Eletromagnetismo I. Prof. Daniel Orquiza. Eletromagnetismo I. Prof. Daniel Orquiza de Carvalho

Transcrição

1 de Carvalho

2 (Capítulo 4 Páginas 96 a 100) Cálculo da distribuição de potencial de um dipolo elétrico. Cálculo da distribuição de campo elétrico de um dipolo elétrico. 1

3 Um dipolo elétrico é um par de cargas pontuais de sinais opostos, separadas por uma distância finita d em uma dada posição do espaço. O dipolo é útil para entender a interação entre o campo eletrostático e meios materiais (e também vai ser usado no caso de radiação eletromagnética). Os atomos que compõem um material são descrito como um conjunto de dipolos elétricos (do ponto de vista de um campo E externo). 2

4 Cada átomo do material corresponde a um dipolo, onde: Ø Carga positiva = núcleo Ø Carga negativa = nuvem de elétrons em órbita ao redor do núcleo. Materiais apolares Sem campo externo Com campo externo 3

5 O dipolo elétrico considerado consiste de uma carga positiva em (0, 0, d/2)m e uma carga negativa em (0, 0, - d/2). z Q R1 r R2 θ d x Q P y r = vetor posição do ponto de observação R1 = vetor distância partindo da carga positiva R2 = vetor distância partindo da carga negativa 4

6 Campo distante: se o ponto de observação estiver distante (r >> d), R1 é paralelo a R2. R1 z Q d x P "no infinito" r R2 y θ Q 5

7 Sabemos que o potencial em r devido à carga pontual Q é: V1 = Q 1 4πε 0 R1 O potencial em r devido à carga Q é: V2 = Q 1 4πε 0 R2 O potencial V no ponto P é a superposição do potencial das devido às duas cargas: Q 1 1 Q R2 R1 V= = 4πε 0 R1 R2 4πε 0 R1R2 6

8 A diferença entre as distâncias R1 e R2 das cargas até P é d.cosθ. R1 z Q d x Q P "no infinito" r R2 y θ R2 - R1 = d cosθ R1 = R1 7

9 O potencial no ponto P fica: Q d cosθ V= 4πε 0 R1R2 No denominador podemos aproximar: R1R2 r 2 A expressão para o potencial fica: V Q d cosθ 4πε 0 r 2 Note que V está expresso em coordenadas esféricas 8

10 Já temos uma expressão para o potencial elétrico do dipolo: V Q d cosθ 4πε 0 r 2 Como calculamos o campo elétrico? E = V O gradiente do campo escalar V em coordenadas esféricas é: V 1 V 1 V V = a r + a θ + a φ r r θ rsenθ φ 9

11 A distribuição de campo elétrico em coordenadas esféricas, para um dipolo com comprimento d, orientado na direção z e situado na origem: Q 2d cosθ dsenθ E = a r 3 a θ + 0 a z 3 4πε 0 r r Podemos reescrever a expressão acima: Qd E= 2 cosθ a r + senθ a θ ) 3( 4πε 0 r 10

12 Voltando ao potencial elétrico do dipolo: V Q d cosθ 4πε 0 r 2 É útil definir o momento de dipolo, igual a Q multiplicado pelo vetor distância entre a carga negativa e a positiva. p=q d No caso do dipolo anteriormente: d = d a z [C.m] que R1 z x Q d r R2 y θ Q definimos (o momento de dipolo pode ter qualquer orientação no espaço) 11

13 O potencial V pode ser reescrito usando o momento de dipolo. Q d cosθ V= 4πε 0 r 2 p a r = 4πε 0 r 2 Q A expressão acima pode ser generalizada para um dipolo em qualquer posição r. p a R V= 2 4πε 0 r r ' (Onde R1 z x d Q r R2 y θ a r r r' a R = ) r r' 12

14 Note que: p a R V= 2 4πε 0 r r ' 1. O potencial decai com r2 O campo elétrico decai com Qd E= 2 cosθ a r + senθ a θ ) 3( 4πε 0 r 1. r3 Tanto E quanto V decaem mais rapidamente do que no caso de uma carga pontual, pois conforme nos afastamos do dipolo, o campo de uma carga cancela o da outra (sinais opostos). 13

15 As distribuições espaciais do campo elétrico e potencial elétrico são ilustradas abaixo. VMAX z V=0 VMIN 14