Sinais e Sistemas. Série de Fourier. Renato Dourado Maia. Faculdade de Ciência e Tecnologia de Montes Claros. Fundação Educacional Montes Claros

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1 Sinais e Sistemas Série de Fourier Renato Dourado Maia Faculdade de Ciência e ecnologia de Montes Claros Fundação Educacional Montes Claros

2 Convergência da Um sinal periódico contínuo possui uma representação em Série de Fourier se ele satisfaz às seguintes condições de Dirichlet:. O sinal deve ser limitado.. O sinal deve possuir um número finito de máximos e mínimos num período. 3. O sinal deve possuir um número finito de descontinuidades num período. Essas condições garantem que o sinal é igual à sua representação em, exceto em valores isolados de tempo para os quais o sinal é descontínuo. 6/5/6 Sinais e Sistemas Renato Dourado Maia /3

3 Convergência da Violação da Primeira Condição de Dirichlet Violação da Segunda Condição de Dirichlet Violação da erceira Condição de Dirichlet 6/5/6 Sinais e Sistemas Renato Dourado Maia 3/3

4 Convergência da Na prática, o somatório é finito, ou seja, utilizase a Série de Fourier runcada, que contempla as N primeiras harmônicas: + N j xn() t = ae ω = N Espera-se que a Série runcada convirja para o sinal x quando N tende a infinito. Felizmente, não há problemas de convergência para uma grande quantidade de classes de sinais periódicos. Vejamos uma animação em Java que ilustra a utilização da Série runcada de Fourier, apresentando os fasores para cada harmônica... t 6/5/6 Sinais e Sistemas Renato Dourado Maia 4/3

5 Sinais Contínuos Periódicos () : Script em Matlab M SerieFourierProg.m Frequência Fundamental? ω = π 6/5/6 Sinais e Sistemas Renato Dourado Maia 5/3

6 Sinais Contínuos Periódicos () = () = = jω j t j t j t ω ω ω a x t e dt e dt e jω jω e e sen( ω) sen( ω) = = = ω j ω ω π ( ) ( ) sen sen π = = = sinc( ) π π ( π ) sinc( u) = sen u Função sinc πu 6/5/6 Sinais e Sistemas Renato Dourado Maia 6/3

7 Sinais Contínuos Periódicos ().6 =6, o =4.4 a =6, o = a /5/6 Sinais e Sistemas Renato Dourado Maia 7/3

8 Sinais Contínuos Periódicos () Aproximação do Sinal pela Série runcada de Fourier x (t) t x (t) t x 3 (t) t x 5 (t) t x 7 (t) t x 9 (t) t CE6.m: arquivos do livro do Sinais e Sistemas Lineares, segunda edição x (t) t x 3 (t) t x 5 (t) -5 5 x () t i é a quantidade de harmônicas utilizadas i 6/5/6 Sinais e Sistemas Renato Dourado Maia 8/3.5 t

9 Convergência da Vimos que se espera que a Série runcada comvirja para o sinal x quando N tende a infinito. Será que isso acontece sempre? Já sabemos que um sinal periódico contínuo possui u- ma representação em Série de Fourier se ele satisfaz às condições de Dirichlet, mas sabemos também que a aproximação não é perfeita em pontos de descontinuidade. Esse é o Fenômeno Gibbs... Vejamos uma outra animação em Java que ilustra a utilização da Série runcada de Fourier e evidencia o Fenômeno Gibbs... 6/5/6 Sinais e Sistemas Renato Dourado Maia 9/3

10 Convergência da Existem métodos para reduzir ou eliminar o e- feito do Fenômeno Gibbs. Essencialmente, tais métodos são diferentes maneiras de modificar (ponderar) os coeficientes da truncada, e são conhecidos como métodos de janelamento. Vejamos uma animação em Java que ilustra a utilização de janelamento para redução do efeito do Fenôneno Gibbs... 6/5/6 Sinais e Sistemas Renato Dourado Maia /3

11 Sinais Contínuos Periódicos () Calcular a para o sinal apresentado a seguir: x( t) = sen(πt 3) + sen(6 πt) 6/5/6 Sinais e Sistemas Renato Dourado Maia /3

12 Sinais Contínuos Periódicos () 5 x(t)=sin(π t-3)+sin(6π t) 4 3 x(t) t 6/5/6 Sinais e Sistemas Renato Dourado Maia /3

13 Sinais Contínuos Periódicos () x( t) = sen(πt 3) + sen(6 πt) e e e e xt () = + j j j(πt 3) j(πt 3) j6πt j6πt j(πt 3) j(πt 3) j j6πt j j6πt x() t = je + je e + e j j x() t = e + je e je e e j( 3) πt j( )πt j3 j()πt j3 j(3)πt 6/5/6 Sinais e Sistemas Renato Dourado Maia 3/3

