÓPIO DE PRISMA TRABALHO PRÁTICO CALIBRAÇÃO DE UM ESPECTROSCÓPIO DE PRISMA Objectivo: Neste trabalho prático pretende-se: na 1ª parte, determinar o índice de refracção de um poliedro de vidro; na 2ª parte, proceder à

Leia mais

Lentes e formação de imagem

Lentes e formação de imagem Lentes e formação de imagem Princípio de Huygens e por quê precisamos de instrumentos de formação de imagem Um instrumento simples de formação de imagem: a câmera pinhole Princípio de formação de imagem

Leia mais

Paulo J. S. Gil. Cadeira de Satélites, Lic. Eng. Aeroespacial

Paulo J. S. Gil. Cadeira de Satélites, Lic. Eng. Aeroespacial Mecânica de Partículas (Revisão) Paulo J. S. Gil Departamento de Engenharia Mecânica, Secção de Mecânica Aeroespacial Instituto Superior Técnico Cadeira de Satélites, Lic. Eng. Aeroespacial Paulo J. S.

Leia mais

Já vimos que a energia gravitacional entre duas partículas de massas m 1 e m 2, com vetores posição em r 1 e r 2, respectivamente, é dada por

Já vimos que a energia gravitacional entre duas partículas de massas m 1 e m 2, com vetores posição em r 1 e r 2, respectivamente, é dada por Força conservativa Já vimos que a energia gravitacional entre duas partículas de massas m 1 e m 2, com vetores posição em r 1 e r 2, respectivamente, é dada por U 12 = Gm 1m 2 r 2 r 1. Vimos também que

Leia mais

Atividade 7. Figura 1 (1) Figura 2 (2)

Atividade 7. Figura 1 (1) Figura 2 (2) Atividade 7 1) PROBLEMATIZAÇÃO: No dia-a-dia não é difícil nos depararmos com situações em que há o emprego de superfícies curvas refletindo luz. Dentre elas, podem ser citados os espelhos esféricos e

Leia mais

Márcio Dinis do Nascimento de Jesus

Márcio Dinis do Nascimento de Jesus Márcio Dinis do Nascimento de Jesus Trabalho 3 Modelação Matemática usando o software Modellus Departamento de Matemática Faculdade de Ciências e Tecnologia Universidade de Coimbra 2013 2 Modelação Matemática

Leia mais

INSTITUTO DE FÍSICA UNIVERSIDADE DE SÃO PAULO. Grupo:... (nomes completos) Prof(a).:... Diurno ( ) Noturno ( ) Experiência 8 LINHA DE TRANSMISSÃO

INSTITUTO DE FÍSICA UNIVERSIDADE DE SÃO PAULO. Grupo:... (nomes completos) Prof(a).:... Diurno ( ) Noturno ( ) Experiência 8 LINHA DE TRANSMISSÃO INSTITUTO DE FÍSICA UNIVERSIDADE DE SÃO PAULO Laboratório de Eletromagnetismo (4300373) Grupo:......... (nomes completos) Prof(a).:... Diurno ( ) Noturno ( ) Data : / / Experiência 8 LINHA DE TRANSMISSÃO

Leia mais

2. (G1 - ifsp 2012) Em um trecho retilíneo de estrada, dois veículos, A e B, mantêm velocidades constantes. 54 km/h

2. (G1 - ifsp 2012) Em um trecho retilíneo de estrada, dois veículos, A e B, mantêm velocidades constantes. 54 km/h MU 1. (Uerj 2013) Um motorista dirige um automóvel em um trecho plano de um viaduto. O movimento é retilíneo e uniforme. A intervalos regulares de 9 segundos, o motorista percebe a passagem do automóvel

Leia mais

FONTES DE CAMPO MAGNÉTICO. Caracterizar e mostrar o campo magnético produzido por uma carga a velocidade constante.

FONTES DE CAMPO MAGNÉTICO. Caracterizar e mostrar o campo magnético produzido por uma carga a velocidade constante. FONTES DE CAMPO MAGNÉTICO META Aula 8 Caracterizar e mostrar o campo magnético produzido por uma carga a velocidade constante. Mostrar a lei da circulação de Ampère-Laplace e a lei de Biot-Savart. Estudar

Leia mais

Reconhecimento de Padrões Utilizando Filtros Casados

Reconhecimento de Padrões Utilizando Filtros Casados Detecção e estimação de sinais Reconhecimento de Padrões Utilizando Filtros Casados Aline da Rocha Gesualdi Mello, José Manuel de Seixas, Márcio Portes de Albuquerque, Eugênio Suares Caner, Marcelo Portes

Leia mais

CAMPOS MAGNÉTICOS PRODUZIDOS POR CORRENTES

CAMPOS MAGNÉTICOS PRODUZIDOS POR CORRENTES Física (Eletromagnetismo) 1. Lei de iot-savart CAMPOS MAGNÉTICOS PRODUZIDOS POR CORRENTES A lei de iot-savart é uma lei no eletromagnetismo que descreve o vetor indução magnética em termos de magnitude

Leia mais

Universidade Federal do Pará Centro de Ciências Exatas e Naturais Departamento de Física Laboratório Básico I

Universidade Federal do Pará Centro de Ciências Exatas e Naturais Departamento de Física Laboratório Básico I Universidade Federal do Pará Centro de Ciências Exatas e Naturais Departamento de Física Laboratório Básico I Experiência 02 CONSTRUÇÃO DE GRÁFICOS E PÊNDULO SIMPLES 1. OBJETIVOS Ao término das atividades

