Sinais e Sistemas. Série de Fourier. Renato Dourado Maia. Faculdade de Ciência e Tecnologia de Montes Claros. Fundação Educacional Montes Claros

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1 Sinis e Sistems Série de Fourier Rento Dourdo Mi Fculdde de Ciênci e Tecnologi de Montes Clros Fundção Educcionl Montes Clros

2 Introdução A Série e Integrl de Fourier englobm um dos desenvolvimentos mtemáticos mis produtivos e bonitos, que funcion como instrumento pr vários problems n áre d mtemátic, ciêncis e engenhri. Mxwell ficou tão dmirdo com belez d Série de Fourier que ele chmou de um grnde poem mtemático. N Engenhri Elétric, ele é fundmentl áres de comunicção, processmento de sinis, e diverss outrs áres, incluindo ntens. LATHI, B. P. Sinis e Sistems Lineres. Porto Alegre. Boomn, 27. p /9/2 Sinis e Sistems Rento Dourdo Mi 2/29

3 Introdução A representção e nálise de sistems LTI utilizndo convolução é bsed em expressr sinis como um combinção liner de impulsos deslocdos e ponderdos. Agor, desenvolveremos representção e nálise de sistems LTI expressndo os sinis como u- m combinção liner de exponenciis complexs. 23/9/2 Sinis e Sistems Rento Dourdo Mi 3/29

4 Introdução Veremos que se entrd de um sistem LTI é um combinção liner de exponenciis complexs, síd poderá ser express ness mesm form. Veremos primeiro nálise pr sinis periódicos, que result ns Séries de Fourier: soms ponderds de exponenciis complexs hrmonicmente relcionds. 23/9/2 Sinis e Sistems Rento Dourdo Mi 4/29

5 Introdução Em seguid, veremos nálise pr sinis periódicos, que result ns Trnsformds de Fourier: integris ponderds de exponenciis complexs não-hrmonicmente relcionds. A nálise não será mis feit no domínio do tempo, ms sim no domínio d frequênci!!! 23/9/2 Sinis e Sistems Rento Dourdo Mi 5/29

6 Representções de Fourier pr Sinis Sinl Sinl Contínuo Periódico Sinl Discreto Periódico Sinl Contínuo Aperiódico Sinl Discreto Aperiódico Representção Série de Fourier (FS) Série de Fourier Discret (DTFS) Trnsformd de Fourier (FT) Trnsformd de Fourier Discret (DTFT) 23/9/2 Sinis e Sistems Rento Dourdo Mi 6/29

7 Respost um Exponencil Complex Vmos nlisr respost de um sistem LTI contínuo um entrd exponencil complex: st x( t) = e, s é um número complexo Assim: ( t ) ( ) ( ) ( ) ( ) s s τ t y t h x t d h e d e h( ) e s τ = = = d τ τ τ τ τ τ τ = s Tomndo H ( s) h( τ ) e τ dτ y( t) = H ( s) e st 23/9/2 Sinis e Sistems Rento Dourdo Mi 7/29

8 Respost um Exponencil Complex Vmos nlisr respost de um sistem LTI discreto um entrd exponencil complex: n x[ n] = z, z é um número complexo Assim: n n y[ n] = h[ ] x[ n ] = h[ ] z = z h[ ] z = = = = Tomndo H ( z) h[ ] z = y[ n] = H ( z) z n 23/9/2 Sinis e Sistems Rento Dourdo Mi 8/29

9 Respost um Exponencil Complex Sintetizndo Contínuo: Discreto: x( t) = e st, s é um número complexo y( t) = H ( s) e x[ n] = z n, z é um número complexo y[ n] = H ( z) z st n As exponenciis complexs são utofunções de sistems LTI discretos e contínuos. H(z) e H(s), pr vlores específicos de z e s, são os utovlores ssocidos às utofunções: pr um entrd exponencil complex, síd é mesm exponencil complex, modificd pelo seu respectivo utovlor. 23/9/2 Sinis e Sistems Rento Dourdo Mi 9/29