14 Sinais Contínuos Periódicos () a π j j = e, = -3 π π j j( + 3) j3 j3 je = e e = e, = - = je = e e e = e, = π π j j j jπ = e e = e, = 3, caso contrário π 3π j j( 3) j3 jπ j3 6/5/6 Sinais e Sistemas Renato Dourado Maia 4/3

15 Sinais Contínuos Periódicos () 5 x(t)=sin(π t-3)+sin(6π t) x(t) t X() X() /5/6 Sinais e Sistemas Renato Dourado Maia 5/3

16 Sinais Contínuos Periódicos () Calcular a para o sinal a seguir: + x() t = δ ( t ) =... xt () /5/6 Sinais e Sistemas Renato Dourado Maia 6/3

17 Sinais Contínuos Periódicos () + x() t = δ ( t ) =... xt () a x j t j t () t e ω dt () t e ω δ dt = = = 6/5/6 Sinais e Sistemas Renato Dourado Maia 7/3

18 Algumas Propriedades da Linearidade xt () a yt () b zt () = Axt () + Byt () c = Aa + Bb Deslocamento no empo xt () a jωt xt t e a ( ) 6/5/6 Sinais e Sistemas Renato Dourado Maia 8/3

19 Algumas Propriedades da Reflexão no empo xt () a x( t) a O que se pode dizer sobre os coeficientes da para sinais pares e ímpares? a = a a = a 6/5/6 Sinais e Sistemas Renato Dourado Maia 9/3

20 Algumas Propriedades da Mudança de Escala no empo xt () = + = + x( αt) = ae = ae jω t j ( αω ) t α é um número positivo real Conjugado e Simetria xt () a * * x () t a 6/5/6 Sinais e Sistemas Renato Dourado Maia /3

21 Algumas Propriedades da Multiplicação xt () a yt () b x() t y() t h ab + = l l l= Relação de Parseval + x() t dt = a = 6/5/6 Sinais e Sistemas Renato Dourado Maia /3

22 Propriedades da A abela 3. (página 6 do livro Signals and Systems) resume as propriedades da : algumas propriedades apresentadas na tabela não estão nos slides... As propriedades são interessantes para facilitar a determinação dos coeficientes da de um sinal, evitando a realização de contas desnecessárias. Leiam sobre as propriedades, pois o livro apresenta comentários interessantes... 6/5/6 Sinais e Sistemas Renato Dourado Maia /3

23 Propriedades da Calcular a para o sinal a seguir: gt () 6/5/6 Sinais e Sistemas Renato Dourado Maia 3/3

24 Propriedades da Lembrando: a = sinc( ) 6/5/6 Sinais e Sistemas Renato Dourado Maia 4/3

25 Propriedades da gt () gt ( ) = xt ( ) =, = 4 π ω = 6/5/6 Sinais e Sistemas Renato Dourado Maia 5/3

26 Propriedades da gt ( ) = xt ( ) gt () = x() t + x() t x () t b x () t c Aplicar Linearidade!!! gt () = x() t + x() t d = b+ c 6/5/6 Sinais e Sistemas Renato Dourado Maia 6/3

27 Propriedades da x( t) xt ( ) = Aplicar Deslocamento no empo!!! xt () a jωt xt t e a ( ) π j b = e a x () t = c, =, = 6/5/6 Sinais e Sistemas Renato Dourado Maia 7/3

28 Propriedades da x () t b x () t c gt () = x() t + x() t d = b+ c c π j b = e a, =, = d π j e a, = a, = 6/5/6 Sinais e Sistemas Renato Dourado Maia 8/3

29 Propriedades da π j e a, d = a, = π sen( π ) sen( ) = ( ), = a 4 ( ) = sinc a = sinc = = π π π π sen( ) j e d =, π, = 6/5/6 Sinais e Sistemas Renato Dourado Maia 9/3

30 Educational Matlab GUIs Demos sobre Processamento de Sinais: Convolução, Série de Fourier, ransformadas, etc... (Acesso em 3/3/7) Vamos brincar um pouco com a Fourier Series Demo! 6/5/6 Sinais e Sistemas Renato Dourado Maia 3/3

31 Exercício Exercício 3. Signals and Systems Um sinal periódico de tempo contínuo é real, e tem período fundamental = 8. Os coeficientes não nulos da de xt () são: a a a a j * = =, 3 = = 4. 3 xt () Expresse xt () na forma: x() t = Acos( ωt + φ) = 6/5/6 Sinais e Sistemas Renato Dourado Maia 3/3