SOLUÇÃO DA EQUAÇÃO DA ONDA EM COORDENADAS ESFÉRICAS E DEDUÇÃO DO OPERADOR LAPLACIANO EM COORDENADAS ESFÉRICAS

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1 SOLUÇÃO DA EQUAÇÃO DA ONDA EM COORDENADAS ESFÉRICAS E DEDUÇÃO DO OPERADOR LAPLACIANO EM COORDENADAS ESFÉRICAS Jean Alves Rodrigues Fernandes 1 Rafael Caveari Gomes 2 Érick de Oliveira Miranda 3 João Flávio 4 1 Universidade Federal Fluminense-UFF, Niterói-RJ, Br. jeanalves@telecom.uff.br 2 Universidade Federal Fluminense-UFF, Niterói-RJ, Br. rafaelcaveari@telecom.uff.br 3 Universidade Federal Fluminense-UFF, Niterói-RJ, Br. erickuff@gmail.com 4 Universidade Federal Fluminense-UFF, Niterói-RJ, Br. joao.flavio@gmail.com 1. Introdução O principal objetivo deste trabalho é entender como o Operador Laplaciano (que normalmente é escrito em coordenadas cartesianas, aplicando uma mudança de variáveis, pode ser reescrito em coordenadas esféricas, facilitando com essa mudança o entendimento e a solução de problemas de natureza isotrópica. Além disso, aplicamos este operador em ondas esféricas e entendemos a resolução de equação de ondas deste tipo. Entendemos também algumas funções especiais. A que se destaca neste trabalho é a função de Bessel, muito útil e indispensável para a solução desse problema e muito outros. 2. Abstract The main objective of this study is to understand how the Laplacian operator (which is usually written in Cartesian coordinates, applying a change of variables can be rewritten in spherical coordinates, facilitating this change the understanding and solution of problems of isotropic nature. Furthermore, we apply this operator in spherical waves and understand the resolution of wave equation of this type. We also consider some special functions. What stands out in this work is the Bessel function, very useful and indispensable to the solution of this problem and many others. Palavras-chaves: equação da onda, operador laplaciano, coordenadas esféricas.

2 3. Solução da Equação da Onda em Coordenadas Esféricas ψ = 0 ψ(x, θ,, t = 0 = 1 c t = 1 r r r r + 1 r sen ψ = ψ 1 c ψ t 1 ψ r r r r + 1 r sen sen + 1 Usando o método da separação de variáveis. ψ = R(rP(θ(T(t PT d dr r r dr dr + r sen θ ψ sen + 1 ψ r sen θ 1 ψ c t = 0 PRT d d r sen sen d d + RT d P r sen dθ PR c d T dt = 0 1 d R dr r R r + 2r dr dr + 1 r sen sen d d + cos d d r = 0 ( PTR 1 R`` + 2rR` r r cotg` `` R r sen P 1 T`` c T = 0 1 R`` + 2rR` r r cotg` `` R r sen P = 1 T`` c T = λ 1 T`` c T = λ T`` = λc T T`` λc T = 0 α λc = 0 α = ± λc d P Psen Como esperamos que a solução varie harmonicamente como o tempo, fazemos: λ = m α = ±mci T(t = e w = mc 1 R`` + 2rR` r r cotg` `` R r sen P = m ( r r R`` + 2rR` + R `` + cotg` r R`` + 2rR` + m r = R r R`` + 2rR` R `` + cotg` + m r = λ sen P = 0 `` + cotg` sen P = λ ( sen sen P = λ dθ 1 d T Tc dt 2

3 ``sen + sen cotg` + P`` P λ sen = 0 ( 1 ``sen + sen cotg` + P`` P + λ sen = 0 ``sen + sen cotg` + λ sen = P`` P = λ P`` P = λ P`` λ P = 0 α + λ = 0 α = ± λ Como P(θ é periódica de período 2π: λ = n α = ±ni P(θ = e ``sen + sen cotg` + λ sen = n ``sen + sen cotg` + λ sen n = 0 ( sen `` + cotg` + λ n sen = 0 Fazendo uma mudança de variável: s = cos d d = d ds ds d = d ds sen d d = d d d ds sen = sen d ds ds d d ds cos d d = sen d d ds ds cos Como: (I s = cos 1 s = sen Substituindo em (I: sen d ds d ds cos cotgsen d ds + λ (1 s d d d s s ds ds ds + λ (1 s d d 2s ds ds + λ n n (1 s = 0 n sen = 0 (1 s = 0 (II Sob esta forma esta equação lembra a Equação de Legendre. Para explorar esta semelhança, faremos uma segunda mudança de variável. = (1 s w d ds = (1 s ds + n 2 (1 s ( 2sw 3