Leia mais

Seleção de comprimento de onda com espectrômetro de rede

Seleção de comprimento de onda com espectrômetro de rede Seleção de comprimento de onda com espectrômetro de rede Fig. 1: Arranjo do experimento P2510502 O que você vai necessitar: Fotocélula sem caixa 06779.00 1 Rede de difração, 600 linhas/mm 08546.00 1 Filtro

Leia mais

Cálculo em Computadores - 2007 - trajectórias 1. Trajectórias Planas. 1 Trajectórias. 4.3 exercícios... 6. 4 Coordenadas polares 5

Cálculo em Computadores - 2007 - trajectórias 1. Trajectórias Planas. 1 Trajectórias. 4.3 exercícios... 6. 4 Coordenadas polares 5 Cálculo em Computadores - 2007 - trajectórias Trajectórias Planas Índice Trajectórias. exercícios............................................... 2 2 Velocidade, pontos regulares e singulares 2 2. exercícios...............................................

Leia mais

Faculdades Anhanguera

Faculdades Anhanguera 2º Aula de Física 2.1 Posição A posição de uma partícula sobre um eixo x localiza a partícula em relação á origem, ou ponto zero do eixo. A posição é positiva ou negativa, dependendo do lado da origem

Leia mais

Análise de Sistemas em Tempo Contínuo usando a Transformada de Laplace

Análise de Sistemas em Tempo Contínuo usando a Transformada de Laplace Análise de Sistemas em Tempo Contínuo usando a Transformada de Laplace Edmar José do Nascimento (Análise de Sinais e Sistemas) http://www.univasf.edu.br/ edmar.nascimento Universidade Federal do Vale do

Leia mais

Exercícios Resolvidos Integrais de Linha. Teorema de Green

Exercícios Resolvidos Integrais de Linha. Teorema de Green Instituto Superior Técnico Departamento de Matemática Secção de Álgebra e Análise Exercícios Resolvidos Integrais de Linha. Teorema de Green Exercício 1 Um aro circular de raio 1 rola sem deslizar ao longo

Leia mais

(a) a aceleração do sistema. (b) as tensões T 1 e T 2 nos fios ligados a m 1 e m 2. Dado: momento de inércia da polia I = MR / 2

(a) a aceleração do sistema. (b) as tensões T 1 e T 2 nos fios ligados a m 1 e m 2. Dado: momento de inércia da polia I = MR / 2 F128-Lista 11 1) Como parte de uma inspeção de manutenção, a turbina de um motor a jato é posta a girar de acordo com o gráfico mostrado na Fig. 15. Quantas revoluções esta turbina realizou durante o teste?

Leia mais

Aula 5 - Parte 1: Funções. Exercícios Propostos

Aula 5 - Parte 1: Funções. Exercícios Propostos Aula 5 - Parte 1: Funções Exercícios Propostos 1 Construção de Funções: a) Um grupo de amigos deseja alugar uma van, por um dia, para um passeio, ao custo de R$300,00. Um levantamento preliminar indicou

Leia mais

Seleção 2015 - Edital N 15/2014

Seleção 2015 - Edital N 15/2014 Departamento de Áreas Acadêmicas II Curso de Especialização em Matemática Seleção 015 - Edital N 15/014 INSTRUÇÕES: 1. O horário da realização da prova é previsto de 14h00min até as 17h30min.. A prova

Leia mais

Aula do Curso Noic de Física, feito pela parceria do Noic com o Além do Horizonte

Aula do Curso Noic de Física, feito pela parceria do Noic com o Além do Horizonte Espelhos esféricos são superfícies refletoras muito comuns e interessantes de se estudar. Eles são capazes de formar imagens maiores ou menores, inversas ou direitas, dependendo do tipo de espelho, suas

Leia mais

As galáxias emitem radiação ao longo do espectro desde altas freqüências (raios gama) até baixas freqüências (ondas de radio).

As galáxias emitem radiação ao longo do espectro desde altas freqüências (raios gama) até baixas freqüências (ondas de radio). Luz integrada das Galáxias, magnitudes e cores 2.1 Radiação de corpo negro As galáxias emitem radiação ao longo do espectro desde altas freqüências (raios gama) até baixas freqüências (ondas de radio).

Leia mais

No manual da webcam, ele descobriu que seu sensor de imagem tem dimensão total útil de 2

No manual da webcam, ele descobriu que seu sensor de imagem tem dimensão total útil de 2 1. (Ufsc 2015) Fotografar é uma arte que se popularizou com os celulares e se intensificou com as redes sociais, pois todos querem postar, publicar os seus registros, suas selfies. Talvez alguns celulares

Leia mais

Como representar uma lente convergente e uma lente divergente.

Como representar uma lente convergente e uma lente divergente. Lentes Esféricas Lente é todo meio transparente limitado por duas superfícies curvas ou uma curva e uma plana. São encontradas em lupas, microscópios, telescópios, máquinas fotográficas, projetores, filmadoras,

Leia mais

Imagem e Gráficos. vetorial ou raster?

Imagem e Gráficos. vetorial ou raster? http://computacaografica.ic.uff.br/conteudocap1.html Imagem e Gráficos vetorial ou raster? UFF Computação Visual tem pelo menos 3 grades divisões: CG ou SI, AI e OI Diferença entre as áreas relacionadas

Leia mais

FICHA DE TRABALHO 6 - RESOLUÇÃO

FICHA DE TRABALHO 6 - RESOLUÇÃO ecção de Álgebra e Análise, Departamento de Matemática, Instituto uperior Técnico Análise Matemática III A - 1 o semestre de 23/4 FIHA DE TRABALHO 6 - REOLUÇÃO 1) Indique se as formas diferenciais seguintes

Leia mais