1 [30] O programa abaixo, que calcula a raiz quadrada de 6, está errado. Identifique o erro, e explique como corrigi-lo.

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1 TT009 Matemática Aplicada I Curso de Engenharia Ambiental Departamento de Engenharia Ambiental, UFPR P01, 30 mar 01 Prof. Nelson Luís Dias NOME: GABARITO Assinatura: 0 1 [30] O programa abaixo, que calcula a raiz quadrada de 6, está errado. Identifique o erro, e explique como corrigi-lo. #!/ usr / bin / python # -*- coding : iso *- from future import print_ function from future import division eps = 1.0e -6 h = 1.0 x = 1.0 while h > eps : h = (6 - x **)/(* x) x = x + h print (x) print (x **) Onde se lê while h > eps: leia-se while abs(h) > eps:

2 [30] Considere a função F (x) definida pela integral F (x) x 0 cos(t 3 ) dt, x 0. Obtenha uma série para o cálculo de F (x). Sugestão: expanda cos(t 3 ) em série de Taylor em torno de t = 0, e em seguida integre termo a termo. F (x) = = = x 0 n=0 n=0 ( 1) n (t3 ) n (n)! dt, n=0 ( 1) n (n)! x 0 t 6n dt ( 1) n (6n + 1)(n)! x6n+1

3 3 [40] Dada a EDO y dy dx + xy = e x, y(0) = 1, obtenha um esquema implícito de diferenças finitas para ela, envolvendo x n, x n+1, y n e y n+1. Por simplicidade, escreva x n+1 + x n x y n+1 + y n y n+1 y n h + x y n+1 + y n = e x y n+1 yn + x y n+1 + y n = e x h 1 h y n+1 + x [ 1 y n+1 + h y n + x ] y n e x = 0 1 h y n+1 x [ 1 y n+1 h y n + x ] y n e x = 0 Esta é uma equação do o grau em y n+1 ; faça A solução para y n+1 é A = 1 h, B = x, [ 1 C = h y n + x ] y n e x. y n+1 = B ± B 4AC. A É preciso verificar qual dos dois sinais funciona. Isto pode ser feito por uma análise mais detalhada ou, com mais facilidade, por tentativa e erro no próprio programa de computador.

4 TT009 Matemática Aplicada I Curso de Engenharia Ambiental Departamento de Engenharia Ambiental, UFPR P0, 7 abr 01 Prof. Nelson Luís Dias NOME: GABARITO Assinatura: 0 1 [5] Suponha que n ( k + k ) = an 3 + bn + cn + d, k=1 e obtenha um sistema linear 4 4 nas incógnitas a, b, c e d cuja solução dê a fórmula geral para qualquer n. Não é necessário resolver o sistema. a + b + c + d =, 8a + 4b + c + d = 8, 7a + 9b + 3c + d = 0, 64a + 16b + 4c + d = 40. A solução do sistema dá n ( k + k ) = k=1 n(n + 1)(n + ) 3

5 [5] Considere a transformação linear dada pela reflexão em torno do plano vertical x x 3 : A e 1 = e 1, A e = e, A e 3 = e 3. Qual é a relação geométrica entre u v e [A u] [A v], sendo u e v dois vetores quaisquer do R 3? u = (u 1, u, u 3 ) A u = ( u 1, u, u 3 ), (1) v = (v 1, v, v 3 ) A v = ( v 1, v, v 3 ). () u v = (u v 3 u 3 v )e 1 + (u 3 v 1 u 1 v 3 )e + (u 1 v u v 1 )e 3 [A u] [A v] = (u v 3 u 3 v )e 1 + (u 3 ( v 1 ) ( u 1 )v 3 )e + (( u 1 )v u ( v 1 ))e 3 = (u v 3 u 3 v )e 1 (u 3 v 1 u 1 v 3 )e (u 1 v u v 1 )e 3 Portanto, o vetor [A u] [A v] possui a mesma coordenada 1 de u v, enquanto que as coordenadas e 3 ficam invertidas. Isto significa que [A u] [A v] representa uma rotação de 180 de u v em torno de Ox 1

6 3 [5] Existe uma maneira de resolver um sistema linear com autovalores e autovetores sem precisar inverter explicitamente nenhuma matriz! desde que haja n autovetores LI, com seus n autovalores correspondentes. Suponha que este seja o caso, e faça por simplicidade n =. Você quer resolver o sistema A x = y onde A e y são conhecidos. Por hipótese, existem autovetores f 1 e f LI associados aos autovalores λ 1 e λ, de forma que A f 1 = λ 1 f 1, A f = λ f. Considere λ 1, f 1, λ, f conhecidos. Agora, decomponha y na base de autovetores: y = β 1 f 1 + β f ; note que β 1 e β são facilmente determináveis, e portanto podem ser considerados conhecidos. Finalmente, considere a incógnita x na base dos autovetores também: x = α 1 f 1 + α f, onde α 1 e α são desconhecidos. Substitua no sistema original: A [α 1 f 1 + α f ] = β 1 f 1 + β f... Agora prossiga, e obtenha α 1 e α (e consequentemente x) em função dos dados conhecidos. Como f 1 e f são autovetores, A [α 1 f 1 + α f ] = β 1 f 1 + β f α 1 λ 1 f 1 + α λ f = β 1 f 1 + β f α 1 = β 1 /λ 1, α = β /λ

7 4 [5] Dada a base ortonormal f 1 = 1 11 (1, 1, 3), f = 1 66 (7, 4, 1), f 3 = 1 6 ( 1,, 1), seja A uma rotação de α radianos de um vetor qualquer em torno de f 3. a) [15] Obtenha a matriz [A] F de A na base F = (f 1, f, f 3 ). b) [10] Indique a relação entre [A] F e [A] E (a matriz de A na base canônica), em função da matriz [C] cujos elementos são C ij = (f i e j ). Não é preciso fazer os cálculos! a) A matriz de A na base F é trivial: b) cos α sen α 0 [A] F = sen α cos α e j = C ij f i ; [A] E = [C] [A] F [C].

8 TT009 Matemática Aplicada I Curso de Engenharia Ambiental Departamento de Engenharia Ambiental, UFPR P03, 8 set 01 Prof. Nelson Luís Dias NOME: GABARITO Assinatura: 0 1 [30] Encontre a solução geral das seguintes EDO s de ordem 1: a) [10] b) [10] c) [10] dy + xy = x. dx dy dx + e x y = 0. dy dx + y = sen(x). (% i31 ) diff (y,x) + x*y = x ; dy (% o31 ) -- + x y = x dx (% i3 ) ode (%,y,x) ; x x (% o3 ) y = %e (% e + %c) (% i33 ) diff (y,x) + exp ( -* x)* y = 0 ; dy - x (% o33 ) -- + %e y = 0 dx (% i34 ) ode (%,y,x) ; - x %e (% o34 ) y = %c %e (% i37 ) diff (y,x) + y = sin (* x) ; dy (% o37 ) -- + y = sin ( x) dx (% i38 ) ode (%,y,x) ; x - x %e ( sin ( x) - cos ( x)) (% o38 ) y = %e ( %c) 5 (% i39 )

9 3 [0] Encontre a solução geral de x y (x) xy (x) y = 0. (% i1) edo : x^* diff (y,x,) - * x* diff (y,x) - y ; d y dy (% o1) x x -- - y dx dx (% i) ode (%,y,x); sqrt (13) sqrt (13) / 3/ (% o) y = %k1 x + %k x

10 3 [0] Calcule todos os valores possíveis z n de (1 + i) 1/7. Dê sua resposta na forma z n = r n e iθn, onde os r n s e θ n s devem ser explicitados. z = (1 + i) = e i( π +nπ) 4 ; [ w = z 1/7 = e i( π +nπ)] 1/7 4 = ( 1/14 )e i( π 8 + nπ 7 ) ; w 1 = ( 1/14 )e i π 8, w = ( 1/14 )e i( π 8 + π 7 ), w 3 = ( 1/14 )e i( π 8 + 4π 7 ), w 4 = ( 1/14 )e i( π 8 + 6π 7 ), w 5 = ( 1/14 )e i( π 8 + 8π 7 ), w 6 = ( 1/14 )e i( π π 7 ), w 7 = ( 1/14 )e i( π 8 + 1π 7 )

11 4 [30] Obtenha a série de Laurent de f(z) = em torno de z 0 = i no anel < z i < 5. Inicialmente, nós separamos em frações parciais: (% i4) z0 : *% i ; (% o4) %i (% i5) z1 : + z0 ; (% o5) %i + (% i6) z : 5 + z0 ; (% o6) %i + 5 (% i7) f : 1/(( z - z1 )*(z-z )) ; 1 (% o7) (z - %i - 5) (z - %i - ) (% i8) partfrac (f,z) ; 1 1 (% o8) (z - %i - 5) 3 (z - %i - ) f(z) = 1 [z ( + i)][z (5 + i)] 1 3([z i] 5) 1 3([z i] ) Em seguida, cada uma das frações necessita ser rearranjada de maneira distinta: 1 1 f(z) = ( ) ( ) 15 1 [z i] 5 3[z i] 1 [z i] [ = 1 ( ) ( ) ( ) 3 [z i] [z i] [z i] ] [ 1 ( ) ( ) ( ) ] 3 [z i] [z i] [z i] [z i]

12 TT009 Matemática Aplicada I Curso de Engenharia Ambiental Departamento de Engenharia Ambiental, UFPR P04, 16 out 01 Prof. Nelson Luís Dias NOME: GABARITO Assinatura: 0 1 [30] A função F (x) = arctg(x) dx = x arctg(x) ln(x + 1) possui uma série de Taylor, que pode ser obtida derivando-se sucessivamente o lado direito acima. Nesta questão, isto é proibido. Em vez disto, obtenha a série de Taylor de F (x) integrando termo a termo: arctg(x) = x x3 3 + x5 5 x7 7 + x (Note também que o procedimento alternativo é mais rápido e mais fácil do que derivar sucessivamente F (x).) Com Maxima, os primeiros termos da série são: (% i1) taylor ( atan (x),x,0,1); x x x x x (% o1 )/T/ x (% i) integrate (%,x); x x x x x x (% o) ou, como muitos preferiram: ( 1) n+1 x n 1 arctg(x) = ; n 1 ( 1) n+1 x n 1 ( 1) n+1 x n arctg(x) dx = dx = n 1 (n)(n 1)

13 [30] Obtenha a série de Laurent de f(z) = em torno de z 0 = + i no anel z ( + i) < 1. 1 [z (1 + i)][z ( + i)] t = z ( + i), z (1 + i) = z 1 i = z i + 1 = z ( + i) + 1 = t + 1; 1 1 f(z) = (t + 1) t = 1 [ 1 t + t t 3 + t 4 t ] t = 1 t 1 + t t + t 3 t = 1 [z ( + i)] 1 + [z ( + i)] [z ( + i)] + [z ( + i)] 3 [z ( + i)]

14 3 [40] Tente resolver x y + (1 + x)y y = 0 pelo método de Frobenius: você consegue? Por quê? Na forma normal, Logo, [ 1 y + x + 1 ] y 1 x x y = 0. xp(x) = 1 x + 1; x q(x) = 1. Como xp(x) não é analítica em x = 0, o método de Frobenius não é aplicável

15 TT009 Matemática Aplicada I Curso de Engenharia Ambiental Departamento de Engenharia Ambiental, UFPR F, out 01 Prof. Nelson Luís Dias NOME: GABARITO Assinatura: 0 1 [30] Para x(t), y(t) C; t R, resolva (isto é, obtenha a solução geral de): dx dt = x 3y, dy dt = x + y. Atenção: resolva o problema do começo ao fim com números complexos. Não se preocupe em obter soluções puramente reais. Fica mais fácil assim! [ [ [ ] d x 1 3 x =. dt y] 1 1] y Os autovalores e autovetores correspondentes da matriz são: λ 1 = 1 i 3 f 1 = (1, i/ 3); λ = 1 + i 3 f = (1, i/ 3). Vamos então decompor o vetor com componentes (x, y) na base canônica na base de autovetores: (x, y) = a(1, i/ 3) + b(1, i/ 3); [ ] [ ] [ ] 1 1 i/ 3 i/ a x = ; 3 b y a = 1 ( x i ) 3y, b = 1 ( x + i ) 3y. Portanto, na base dos autovetores, o sistema é dado por [ [ [ ] d a 1 i 3 0 = dt b] i 3] a b Este sistema está na forma diagonal, e tem solução Finalmente, a(t) = A 0 e (1 i 3)t, b(t) = B 0 e (1+i 3)t. x(t) = A 0 e (1 i 3)t + B 0 e (1+i 3)t, y(t) = i [ ] A 0 e (1 i 3)t B 0 e (1+i 3)t 3