4 d ds = (1 s d ds = (1 s ds ds ns(1 s (1 s nsw (1 s w d ds = (1 s d w ds + n 2 (1 s ( 2s ds ns(1 s ds + n(1 s w + ns n 2 1 (1 s ( 2sw d ds = (1 s d w ds ns(1 s (1 s + 2ns n 2 1 (1 s (1 s w d ds = (1 s d w ds 2ns (1 s ds ds ns(1 s (1 s ds + n(1 s (1 s w nw (1 s + n s w (1 s 2ns w (1 s d ds = (1 s d w ds 2ns n (1 s + w ds (1 s + n s 2ns (1 s (1 s d ds = (1 s d w ds 2ns (1 s ds + w (1 s 2s ns (1 s n d ds = (1 s d w ds 2ns (1 s ds + w 1 s ns (1 s n d ds = (1 s d w ds 2ns (1 s ds n 1 s (n 1 (1 s w Substituindo em (II: (1 s d w ds 2ns(1 s ds n 1 s (n 1(1 s (1 s 2s(1 s ds + 2ns (1 s (1 s w w + λ n (1 s (1 s w = 0 (1 s (1 s d w 2ns ds ds n 1 s (n 1 (1 s w 2s ds + 2ns w (1 s + λ n (1 s w = 0 (1 s d w 2ns (2ns + 2s + w ds ds (1 s n 1 s (n 1 (1 s + λ n (1 s = 0 (1 s d w 2(n + 1s ds ds + w n1 s (n 1 + λ (1 s n 2ns (1 s = 0 4

5 (1 s d w 2(n + 1s ds ds + w n(1 ns + s + λ (1 s n 2ns (1 s = 0 (1 s d w 2(n + 1s ds ds + w n + n s ns + λ (1 s n 2ns (1 s = 0 (1 s d w 2(n + 1s ds ds + w n + n s n + λ (1 s ns (1 s = 0 (1 s d w 2(n + 1s ds ds + w λ (1 s n(1 s + n ns (1 s = 0 (1 s d w 2(n + 1s ds ds + w λ (1 s n(1 s (n + 1 (1 s = 0 (1 s d w 2(n + 1s ds ds + w[λ n(n + 1] = 0 Portanto se izermos λ = l(l + 1 esta equação será satisfeita pelas P ( n ésima derivada de P : = sen P (cos λ = l(l + 1 Voltando a equação em R. r R`` + 2xR` R + m r = l(l + 1 r R`` + 2rR` + m r l(l + 1R = 0 r d R dr + 2r dr dr + m r l(l + 1R = 0 Fazendo x = mr e R(r Y(x x m d y d x + 2x dy m m d x m + [x l(l + 1]Y = 0 x d y dy + 2x dx dx + [x l(l + 1]Y = 0 Y(x = U(x Y(x = U(xx dy dx = du x dx + U(x 1 x 2 dy dx = 1 du dx U(x 2 d y = x d U dx dx 1 du 2 dx 1 du 2 dx + 3 U(x 4 d y dx = 1 d U dx 1 du dx + 3 U(x 4 (III 5

6 Substituindo na equação (III: x 1 x d U dx 1 du dx U(x + 2x 1 du dx U(x 2 + [x l(l + 1] U(x = 0 d U + 2x dx x du dx x + x l(l + 1 U(x = 0 x x d U + 2x dx x du dx x x x d U dx + x du dx x d U dx + 1 du x dx + 1 l(l x x U(x = 0 d U dx + 1 du x dx + 1 (l + l x 1 4x U(x = 0 d U dx + 1 du x dx + 1 (4l + 4l + 1 4x U(x = 0 d U dx + 1 du x dx l + l + 4 4x U(x = 0 d U dx + 1 du x dx + 1 l x U(x = 0 Comparando com a equação de Bessel Modificada: d Z dt (2v t 2v + 1 = 1 v = 0 dz dt + α P v t x x + x l(l + 1 U(x = 0 l(l + 1 U(x = 0 x + α β t Z = 0 v α P = l P = l P = ± l α β = 1 β = 1 β = ±1 Como l é inteiro e P é não inteiro, a solução é do tipo U(x = x J(x Y(x = U(x Y(x = C J(x + + J(x C J(x J(x = 1 πx J(x J(x = πx J(x 6

