FFI 112: Física Matemática I. Material Didático # Funções de Bessel. Gabriela Arthuzo

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1 FFI : Físic Mtemátic I Mteril Didático # Funções de Bessel Gbriel Arthuzo. Epressão gerl A função: g, t = e t t é chmd função gertriz ds funções de Bessel. Vmos epndi-l em um série de Lurent pr chrmos epressão gerl ds funções de Bessel (J n ). g, t = e t t = J n ()t n n= () Sbemos que: e = Aplicndo esse resultdo à função gertriz: n= n n! g, t = e t e t = r= r t r r! s= ( ) s s t s s s! = ( ) s r= s= r+s t r s r! s! Definimos: n = r s r = n + s Assim temos: g, t = n= s= ( ) s n + s! s! n+s t n () Comprndo () e ():

2 J n = s= ( ) s n + s! s! n+s (3) Ess é epressão gerl ds funções de Bessel. A seguir temos um esboço ds funções de Bessel pr n = té 5. Figur : Funções de Bessel.. Propriedde Trocndo (n) por ( n) n equção (3): J n = s= ( ) s s n! s! s n (4) Definimos: s = s + n (5) Substituímos (5) em (4): J n = Comprndo (3) e (6), vemos que: s= ( ) s +n s! s + n! J n = n J n () n+s (6)

3 3. Representção integrl Tommos função gertriz g, t, dividimos por t n+ e integrmos: C g, t t n+ dt = e C t t t n+ dt = C m= J m ()t m n dt C e t t tn + dt = C g t dt = πires g t, t = = πij n () J n = πi Fzemos substituição: t = e iθ dt = ie iθ dθ C e t t tn + dt J n = πi π e (e iθ e iθ ) eiθ (n+) ie iθ dθ = π π e i(senθ nθ ) dθ Prte rel: J n = π π cos senθ nθ dθ = π π cos senθ nθ dθ 4. Relções de recorrênci Pr primeir relção de recorrênci, derivmos função gertriz em relção t. g, t t e t t = t = e t t + t = g, t + t = + t J n()t n n= g, t t = J n ()nt n n= + t J n ()t n n= = J n ()nt n n= n= J n()t n + n= J n ()t n = J n ()nt n n= (7) Mnipulndo equção (7), deindo todos os somtórios com t n : 3

4 n= J n ()t n + n= J n+()t n = J n ()nt n n= J n + J n+ = J n n (8) Multiplicmos equção (8) por : J n + J n+ = n J n () (primeir relção de recorrênci) (9) Pr segund relção de recorrênci, derivmos função gertriz em relção. g, t e t t = = e t t t t = g, t t t = t t n= J n ()t n g, t = J n ()t n n= t t n= J n ()t n = J n ()t n n= n= J n t n+ n= J n()t n = J n ()t n n= () Mnipulndo equção (), deindo todos os somtórios com t n : n= J n t n n= J n+()t n = J n ()t n n= J n J n+ = J n () (segund relção de recorrênci) () Podemos somr s relções de recorrênci e obter um nov relção: Subtrindo s relções de recorrênci obtemos: J n = n J n + J n () J n+ = n J n J n (3) 5. Equção diferencil Fzemos mudnç J n Z v e n v n equção (): 4

5 Multiplicndo equção (4) por : Derivmos equção (5) em relção : Z v = v Z v + Z v (4) Z v = vz v + Z v (5) Z v () + Z v () = vz v () + Z v () + Z v () (6) Multiplicndo equção (6) por : Z v () + Z v () = vz v () + Z v () + Z v () (7) Multiplicndo equção 5 por v: Fzendo 7 (8): vz v = v Z v + vz v (8) Z v + Z v v Z v + [ v Z v Z v ] = (9) Fzemos mudnç J n Z v e n v n equção (3): Z v = Multiplicndo equção () por : (v ) Z v Z v () Z v = v Z v Z v () Substituindo equção () n equção (9), temos: Z v + Z v v Z v + Z v = Z v + Z v + v Z v = () A equção () é equção diferencil de Bessel. Podemos trnsformr equção diferencil () em outr equção. Fzemos mudnç Z v u() n equção. Primeir mudnç: d u() + du() + v u = (3) = zβ (4) 5