16 [30] Obtenha a solução geral de y + 3y 4y = 0. (% i) eq : diff (y,x,) + 3* diff (y,x) - 4 * y ; d y dy (% o) y dx dx (% i3) ode (eq,y,x); x - 4 x (% o3) y = %k1 %e + %k %e

17 3 [40] Encontre a solução geral de x y + (x + x )y y = 0 pelo método de Frobenius. (Ou seja: encontre duas soluções LI y 1, y de tal forma que y = c 1 y 1 (x) + c y(x) seja a solução geral.) Na forma normal, ( ) 1 y + x + 1 y 1 x y = 0 Claramente, x = 0 é um ponto singular. Porém, xp(x) = 1 + x, x q(x) = 1. O ponto singular é regular, e o método de Frobenius é aplicável. Tente: y = a n x n+r, n=0 y = y = n=0 (n + r)a n x n+r 1, n=0 (n + r 1)(n + r)a n x n+r, n=0 e substitua na EDO, obtendo [(n + r 1)(n + r) + (n + r) 1] a n x n+r + [(n + r)] a n x n+r+1 = 0. Evidentemente devemos fazer m + r = n + r + 1, m = n + 1, n = m 1; [(n + r 1)(n + r) + (n + r) 1] a n x n+r + n=0 n=0 [(m 1 + r)] a m 1 x m 1+r+1 = 0. Segue-se que... + [(n + r 1)(n + r) + (n + r) 1] a n x n+r + [(n 1 + r)] a n 1 x n+r = 0, A equação indicial é... + [(n + r)(1 + n + r 1) 1] a n x n+r + [(n 1 + r)] a n 1 x n+r = 0, m=1 [r 1]a 0 x r [ + (n + r) 1 ] a n x n+r + [(n 1 + r)] a n 1 x n+r = 0, [r 1]a 0 x r + {[ (n + r) 1 ] } a n + [(n 1 + r)] a n 1 x n+r = 0. r = 1 r = ±1 As raízes diferem por um inteiro; a menor raiz pode levar às duas soluções, ou a nenhuma delas. Tentemos: [(n 1) 1]a n + [n ]a n 1 = 0, [n n + 1 1]a n + [n ]a n 1 = 0, n(n )a n + (n )a n 1 = 0, na n + a n 1 = 0, a n = a n 1 n.

18 Para a 0 0, esta primeira solução é: a 0 = 1, a 1 = 1, a = 1, a 3 = 1 6,. e y 1 = 1 x a n = ( 1)n n! [ 1 x + 1 x 1 ] 6 x = e x x (verificado com Maxima). Nosso teorema sobre as soluções nos garante que a menor raiz leva a duas soluções, mas não nos diz nada sobre como encontrá-las! No nosso caso, há necessidade de uma certa sutileza ou imaginação. Dois caminhos são possíveis: 1. O mais fácil é procurar a solução gerada por r = +1. Ela é A segunda solução será [(n + 1) 1]a n + na n 1 = 0, (n + n + 1 1)a n + na n 1 = 0, n(n + )a n + na n 1 = 0, a n = a n 1 n + ; y = x x 3 + x3 1 x x5 360 x O mais difícil é encontrar a segunda solução a partir da menor raiz. Suponha então que a 0 = 0; neste caso, (lembre-se: para r = 1), a 1 = 0 necessariamente. A relação de recorrência para o próximo n,, fica: n(n )a n + (n )a n 1 = 0, (0)a + (0)a 1 = 0, (0)a + (0)0 = 0. Portanto, se a 0 = a 1 = 0, a pode ser qualquer. Fazendo, sem perda de generalidade, a = 1, teremos então etc. Ou, para n : Mudando o índice para que ele comece de 0: a 3 = 1/3, a 4 = +1/1, a 5 = 1/60, a 6 = 1/360, a 7 = 1/50, ( 1) n a n = n(n 1)(n )... 3 = ( 1)n. n! y = m=0 ( 1) m+ x m+1 (m + )! = x x 3 + x3 1 x x5 360 x que é o mesmo resultado obtido para r = +1