Equação de autovalores para o spin. Ŝ z = m s ~ Ŝ 2 = s (s + 1) ~ 2. "i= Autoestados de S z. Ŝ z = ~ #i= Ŝ z "i = ~ 2 "i Ŝ z #i = ~ 2 #i

Transcrição

1 Equação de autovalores para o spin Ŝ z = m s ~ Ŝ = s (s + ) ~ Ŝ = Ŝ x + Ŝ y + Ŝ z Ŝ z = ~ 0 0 Autoestados de S z "i= #i= 0 0 Ŝ z "i = ~ "i Ŝ z #i = ~ #i

2 Equação de autovalores para o spin Ŝ z = ~ 0 0 Ŝ x = ~ 0 0 Ŝ y = ~ 0 i i 0 Autoestados de S x e S y? x + i y + i x i y i

3 Comutadores e operadores compatíveis [ S x,s y ]=i ~ S z [ S y,s z ]=i ~ S x [ S,S x ]=0 [ S,S y ]=0 [ S z,s x ]=i ~ S y [ S,S z ]=0 Não têm autoestados comuns! Não ser conhecidos ao mesmo tempo!

4 Aula 6 Autoestados, espaços, álgebra linear Autovalores e autoestados de S x Medidas SG sequenciais

5 Autoestados de S e S z "i= 0 #i= 0 Com estes estados vamos definir um espaço vetorial

6 Álgebra linear Aline Paliga UFPel

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9 Algebra linear UFRJ ~A. ~ B = h ~ A, ~ Bi = h(a x,a y ), (B x,b y )i = A x B x + A y B y ~A. ~ A = h ~ A, ~ Ai = h(a x,a y ), (A x,a y )i = A x A x + A y A y

10 ~ A = p A x A x + A y A y v = vetor unitário vetor normalizado Para normalizar: u = v v

11 Espaço de Hilbert David Hilbert (86-943) Espaço vetorial com produto interno cuja dimensão pode ser infinita Os elementos deste espaço são funções, mas são chamados vetores

12 Espaço vetorial de duas dimensões y ĵ ~V versores î = î i ĵ = ĵ i î x Normalizados : Ortogonais : î.î = h î î i = ĵ.ĵ = h ĵ ĵ i = î.ĵ = h î ĵ i =0 ĵ.î = h ĵ î i =0 Formam uma base! Vetor genérico: ~ V = Vx î + V y ĵ = V x î i + V y ĵ i

13 Autoestados de S e S z "i= 0 #i= 0 Autoestado adjunto = transposto do complexo conjugado ( "i ) T = "i = h" h" = ( 0) h# = (0 )

14 Produto escalar h" #i = ( 0) h# "i = (0 ) 0 0 =0 =0 ortogonais h" "i = ( 0) h# #i = (0 ) 0 0 = = e normalizados ortonormais!

15 "i= 0 #i= 0 Formam uma base! Vetor genérico: s i = a "i + b #i h s = a h" + b h# Normalizado: h s s i = [ a h" + b h# ]. [ a "i + b #i] = a a + b b = a + b =

16 y ĵ ~V z "i î x #i ~V = V x î i + V y ĵ i s i = a "i + b #i Interpretação geométrica Interpretação probabilística P ( "i)= a P ( #i)= b Probabilidade de observar o spin prá cima Probabilidade de observar o spin prá baixo

17 Exemplos s i = p "i + p #i a b a = b = 50 % prá cima 50 % prá baixo s i = i p 3 "i + #i a = % prá cima b = 4 5 % prá baixo

18 Ŝ x = ~ 0 0 Operadores de spin Ŝ y = ~ 0 i i 0 Ŝ z = ~ 0 0 Autoestados de S z "i= 0 #i= 0 Ŝ z "i = ~ "i Ŝ z #i = ~ #i Operador no autoestado errado Ŝ x "i =? Ŝ x "i = ~ = ~ 0 Não é equação de autovalores!!! = ~ #i

19 ~ Ŝ x x i = a x i Ŝ x = ~ 0 0 Autoestados de S x 0 0 = a ~ x i = = a ~ ~ = a ~ = a = 0 0 = a = = ± a = ~

20 = ~ 0 0 = a a = ~ = ~ 0 0 = a a = ~

21 Resumo x + i = Ŝ x x + i = Ŝx = ~ x i = Ŝ x x i = Ŝx = ~

22 h x + x + i = Constante é determinada pela normalização ( ) = = p h x x i = ( ) = = p x + i = p x i = p h x + x i =0 h x x + i =0 Ortogonais e normalizados : formam uma base

23 Medidas sequenciais de Stern-Gerlach z x

24 Medidas sequenciais de Stern-Gerlach

25 Medidas sequenciais de Stern-Gerlach

26 Medidas sequenciais de Stern-Gerlach

27 Medidas sequenciais de Stern-Gerlach

28 Medidas sequenciais de Stern-Gerlach? Sabendo que a partícula está no estado "i, qual é o resultado da medida na componente x?

29 Medidas sequenciais de Stern-Gerlach

30 Medidas sequenciais de Stern-Gerlach? "i Sabendo que a partícula esteve no estado, que depois esteve no estado x + i qual é o resultado de nova medida da componente z?

31 Medidas sequenciais de Stern-Gerlach

32 Medidas alteram o estado Quando um dos observáveis incompatíveis é completamente determinado a incerteza no outro é máxima!!! (Princípio da incerteza) W. Heisenberg (90-976)

33 Duas bases "i #i x i #i x + i x + i x i "i 0 "i = x + i + x i = p + p analogia geométrica 0) 0 =( 0) p +( 0) p = p + p

34 0 = p + p 0 ) 0 =(0 ) p +(0 ) p 0= p p 0= p p = p = = p + p "i = p x + i + p x i 50 % - 50 %

35 Comutadores e operadores compatíveis [ S x,s y ]=i ~ S z [ S y,s z ]=i ~ S x [ S,S x ]=0 [ S,S y ]=0 [ S z,s x ]=i ~ S y [ S,S z ]=0 Não têm autoestados comuns! Não ser conhecidos ao mesmo tempo!

36 Resumo Autoestados de spin formam espaços vetoriais Duas bases: "i #i x + i x i Operadores, autovalores e autoestados podem ser deduzidos! A partir dos comutadores [ S x,s y ]=i ~ S z [ S y,s z ]=i ~ S x [ S z,s x ]=i ~ S y [ S,S x ]=0 [ S,S y ]=0 [ S,S z ]=0 Medidas sequenciais: uma medida apaga a memória da outra. Princípio da incerteza!