6 d = d dz dz = d β dz (5) Substituímos s equções (4) e (5) n equção (3): z d u(z) dz + z du(z) dz + z β v u z = z d dz z du dz + z β v u z = (6) Segund mudnç: z = ξ γ (7) z d dz = d dξ ξγ dξ dz = ξ d γ dξ (8) Substituímos s equções (7) e (8) n equção (6): ξ d γ dξ ξ du γ dξ + ξγ β v u ξ = (9) Multiplicmos equção (9) por γ : ξ d dξ ξ du dξ + (ξγ βγ) (vγ) u ξ = (3) Terceir mudnç: u = yξ α Clculmos derivd: ξ du dξ = ξ d(yξ α ) = yξ α αyξ α dξ ξ d dξ ξ du dξ = ξ d dξ yξ α αyξ α = y ξ α + α y ξ α + α yξ α (3) Substituímos equção (3) n equção (3) e dividimos por ξ α : y + α y ξ + α y ξ + (ξγ βγ) (vγ) u ξ ξ ξ α = (3) Sbemos que u(ξ) = y(ξ). Substituímos isso n equção (3): ξ α d y dξ + α ξ dy dξ + α vγ ξ + (ξ γ βγ) y ξ = (33) 6

7 A equção (33) é equção de Bessel trnsformd, cuj solução é: y ξ = ξ α Z v (βξ γ ) Este resultdo é plicdo qundo é dd um EDO cuj solução queremos sber. Então comprmos EDO dd com EDO d equção (33) e identificmos α, β, γ e v. 6. Ortogonlidde Vmos provr ortogonlidde ds funções de Bessel: J n λ J n μ = (λ μ) λ e μ são rízes; J n λ e J n μ são soluções d equção de Bessel. Atrvés d EDO de Bessel, J n + J n + n J n = podemos escrever: J n λ + J n λ + λ n J n λ = (34) J n μ + J n μ + μ n J n μ = (35) Escrevemos s equções (34) e (35) n form: 34 d dj n λ 35 d dj n μ + λ n J n λ = (36) + μ n J n μ = (37) Multiplicmos (36) por J n μ, (37) por J n λ e dividimos por : J n μ d dj n λ J n λ d dj n μ + λ n J n μ J n λ = (38) + μ n J n λ J n μ = (39) Fzemos 38 (39): 7

8 J n μ d dj n λ J n λ d dj n μ + λ μ J n μ J n λ = d J n μ dj n λ d J n λ dj n μ + λ μ J n μ J n λ = A = (4) Integrmos equção (4): A = J n μ J n λ J n μ J n λ + λ μ J n λ J n μ = Como λ e μ são rízes: J n μ J n λ = e J n μ J n λ = Assim pr λ μ: J n λ J n μ = 7. Norm Dividimos equção (36) por : d dj n λ + λ n J n λ = (4) Sendo λ um riz. Com k rbitrári temos: d dj n k + k n J n k = (4) Multiplicmos equção 4 por J n k e equção (4) por J n λ e fzemos 4 (4): B = J n k d dj n λ J n λ d dj n k = k λ J n λ J n k (43) Integrmos equção 43 : 8

9 B = J n k λj n λ J n λ J n k = k λ J n λ J n k λ é riz J n λ = J n k λj n Derivndo equção (44) em k: λ = k λ J n λ J n k (44) dj n k λj n λ = kj n λ J n k + k λ dj n k J n λ Fzemos k = λ: λj n λ = λ J n λ J n λ = J n λ (45) D equção (3), sbemos que: Substituindo equção (46) n equção (45): J n λ = J n+ λ (46) J n λ = J n+(λ) 8. Membrn circulr Figur : Membrn circulr. 9