10 Respost um Exponencil Complex Consideremos gor seguinte entrd, pr um sistem LTI: x( t) st s2t = e + e e s 3 t O que se pode dizer sobre síd? st e H ( s ) e 2 3 e s 2 t s t H ( s ) e s t e H ( s ) e y( t) = H ( s ) e + H ( s ) e + H ( s ) e s t s t s 2 s t 2 3 t s t 23/9/2 Sinis e Sistems Rento Dourdo Mi /29

11 Respost um Exponencil Complex Vmos generlizr o rciocínio: st x( t) = e y( t) = H ( s ) e n x[ n] = z y[ n] = H ( z ) z s t n O que há de interessnte nisso? 23/9/2 Sinis e Sistems Rento Dourdo Mi /29

12 Respost um Exponencil Complex De um modo gerl, s vriáveis s e z podem ser um número complexo gerl. Todvi, nálise de Fourier envolve restrições nesss vriáveis: Pr o tempo contínuo, o interesse está em vlores purmente imginários: x( t) = e st, s = jω, x( t) = e jωt Pr o tempo discreto, o interesse está em vlores de mgnitude unitári: ω x[ n] = z, z = e, x[ n] = e n j j ω n 23/9/2 Sinis e Sistems Rento Dourdo Mi 2/29

13 Sinis Contínuos Periódicos (FS) Qundo um sinl contínuo é periódico? Um sinl contínuo é periódico se existe um constnte positiv T, tl que: x( t) = x( t + T ), t O MENOR VALOR PARA T QUE SATISFAÇA À EQUAÇÃO É CHAMADO DE PERÍODO FUNDAMENTAL T. f ω = T = 2π T é freqüênci fundmentl de x( t) em hertz é freqüênci fundmentl de x( t) em rdinos por segundo 23/9/2 Sinis e Sistems Rento Dourdo Mi 3/29

14 Sinis Contínuos Periódicos (FS) j t O sinl x( t) = e ω é periódico, com frequênci fundmentl ω e período fundmentl T = 2π ω. Tl como já vimos, o conjunto de hrmônics é: jωt ( ),,, 2,... φ t e = = ± ± Como s hrmônics possuem frequêncis que são múltipls d frequênci fundmentl, els tmbém são periódics com período T. Então, um combinção liner de exponenciis complexs hrmonicmente relcionds tmbém resultrá num sinl periódico com período T. = jωt x( t) e é um sinl periódico, com período T = Vejmos um nimção em Jv... 23/9/2 Sinis e Sistems Rento Dourdo Mi 4/29

15 Sinis Contínuos Periódicos (FS) = jωt x( t) e é um sinl periódico, com período T = Representção em Série de Fourier pr um sinl contínuo periódico: Form Exponencil = ± componentes fundmentis ou d primeir hrmônic = ± 2 componentes d segund hrmônic = ± N componentes d enésim hrmônic 23/9/2 Sinis e Sistems Rento Dourdo Mi 5/29

16 Sinis Contínuos Periódicos (FS) Exemplo: Script em Mtlb M SerieFourierProg.m x( t) = = = 4 = = 2 3 = 3 = j 2πt = e = Desenvolvendo o somtório, reorgnizndo os termos, e utilizndo relção de Euler: x t e e e e e e x( t) = + cos 2π t + cos 4π t + cos 6π t 2 3 j ( ) ( π t j π t j t j t j t j t ) ( π π ) ( π = π ) 23/9/2 Sinis e Sistems Rento Dourdo Mi 6/29

17 Sinis Contínuos Periódicos (FS) 2 x (t) = Exemplo.5 x (t) = (/2)cos(2πt) Tempo (t) x 2 (t) = cos(4πt) Tempo (t) x 3 (t) = (2/3)cos(6πt) Tempo (t) Tempo (t) 23/9/2 Sinis e Sistems Rento Dourdo Mi 7/29

18 Sinis Contínuos Periódicos (FS).5 Exemplo x (t) + x (t) Tempo (t) x (t) + x (t) + x (t) Tempo (t) x (t) + x (t) + x 2 (t) + x 3 (t) Tempo (t) 23/9/2 Sinis e Sistems Rento Dourdo Mi 8/29

