Eletromagnetismo I. Prof. Daniel Orquiza. Eletromagnetismo I. Prof. Daniel Orquiza de Carvalho

Transcrição

1 de Carvalho

2 - Eletrostática (Capítulo 4 Páginas 96 a 100) Cálculo da distribuição de potencial de um dipolo elétrico. Cálculo da distribuição de campo elétrico de um dipolo elétrico. 2

3 - Eletrostática Um dipolo elétrico é um para de cargas pontuais de sinais opostos, separadas por uma distância finita d em uma dada posição do espaço. O dipolo é útil para entender a interação entre o campo eletrostático e meios materiais (e também vai ser usado no caso de radiação eletromagnética). Um dado material é descrito como um conjunto de dipolos elétricos. 3

4 - Eletrostática Cada átomo do material corresponde a um dipolo, onde: Ø Carga positiva = núcleo Ø Carga negativa = nuvem de elétrons em órbita ao redor do núcleo. Materiais apolares Sem campo externo 4 Com campo externo

5 - Eletrostática O dipolo elétrico considerado consiste de uma carga positiva em (0, 0, d//2)m e uma carga negativa em (0, 0, - d/2). x d z Q Q θ 5 r y P r = vetor posição do ponto de observação = vetor distância partindo da carga positiva = vetor distância partindo da carga negativa

6 - Eletrostática Campo distante: se o ponto de observação estiver distante (r >> d), é paralelo a. d z Q θ r y P "no infinito" x Q 6

7 - Eletrostática Sabemos que potencial em r devido à carga pontual Q é: V 1 = Q 1 O potencial em r devido à carga Q é: V 2 = Q 1 O potencial V no ponto P é a superposição do potencial das devido às duas cargas: V = Q 1 1 = Q 7

8 - Eletrostática A diferença entre as distâncias e das cargas até P é d.cosθ. z P "no infinito" Q r d θ y x Q - = d cosθ 8 =

9 - Eletrostática O potencial no ponto P fica: V = Q d cosθ No denominador podemos aproximar: r 2 A expressão para o potencial fica: V Q d cosθ r 2 Note que V está expresso em coordenadas esféricas 9

10 - Eletrostática Já temos uma expressão para o potencial elétrico do dipolo: V Q d cosθ r 2 Como calculamos o campo elétrico? E = V O gradiente do campo escalar V em coordenadas esféricas é: V = V r âr + 1 r V θ âθ + 1 V rsenθ φ âφ 10

11 - Eletrostática A distribuição de campo elétrico em coordenadas esféricas, para um dipolo com comprimento d, orientado na direção z e situado na origem: E = Q 2d cosθ r 3 â r dsenθ r 3 â θ + 0â φ Podemos reescrever a expressão acima: E = Qd r 3 ( 2cosθâ r + senθâ θ ) 11

12 - Eletrostática Voltando ao potencial elétrico do dipolo: É útil definir o momento de dipolo, igual a Q multiplicado pelo vetor distância entre a carga negativa e a positiva. V p = Q d Q d cosθ r 2 [C.m] No caso do dipolo que definimos anteriormente: d = d â z x 12 Q d z Q θ r (o momento de dipolo pode ter qualquer orientação no espaço) y

13 - Eletrostática O potencial V pode ser reescrito usando o momento de dipolo. V = Q d cosθ r 2 = A expressão acima pode ser generalizada para um dipolo em qualquer posição r. V = p â r r 2 p â R r r ' 2 x z Q d Q θ â r r y r r ' (Onde â R = ) r r ' 13

14 - Eletrostática Note que: 1 O potencial decai com. r 2 V = p â R r r ' 2 1 O campo elétrico decai com. Qd r E = 3 r 3 ( 2cosθâ r + senθâ θ ) Tanto E quanto V decaem mais rapidamente do que no caso de uma carga pontual, pois conforme nos afastamos do dipolo, o campo de uma carga cancela o da outra (sinais opostos). 14

15 - Eletrostática As distribuições espaciais do campo elétrico e potencial elétrico são ilustradas abaixo. 15

16 - Eletrostática Exemplo Um dipolo elétrico posicionado no espaço livre está na origem do sistema de coordenadas e tem um momento de dipolo: p = 3â x 2â y + â z [nc. m], (a) Calcule V em P A (2, 3, 4). (b) Calcule V em r = 2,5m, θ = 30º, φ = 40º. 16

17 - Eletrostática Exemplo Dois dipolos elétricos com momentos de dipolo -5a z nc.m e 9a z nc.m estão localizados nos pontos (0, 0, -2) e (0, 0, 3), respectivamente. Determine o potencial na origem. 17