Resolução das equações

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1 Resolução das equações Equação de Difusão (calor) (1D) Equação de ondas (corda virante) (1D) Equação de Laplace (2D) - Difusão térmica em estado estacionário (2D e 3 D); - Função potencial de uma partícula livre no espaço so ação de forças gravitacionais; - Etc

2 Equação de Laplace (2D) Equação do Potencial

3 Prolema 2 u = 0 ou Δu = 0 Independente do tempo não tem condições iniciais! Em 2D : 4 condições de contorno, uma para cada fronteira (2 para cada dimensão) 2 u x u = 0 y2 Condições de contorno 1) Sore a função u(x,y) Prolema de Dirichlet 2) Sore as derivadas u/ x e u/ y Prolema de Neumann

4 Resolução: Prolema de Dirichlet em um retângulo Prolema Matemático u x, = 0 u 0, y = 0 u a, y = f(y) u x, 0 = 0 Condições de contorno para o retângulo 0 < x < a e 0 < y < : u x, 0 = 0 e u x, = 0 para 0 < x < a u 0, y = 0 e u a, y = f y para 0 y 0

5 Separação de variáveis: u(x,y) = X(x) Y(y) 1 X d 2 X dx 2 = 1 Y d 2 Y dy 2 = λ 2 é a constante de separação e chega-se as EDOs: d 2 X dx 2 2 X = 0 X x = A. cosh λx + B. sinh λx d 2 Y dy 2 + λ2 Y = 0 Y y = C. cos λy + D. sin λy

6 Aplicando as CC (y): u(x,y) = X(x) Y(y) u x, 0 = 0 X x. Y 0 = 0 Y 0 = 0 u x, = 0 X x. Y = 0 Y = 0 Y y = C. cos λy + D. sin λy Y 0 = 0 Y 0 = C. cos λ0 + D. sin λ0 = C = 0 Y y = D. sin λy Y = 0 Y = D. sin λ = 0 λ = nπ λ = nπ Y y = D. sin nπy

7 Aplicando as CC (x): u(x,y) = X(x) Y(y) u 0, y = 0 X 0. Y y = 0 X 0 = 0 X x = A. cosh λx + B. sinh λx X 0 = A. cosh λ0 + B. sinh λ0 = A = 0 X x = B. sinh nπx e λ = nπ Como: Y y = D. sin nπy u n (x,y) = A n sinh nπx nπy sin

8 A solução geral é a superposição linear de todas as soluções u n e agora resta apenas a constante A n para ser determinada. u(x,y) = n=0 A n sinh nπx nπy sin Resta a última condição de contorno a ser aplicada: u(a,y) = n=0 u a, y = f y A n sinh nπa nπy sin = f(y)

9 u(a,y) = n=0 A n sinh nπx nπy sin = f(y) f(y)= n=0 A n sinh nπa nπy sin = n=0 B n sin nπy f y = n B n sin nπy Independe de y Série de Fourier: B n = A n sinh nπa = 2 f y sin nπy 0 dy

10 Logo: u(x,y) = n=0 A n sinh nπx nπy sin Determina-se A n por: A n sinh nπa = 2 f y sin nπy 0 dy E assim u(x,y) fica determinada, dependendo do que é a função f(y).

11 Exemplo para f(y) = y

12 Para determinar a solução final da equação de Laplace em 2D em coordenadas cartesianas com as CC apresentadas, é preciso determinar A n a partir de f(y) = y: u(x,y) = n=0 A n sinh nπx nπy sin A n sinh nπa = 2 f y sin nπy 0 dy A n = 1 2 sinh nπa y. sin nπy 0 dy

13 A n = 1 sinh nπa 2 y. sin nπy 0 dy 0 y. sin nπy 2 dy = nπ 1 n = 2 nπ 1 n+1 A n = 1 sinh nπa 2 2 nπ 1 n+1 A n = 2 π 1 n+1 n sinh nπa Finalmente u(x,y) = 2 π n=0 1 n+1 n sinh nπa sinh nπx sin nπy

14 Exemplo para: f y = y para 0 y 1 2 y para 1 y 2 Com: a=3 e =2 e

15 Neste caso: A n = 8 sin( nπ 2) n 2 π 2 sinh 3nπ 1 u(x,y) = 8 sin( nπ 2) π 2 n 2 n=0 sinh 3nπ 2 Gráfico de u(x,y) para n = 20 sinh nπx 2 nπy sin Curvas de nível de u(x,y)

16 Resumo: Laplace coordenadas retangulares em 2D Prolema de Dirichlet 2 u x u = 0 y2 u 0, y = 0 u x, = 0 u a, y = f(y) u(x,y) = X(x) Y(y) u x, 0 = 0 d 2 X dx 2 2 X = 0 d 2 Y dy 2 + λ2 Y = 0 X x = A. cosh λx + B. sinh λx Y y = C. cos λy + D. sin λy CC X x = B. sinh nπx Y y = D. sin nπy λ = nπ u(x,y) = n=0 A n sinh nπx nπy sin u a, y = f y f(y)= n=0 A n sinh nπa nπy sin com A n sinh nπa = 2 f y sin nπy 0 dy