7 N(x = 1 πx N(x J(x = A πx N(x N(x ~ J(x Y(x = C πx J(x + C A πx N(x Y(x = A J(x + B N(x, como x = mr R(r = A J(mr + B N(mr ψ(r, θ,, t = R(rP(θ(T(t ψ(r, θ,, t = J (mry (θ, C e + C e 4. Condições de Contorno da Equação da Onda em Coordenadas Esféricas As condições de contorno são equações que definem o valor da função ψ(r, θ,, t em determinadas regiões em que se sabe seu valor. Essas condições são importantes para definir como a solução geral da equação será moldada ao problema estudado. Neste caso elas que determinaram como ficará a solução final, transformando a solução matemática em uma solução física aplicada. Para saber o comportamento da onda em qualquer momento t, é preciso saber as condições iniciais desta. Precisamos definir como era esta onda no momento t=0. Assim, temos uma condição inicial é definida por: ψ(r, θ,, t = 0 = f(r, θ, A solução matemática apresentará valores incoerentes. Isso ocorre porque a solução matemática é a mais abrangente possível. Porém, no caso estudado, será levado em conta apenas as partes da solução que têm um ligação com a realidade do problema e será desprezado as componentes consideradas problemáticas. Na componente da solução aparece um termo problemático que tem um ponto de singularidade quando = 0 ou = 2π. Quando assume estes valores a função vai para infinito, o que é algo que se saber ser impossível. Para eliminar este problema, podemos assumir a condição de contorno em que ψ assuma um valor, sempre finito, como abaixo: ψ(r, θ, = 0, t < ψ(r, θ, = π, t < Outra informação necessária para a solução matemática é com relação a função θ. Esta deverá ser periódica devido a natureza do sistema de coordenadas. No sistema de 7

8 coordenadas esféricas o ângulo θ = a também pode ser representado por θ = a + n2π. Assim a função θ deve ser periódica. ψ(r, θ,, t = ψ(r, θ + n2π,, t 5. Dedução do Operador Laplaciano em Coordenadas Esféricas = x y z + + Em coordenadas esféricas, temos: x = rsenθcos y = rsenθsen z = rcosθ r = (x + y + z θ = arctan (x + y z = arctan y x x² + y² + z² = 0 x = r r x + θ θ x + ϕ ϕ x y = r r y + θ θ y + ϕ ϕ y z = r r z + θ θ z + ϕ ϕ z x = 1 senϕ senθcosϕ + cosϕcosθ r θ r ϕ rsenθ = senθsenϕ y r + 1 senϕcosθ r θ + 1 r = cosθ z r 1 senθ r θ cosϕ rsenθ ϕ x² = senθcosϕ r x + 1 r cosϕcosθ θ x senϕ rsenθ ϕ x 8

9 = sen²θcos²ϕ x² r² 1 senθcosθcos²ϕ r² θ + 1 senθcosθcos²ϕ r θ r + 1 r² senϕcosϕ 1 senϕcosϕ r r ϕ + 1 cos²θcos²ϕ r r + 1 senθcosθcos²ϕ r θ r 1 senθcosθcos²ϕ r² θ + 1 cos²ϕcos²θ r² θ² 1 senϕ cosϕ cosθ r² senθ θ ϕ + 1 r² + senϕcosϕcos²θ sen²θ 1 senϕcosϕ r r ϕ + 1 sen²ϕ r r 1 cosθsenϕ + 1 r² senθ r² + 1 r² senϕcosϕ sen²θ ϕ y² = senθsenϕ r y + 1 r senϕcosθ θ y + 1 cosϕ r rsenθ ϕ y ϕ cosθsen²ϕ senθ θ + 1 r² = sen²θsen²ϕ y² r² + 1 senθcosθsen²ϕ r θ r 1 senθcosθsen²ϕ r² θ + 1 r sen²ϕ sen²θ ϕ² senϕcosϕ r ϕ 1 senϕcosϕ r² ϕ + 1 sen²ϕcos²θ r r + 1 senθcosθsen²ϕ r θ r + 1 sen²ϕcosθ r θ² 1 cosθsenθsen²ϕ r² θ + 1 senϕ cosθ cosϕ r² senθ ϕ θ 1 cos²θ cosϕsenϕ r² sen²θ ϕ + 1 r + 1 cosθ cos²ϕ r² senθ θ + 1 cos²ϕ r² sen²θ ϕ² 1 senϕcosϕ r² sen²θ ϕ z² = cosθ r x 1 r senθ θ x = cos²θ z² r² + 1 senθcosθ r² θ + 1 r² Somando: sen²θ θ² + 1 senθcosθ r² θ u x + u y + u z Obtém-se: r² + cosθ r²senθ θ + 2 r Donde conclui-se que: cos²ϕ r + 1 cosϕsenϕ r ϕ r + 1 senϕcosϕcosθ r² ϕ θ 1 r r + 1 r² θ² + 1 r²sen²θ ϕ² senθcosθ r θ + 1 r senθcosθ r θ = x² + y² + z² = ² r² + cosθ r²senθ θ + 2 r r + 1 ² r² θ² + 1 ² r²sen²θ ϕ² (em coordenadas esféricas 9

10 6. Bibliografia a BUTKOV, Eugene. Física Matemática, LTC, 1988; b Apostila Professor Altair, UFF,