10 No problem d membrn circulr, iremos determinr z, sendo z = z(r, θ, t), com r e θ π. Utilizremos equção de ond: z c t = z c = T ρ ρ z t = T z (47) As condições de contorno são: CC: z(r, θ, t) é finito CC: z, θ, t = CC3: z(r, θ, t) é periódic em θ, com período = π As condições iniciis são: z r, θ, = f(r, θ) z r, θ, = v(r, θ) Vmos procurr vibrções hrmônics: z r, θ, t = F r, θ cos ωt (48) Lplcino em coordends polres: u r, θ = r r r u r + r u θ u r, θ = u r + u r r + u r θ Assim, substituindo equção (48) n equção (47) temos: r + r r + r θ F r, θ cos ωt = ρ T ω F r, θ cos ωt Seprção de vriáveis: F r + F r r + F r θ = ρ T ω F (49)

11 Substituímos equção (5) n equção (49): Θ θ d R(r) dr + r Θ θ dr(r) dr F r, θ = R r Θ θ (5) + r R r d Θ θ dθ = ρ T ω R r Θ θ (5) Dividimos equção (5) por R r Θ θ e multiplicmos por r : r d R(r) R(r) dr + r dr(r) + r ρω + R(r) dr T Θ θ d Θ θ dθ = r d R(r) R(r) dr + r dr(r) + r ρω = m R(r) dr T Θ θ d Θ θ dθ = m Definimos: k = ρω T EDO rdil: r d R(r) dr + r dr(r) dr + k r m R r = (5) Notmos semelhnç d equção (5) com equção diferencil de Bessel, equção (). EDO ngulr: d Θ θ dθ = mθ θ Solução d EDO rdil: Definimos m = n r d R(r) dr + r dr(r) dr + k r n R r = A equção nterior é um EDO de Bessel n vriável kr, cuj solução é: R n (r) = A n J n (kr) + B n Y n (kr) Como s funções Y n () divergem pr, els não são soluções pr este problem (de cordo com CC).

12 R n r = A n J n kr (53) Solução d EDO ngulr: Com n =,,, e m = n. Θ θ = Acos nθ + Bsen nθ (54) Substituímos s equções (53) e (54) n equção (5): Aplicmos CC: F r, θ = J n (kr) C n cos (nθ) + D n sen(nθ) z, θ, t = J n k = Assim k é um riz de J n k = ξ s (n) (s-ésim riz de J n ) k (n) s = ξ (n) s Lembrndo que: k = ω ρ T = ω c k (n) s = ξ (n) s = ω (n) s c ω s (n) = T ρ ξ s (n) Voltndo equção (48): z s (n) r, θ, t = J n ξ s (n) r C n cos (nθ) + D n sen(nθ) cos ω s (n) t Com n =,,, s =,,3, Cso especil: ecitção simétric, no centro d membrn. Os modos não dependem de θ n = Os modos têm form: z () () r s r, t = C J ξ s cos ω () s t + φ

13 Figur 3: Form dos modos pr ω (), ω () e ω3 (), respectivmente. Podemos escrever solução como: z s () r, t = J ξ s () r A s cos ω s () t + B s sen ω s () t Determinmos A s e B s pels condições iniciis. Eemplo: z r, = J ξ s () r A s = A s = z r, = v(r) z r, = ω s () J ξ s () r B scos () z r, = s= B s ω s () J ξ s () r = v(r) Multiplicmos equção nterior por J ξ m () r r e integrmos: R s= B s ω s () J ξ s () r J ξ m () r R () r r dr = v(r)j ξ m rdr B m ω m () R J ξ m () r R () r = v(r)j ξ m rdr 3

14 B m = ω m () R J ξ m () r R v(r)j () r ξ m rdr Bibliogrfi Butkov Mthemticl Physics () Rey Pstor Funciones de Bessel (3) Morse Methods of Theoreticl Physics (4) Wtson A Tretise on the Theory of Bessel Functions (5) Rinville Specil Functions 6 Arfken Mthemticl Methods for Physicists Este teto é redção do seminário sobre funções de Bessel feito pelo grupo composto pelos seguintes lunos: Gbriel Arthuzo (redção) Cmil Crdoso (ul teóric) Lucs Frncisco (ul teóric) Fernndo Beserr (eperimento) Vinicius Mssmi Mikuni (eperimento) 4