17 Resolução: Prolema de Dirichlet em círculo r < a u rr = 2 u r 2 ; u r = u r ; u θθ = 2 u θ 2 Para r < a e u a, θ = f(θ) f( ) é uma função dada em 0 2 u(r, ) é periódica de período 2 e finita em r=0

18 Separação de variáveis: u(r, ) = R(r) ( ); Sustitui as derivadas parciais de u(r, ) na equação de Laplace aaixo: = 0 d 2 R dr r dr dr + 1 r 2 R d2 dθ 2 = 0 Multiplica por r 2 e divide por R r 2 R d 2 R dr 2 + r R dr dr = 1 d 2 dθ 2 = λ

19 r 2 d 2 R R dr 2 + r R dr dr = 1 d 2 dθ 2 = λ Separando as equações em R e : r 2 d2 R dr + r dr2 dr R = 0 d 2 dθ 2 + λ = 0 Singularidade para r=0 É possível mostrar que u(r, ) é periódica de período 2, somente se for um número real. Estudaremos os casos: < 0, 0

20 As condições que permitem resolver este prolema são: 1) A função ( ) deve ser periódica no círculo, ou seja: (0) = (2 ); 2) A função R(r) deve ser finita para r 0; 3) Além de : u a, θ = f(θ) r 2 d2 R dr dr2 + r dr λr = 0 d 2 dθ 2 + λ = 0

21 Recordação: Equação de Euler x 2 d2 y dy + x dx2 dx + y = 0 Procurar soluções do tipo: y = x r ; deriva-se e sustitui-se na equação EQD, chegando-se a: x r [r(r 1)+αr+ ]=0 As raízes para r são: r i = (α 1) ± (α 1)2 4β, com i = 1,2 2 r 1 r 2 e reais r 1 = r 2 reais r 1 r 2 complexas r 1 =a+i; r 2 =a-i y(x) = c 1 x r1 + c 2 x r2 y(x) = (c 1 + c 2 lnx). x r2 y(x) = c 1 e a cos(.lnx) + c 2 e a sen(.lnx)

22 Estudo dos valores de : d 2 dθ 2 + λ = 0 r 2 d2 R dr + r dr2 dr λr = 0 1) Se < 0 = - 2 d 2 dθ 2 2 = 0 c 1 = c 2 = 0 θ = c 1 e μθ + c 2 e μθ < 0 não é solução

23 Estudo dos valores de : d 2 dθ 2 + = 0 2) Se = 0 r 2 d2 R dr dr2 + r dr R = 0 d 2 dθ 2 = 0 r 2 d2 R dr + r dr2 dr = 0 θ = c 1 + c 2 (0) = (2 ) c 2 = 0 θ = c 1 r 2 d2 R dr + r dr2 dr = 0 Eq. De Euler: R(r)= (c 1 + c 2. lnr) c 2 = 0 R(r)= c 1 u r, θ = u 0 r, θ = constante

24 Estudo dos valores de : d 2 dθ 2 + = 0 d2 R dr r2 dr2 + r dr R = 0 3) Se > 0 = 2 d 2 dθ = 0 θ = c 1 cos μθ + c 2 sin μθ (0) = (2 ) c 1 cos μ0 + c 2 sin μ0 = c 1 cos μ2π + c 2 sin μ2π cos μ2π = 1 μ = n n=1,2,3 θ = c 1 cos nθ + c 2 sin nθ r 2 d2 R dr + r dr2 dr n2 R = 0 R(r) = k 1 r n + k 2 r -n R(r) = k 1 r n Para r 0 têm-se que k 2 = 0

25 Finalmente: u(r, ) = R(r) ( ) > 0 e = n 2 = 0 θ = c 1 cos nθ + c 2 sin nθ θ = c 1 R(r) = k 1 r n R(r)= c 1 u n r, θ = n θ R n (r)= r n c n cos nθ + k n sin nθ u r, θ = u n r, θ u r, θ = c n=1 r n c n cos nθ + k n sin nθ

26 u r, θ = c r n c n cos nθ + k n sin nθ n=1 Mas: u a, θ = f(θ) f θ = c a n c n cos nθ + k n sin nθ n=1 Onde a n c n = 1 π 0 2πf(θ) cos nθ dθ a n k n = 1 π 0 2πf(θ) sin nθ dθ

27 Exemplo: f( ) = ( ) u r, θ = c r n c n cos nθ + k n sin nθ n=1 Com: a n c n = 1 π 0 2π f(θ) cos nθ dθ a n k n = 1 π 0 2πf(θ) sin nθ dθ Sustituindo-se f( ): c n = 1 2π πa n ( ) cos nθ dθ 0 k n = 1 2π πa n ( ) sin nθ dθ 0

28 Para calcular as integrais a taela de integrais pode ser útil: