Engenharia de Sistemas e Informática Ficha 3 Sugestão de Resolução 2005/ º Ano/ 2.º Semestre

Transcrição

1 Sistems de Processmento Digitl Engenhri de Sistems e Informátic Fich 3 Sugestão de Resolução 2005/ º Ano/ 2.º Semestre Amostrgem e Reconstrução de Sinis Anlógicos Em muits plicções (e.g. comunicções digitis), os sinis nlógicos do mundo rel são convertidos em sinis discretos usndo operções de mostrgem (colectivmente designds por conversão A/D). Estes sinis discretos são processdos por processdores digitis de sinl, e os sinis processdos são novmente convertidos em sinis nlógicos usndo operções de reconstrução (conversão D/A). Atrvés d utilizção d nálise de Fourier, podemos descrever operção de mostrgem do ponto de vist do domínio d frequênci, nlisr os seus efeitos, e depois tentrmos sobre operção de reconstrução. Assume-se, que o número de níveis de quntizção é suficientemente grnde, que o efeito d quntizção de sinis discretos é desprezável. Amostrgem Sej x (t), um sinl nlógico (bsolutmente integrável). A su CTFT (Trnsformd de Fourier Contínu no Tempo) é dd por, Ω j t ( Ω ) = ( ) X j x t e dt onde Ω é frequênci nlógic em rdinos/segundo. A trnsformd invers ICTFT é dd por, 1 () ( ) j Ω x t t = X jω e dω 2π Se mostrrmos x (t), usndo o intervlo de mostrgem T s pr obter o sinl discreto x(n). xn x nt ( ) = ( ) j Sej X( e ω ) DTFT (trnsformd de Fourier Discret no Tempo). Então pode-se demonstrr 1 que j ( ) X e ω é um somtório de versões trnsldds d CTFT ( ) s X jω. jω 1 ω 2π X( e ) = X j l Ts t= Ts Ts A relção nterior é conhecid como fórmul do Alising. As frequêncis nlógics e digitis, estão relcionds trvés de T s, Enqunto frequênci de mostrgem F s é dd por, ω = Ω T s, F s = 1, mostrs por segundo. T s 1 Ver pontmentos ds uls. Sistems de Processmento Digitl Mnuel A. E. Bptist 1

2 A ilustrção gráfic, Mostr, que em gerl o sinl discreto é um versão com lising do sinl nlógico correspondente, porque s lts frequêncis são misturds com s bixs frequêncis, se houver sobreposição. Contudo, é possível recuperr trnsformd de Fourier (CTFT), ( ) j X jω prtir X( e ω ) (ou de form equivlente, o sinl nlógico x (t) prtir ds sus mostrs x(n)) se s infinits réplics não se sobrepuserem ums com j s outrs, pr formr X( e ω ). Isto é verddeiro, pr sinis nlógicos limitdos n frequênci. Sinis Limitdos n Frequênci Um sinl é limitdo n frequênci se existir um frequênci em rdinos Ω 0 tl que X ( ) jω sej zero pr Ω>Ω 0. A frequênci F0 = Ω0 / 2 π, design-se por lrgur de bnd do sinl em Hz. Se π >Ω 0 Ts ou de form equivlente, Fs / 2 > F 0 então j 1 X( e ) X j ω ω = ; π < ω < π Ts Ts Ts Ts Ts o que conduz o teorem d mostrgem pr sinis limitdos n frequênci. Teorem d Amostrgem Sej x (t), um sinl nlógico limitdo n frequênci com lrgur de bnd F 0. Este pode ser reconstruído prtir dos vlores ds sus mostrs x(n) = x (nt s ) se frequênci de mostrgem F s = 1/T s for mior que o dobro d lrgur de bnd F 0 de x (t). Fs > 2 F0 Cso contrário, temos lising em x(n). A tx de mostrgem de 2F 0 pr um sinl nlógico de lrgur de bnd limitd design-se por tx de Nyquist. Sistems de Processmento Digitl Mnuel A. E. Bptist 2

3 Deve-se ter em tenção, que pós mostrgem de x (t), frequênci nlógic mis elevd que x(n) represent é Fs/2 Hz (ou ω = π). Implementção em MATLAB Torn-se clro que não é possível nlisr sinis nlógicos usndo o MATLAB, não ser que se utilize toolbook Symbolic. Contudo, se mostrrmos x (t) em intervlos pequeníssimos, que correspondm incrementos no tempo tmbém pequenos, de form termos um gráfico quse contínuo, então podemos proximr ess nálise. Sej t o intervlo no tempo, tl que t<<t s. Então, x m x n t G ( ) = ( ) pode ser usdo como um mtriz pr simulr um sinl nlógico. O intervlo de mostrgem T s não deve ser confundido com o intervlo no tempo t, que é pens usdo pr representr um sinl nlógico em MATLAB. D mesm form, trnsformd de Fourier, X ( jω ), deverá ser tmbém proximd à luz d relção nterior, ( Ω) ~ ( ) = ( ) X j X m e t t X m e j Ω m t j Ω m t G G m m Então se x (t) (bem como XG(m)) tiverem durção finit, então relção nterior é semelhnte DTFT, pelo que pode ser implementd em MATLAB d mesm form pr nlisr o processo d mostrgem. Exercício 1 Sej x () t = e 1000 t. Determine e represente su trnsformd de Fourier. Sinl Anlógico Dt = ; t = :Dt:0.005; x = exp(-1000*bs(t)); CTFT Wmx = 2*pi*2000; K = 500; k = 0:1:K; W = k*wmx/k; X = x * exp(-j*t'*w) * Dt; X = rel(x); W = [-fliplr(w), W(2:501)]; Omeg desde -Wmx Wmx X = [fliplr(x), X(2:501)]; subplot(1,1,1) subplot(2,1,1);plot(t*1000,x); xlbel('t em msec.'); ylbel('x(t)') title('sinl Anlógico') subplot(2,1,2);plot(w/(2*pi*1000),x*1000); xlbel('frequênci in KHz'); ylbel('x(jw)*1000') title('ctft) Sistems de Processmento Digitl Mnuel A. E. Bptist 3

4 Exercício 2 Pr estudr o efeito d Amostrgem em quntiddes no domínio d frequênci, mostr-se x (t), do exercício nterior, dus frequêncis de mostrgem distints. ) Amostre x (t) F s = 5000 mostrs/s pr obter x 1 (n). Determine e represente X ( e jω ) Sinl Anlógico Dt = ; t = :Dt:0.005; x = exp(-1000*bs(t)); Discrete-time Signl Ts = 0.001; n = -5:1:5; x = exp(-1000*bs(n*ts)); Discrete-time Fourier trnsform K = 500; k = 0:1:K; w = pi*k/k; X = x * exp(-j*n'*w); X = rel(x); w = [-fliplr(w), w(2:k+1)]; X = [fliplr(x), X(2:K+1)]; subplot(1,1,1) subplot(2,1,1);plot(t*1000,x); xlbel('t in msec.'); ylbel('x(t)') title('discrete Signl'); hold on subplot(2,1,2);plot(w/pi,x); xlbel('frequency in pi units'); ylbel('x(w)') title('discrete-time Fourier Trnsform') 1. b) Amostre x (t) F s = 1000 mostrs/s pr obter x 2 (n). Determine e represente X ( e jω ) 2. Igul o nterior, ms com Fs = 1000, por isso encontrrá um quntidde considerável de lising. Sistems de Processmento Digitl Mnuel A. E. Bptist 4

5 Reconstrução A prtir do teorem d mostrgem, torn-se clro que se mostrrmos um sinl nlógico limitdo n frequênci x (t) cim d frequênci de Nyquist, poderemos posteriormente reconstruí-lo prtir ds sus mostrs x(n). Est reconstrução, pode ser encrd como um processo com dois pssos: Psso 1: Em primeiro lugr s mostrs são convertids num trem de impulsos pesdos. xn ( ) δ ( t nts) =... + x( 1) δ ( n+ Ts) + x( 0) δ ( t) + x( 1 ) δ ( n Ts) +... n= Psso 2: Seguidmente o trem de impulsos é filtrdo trvés dum filtro pss bixo idel, com lrgur de bnd limitd [-F s /2, F s /2]. x(n) Conversão num Trem de Impulsos Filtro Pss-Bixo Idel x (t) Este processo dois pssos, pode ser descrito mtemticmente usndo fórmul de interpolção, onde sinc( x) sin( π x) π x () = ( ) sin ( ) x t x n c F t nt s s n= =, é um função de interpolção. A interpretção físic é dd n figur seguinte, prtir d qul se pode observr que interpolção idel não é relizável n prátic, porque todo o sistem é não cusl. Sistems de Processmento Digitl Mnuel A. E. Bptist 5

6 Conversores D/A práticos Em termos práticos precismos dum proximção diferente d nterior. O processo de dois pssos é ind relizável, ms gor trocmos o filtro idel pss bixo, por um filtro nlógico pss bixo prático. Por outro ldo, fórmul de interpolção nterior tem um ordem infinit, pelo que queremos um ordem finit. Pr o efeito, existem váris proximções. Interpolção ZOH Zero-Order-Hold: Nest interpolção, um determind mostr é mntid durnte um determindo intervlo de tempo, té à recepção d próxim mostr. ^ () = ( ), <= < ( +1 ) x t x n nt n n T s s que pode ser obtid trvés d filtrgem do trem de impulsos trvés dum filtro de interpolção d form, h 0 () t 1, 0<= t <= T = s 0, outros que é um impulso rectngulr. O sinl resultnte é um form de ond em degru, que necessit dum pós filtrgem nlógic pr um melhor proximção à form de ond reconstruíd. ^ x(n) ZOH x () t Pós Filtrgem x (t) Interpolção FOH First-Order-Hold: Nest interpolção, s mostrs djcentes são junts trvés de linhs rects. Isto pode ser obtido trvés d filtrgem do trem de impulsos usndo, t 1 +, 0 <= t <= Ts Ts t h1 () t = 1, Ts <= t <= 2Ts Ts 0 outros Tmbém qui, é necessári um pós filtrgem nlógic, pr um reconstrução com mis exctidão. Implementção MATLAB Pr interpolção entre mostrs o MATLAB fornece váris proximções. A função sinc(x), que ger sin( π x) função sinc( x) =, pode ser usd pr implementr x() t = x( n) sin c Fs( t nts) π x, n= ddo um número finito de mostrs. Se for ddo { xn ( ), n1 <= n<= n2 }, e se quiser interpolr x (t)em intervlos de tempo t muito pequenos, então n 2 n= n1 ( ) ( ) ( ) x m t = x n sin c Fs m t nts, t <= m t <= t 1 2 Que pode ser implementd trvés dum multiplicção mtriz vector: >> n = n1:n2; t=t1:t2; Fs = 1/Ts; nts = n * Ts; Ts intervlo de mostrgem >> x = x * sinc (Fs*(ones(length(n), 1)*t-nTs * ones(1, length(t)))); Deveremos ter em tenção que não é possível obter um x (t)nlógico exctmente igul, à luz do fcto de se ter ssumido um número finito de mostrs. Sistems de Processmento Digitl Mnuel A. E. Bptist 6