19 Sinis Contínuos Periódicos (FS) Exemplo 2 x( t) = + cos 2π t + cos 4π t + cos 6π t 2 3 Esse resultdo é um exemplo de um form lterntiv d Série de Fourier, plicável pr sinis contínuos periódicos reis. Vmos considerr um sinl periódico contínuo rel: jωt * * jωt = = x( t) = e = x ( t) = e x( t) = * jω t e Assim: = 23/9/2 Sinis e Sistems Rento Dourdo Mi 9/29

20 Sinis Contínuos Periódicos (FS) Exemplo x( t) = * jωt * j e x( t) e ω = Trocndo por - = = t * jωt jωt x( t) = e = e = = Pr sinis contínuos periódicos reis: * = 23/9/2 Sinis e Sistems Rento Dourdo Mi 2/29

21 Sinis Contínuos Periódicos (FS) Vmos derivr s forms lterntivs d Série de Fourier pr sinis contínuos periódicos reis: = = + + x t e e e jωt jωt jωt ( ) [ ] = = * = = = + + x t e e e jωt jωt * jωt ( ) [ ] = = SOMA DE COMPLEXOS CONJUGADOS = + = x t Rel e ω j t ( ) 2 { } 23/9/2 Sinis e Sistems Rento Dourdo Mi 2/29

22 Sinis Contínuos Periódicos (FS) = + = x t Rel e ω j t ( ) 2 { } = + = x t Re e j ( ωt+ θ ( ) 2 l{ A ) } = A j e θ (Form Polr) x( t) = + 2 A cos( ω t + θ ) = Representção em Série de Fourier pr um sinl contínuo periódico rel: Form Trigonométric Compct. 23/9/2 Sinis e Sistems Rento Dourdo Mi 22/29

23 Sinis Contínuos Periódicos (FS) = + = x t Rel e ω j t ( ) 2 { } = + C = x( t) 2 [ B cos( ω t) sen( ω t)] = B + jc (Form Retngulr) Representção em Série de Fourier pr um sinl contínuo periódico rel: Form Trigonométric. 23/9/2 Sinis e Sistems Rento Dourdo Mi 23/29

24 Sinis Contínuos Periódicos (FS) Forms d FS pr Sinis Contínuos Periódicos Reis: x( t) j t e ω = = Form Exponencil x( t) = + 2 A cos( ω t + θ ) = Form Trigonométric Compct = + C = x( t) 2 [ B cos( ω t) sen( ω t)] Form Trigonométric 23/9/2 Sinis e Sistems Rento Dourdo Mi 24/29

25 Sinis Contínuos Periódicos (FS) MAS COMO CALCULAR OS COEFICIENTES DA FS?... conts, conts, conts... T ω = j t x( t) e T dt 23/9/2 Sinis e Sistems Rento Dourdo Mi 25/29

26 Sinis Contínuos Periódicos (FS) FS de um Sinl Periódico Contínuo { } x( t) = = T = T e x( t) e jω t jω t dt Equção de Síntese Equção de Análise coeficientes d Série de Fourier ou coeficientes espectris Quntificm contribuição de cd hrmônic. Corresponde o vlor médio sobre um período, e é chmdo de componente DC. 23/9/2 Sinis e Sistems Rento Dourdo Mi 26/29

27 Sinis Contínuos Periódicos (FS) Relção de Euler: Exemplo x( t) = sen( ω t) ω x( t) = sen( ωt) = e e 2 j 2 j = 2 j = 2 j =, e j t jω t 23/9/2 Sinis e Sistems Rento Dourdo Mi 27/29

28 Sinis Contínuos Periódicos (FS) Exemplo: Script em Mtlb M SerieFourierProg2.m x( t) = + sen( ωt) + 2 cos( ωt) + cos(2 ωt + π ) 4 Aplicndo-se Relção de Euler: = = 2 = + 2 j j = ( + j ) 4 2 = ( j ) 4 =, > 2 Como os coeficientes d FS são números complexos, eles podem tmbém ser expressos n form polr módulo e fse. 23/9/2 Sinis e Sistems Rento Dourdo Mi 28/29

29 Sinis Contínuos Periódicos (FS).5 Exemplo Coeficientes Apresentdos n Form Módulo e Fse /9/2 Sinis e Sistems Rento Dourdo Mi 29/29