7 Exercício 3 A prtir ds mostrs x 1 (n) do exercício 2, reconstru x (t)e comente os resultdos. Fich 3 : Exercício 3 Reconstruction using sinc function Discrete-time Signl x1(n) Ts = ; Fs = 1/Ts; n = -25:1:25; nts = n*ts; x = exp(-1000*bs(nts)); Anlog Signl reconstruction Dt = ; t = :Dt:0.005; x = x * sinc(fs*(ones(length(nts),1)*t-nts'*ones(1,length(t)))); check error = mx(bs(x - exp(-1000*bs(t)))) Plots subplot(1,1,1) subplot(2,1,2);plot(t*1000,x); xlbel('t in msec.'); ylbel('x(t)') title('reconstructed Signl from x1(n) using sinc function'); hold on Exercício 4 A prtir ds mostrs x 2 (n) do exercício 2, reconstru x (t)e comente os resultdos. Fich 3 : Exercício 4 Reconstruction nd lising using sinc function Discrete-time Signl x1(n) Ts = 0.001; Fs = 1/Ts; n = -5:1:5; nts = n*ts; x = exp(-1000*bs(nts)); Anlog Signl reconstruction Dt = ; t = :Dt:0.005; x = x * sinc(fs*(ones(length(nts),1)*t-nts'*ones(1,length(t)))); check error = mx(bs(x - exp(-1000*bs(t)))) Plots subplot(1,1,1) subplot(2,1,2);plot(t*1000,x); xlbel('t in msec.'); ylbel('x(t)') title('reconstructed Signl from x2(n) using sinc function'); hold on Sistems de Processmento Digitl Mnuel A. E. Bptist 7

8 Exercício 5 Represente o sinl reconstruído prtir ds mostrs x 1 (n)do exercício 2, usndo interpolção ZOH e FOH. Comente os gráficos. Fich 3 : Exercício 5 Reconstruction using the stirs nd plot functions figure(1); clf Discrete-time Signl x1(n) : Ts = Ts = ; n = -25:1:25; nts = n*ts; x = exp(-1000*bs(nts)); Anlog Signl reconstruction using stirs subplot(2,1,1); stirs(nts*1000,x); xlbel('t in msec.'); ylbel('x(t)') title('reconstructed Signl from x1(n) using zero-order-hold'); hold on Anlog Signl reconstruction using plot subplot(2,1,2); plot(nts*1000,x); xlbel('t in msec.'); ylbel('x(t)') title('reconstructed Signl from x1(n) using first-order-hold'); hold on Exercício 6 Um sinl nlógico x (t) = sin (100πt) é mostrdo usndo os seguintes intervlos de mostrgem. Pr cd cso represente o espectro do sinl discreto no tempo resultnte. ) T s = 0.1 ms. b) T s = 1 ms. c) T s = 0.01 s. Exercício 7 Considere o seguinte filtro nlógico, implementdo usndo um filtro digitl. x (t) A/D x(n) h(n) y(n) D/A y (t) A tx de mostrgem no A/D e D/A é de 100 mostrs/s, e respost impulsionl é h(n) = (0,5) n u(n). ) Qul é frequênci digitl em x(n) se x (t) = 3 cos (20πt)? b) Determine síd estcionári y (t) se x (t) = 3 cos (20πt). c) Determine síd estcionári y (t) se x (t) = 3u(t). d) Determine outros dois sinis x (t), com diferentes frequêncis nlógics, que dêem mesm síd estcionári y (t) qundo for plicdo x (t) = 3 cos (20πt). e) Pr prevenir o lising, é necessário um pré-filtro pr processr x (t) ntes deste dr entrd no conversor A/D. Que tipo de filtro deverá ser usdo, e qul deverá ser mior frequênci de corte, que funcionrá pr est configurção. Sistems de Processmento Digitl Mnuel A. E. Bptist 8

9 Exercício 8 Considere o seguinte sistem usdo pr processr um sinl nlógico com um sistem discreto. x (t) A/D [T1] x(n) Sistem Discreto y(n) D/A [T2] y (t) Suponh que x (t) é limitdo em frequênci com ( ) bixo. X f = 0 pr f > 5 khz, como mostr figur X (f) e que o sistem discreto no tempo é um filtro pss-bixo idel como um frequênci de corte π/2. ) Determine trnsformd de Fourier de y (t) se s frequêncis de mostrgem forem f 1 = f 2 = 10kHz. b) Repit pr f 1 = 20 khz e f 2 = 10 khz. c) Repit pr f 1 = 10 khz e f 2 = 20 khz. f khz Sistems de Processmento Digitl Mnuel A. E. Bptist 9