O Método DMRG. M. H. L. de Medeiros. TQMC 2 o semestre de Instituto de Física da Universidade de São Paulo
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- Heloísa Almada Martinho
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1 O Método DMRG M. H. L. de Medeiros Instituto de Física da Universidade de São Paulo TQMC 2 o semestre de 2015 de Medeiros (IFUSP) O Método DMRG TQMC / 38
2 Sumário 1 Introdução 2 Ideia Básica 3 Exemplo de Medeiros (IFUSP) O Método DMRG TQMC / 38
3 Introdução Sumário 1 Introdução 2 Ideia Básica 3 Exemplo de Medeiros (IFUSP) O Método DMRG TQMC / 38
4 Introduc a o O que significa DMRG? DMRG e a sigla para Density Matrix Renormalization Group.Idealizado por Steve R. White [1] num trabalho que desde sua publicac a o, em 1992, ate o momento somam mais de 2500 (duas mil e quinhentas) citac o es. de Medeiros (IFUSP) O Me todo DMRG TQMC / 38
5 Introdução Visão Geral Trata-se de um método variacional, mas... de Medeiros (IFUSP) O Método DMRG TQMC / 38
6 Introdução Visão Geral Trata-se de um método variacional, mas se baseia fortemente no processo de diagonalização exata do Hamiltoniano e... de Medeiros (IFUSP) O Método DMRG TQMC / 38
7 Introdução Visão Geral Trata-se de um método variacional, mas se baseia fortemente no processo de diagonalização exata do Hamiltoniano e também nas ideias de grupo de renormalização numérico (NRG), trabalho devido a K. G. Wilson [2]. de Medeiros (IFUSP) O Método DMRG TQMC / 38
8 Sumário 1 Introdução 2 Ideia Básica 3 Exemplo de Medeiros (IFUSP) O Método DMRG TQMC / 38
9 Resumo da Estratégia Para se superar a limitação do tamanho do sistema a estratégia é usar uma base na qual o estado fundamental pode ser representado por alguns poucos estados da base. de Medeiros (IFUSP) O Método DMRG TQMC / 38
10 Resumo da Estratégia Para se superar a limitação do tamanho do sistema a estratégia é usar uma base na qual o estado fundamental pode ser representado por alguns poucos estados da base. Assim como o método de Lanczos truncado, o método DMRG visa exatamente esse objetivo, com a diferença que no método DMRG não é mantida uma base específica mas a cada passo a base é optimizada para o cálculo do estado fundamental. de Medeiros (IFUSP) O Método DMRG TQMC / 38
11 Grupo de Renormalização Numérico (NRG) As raízes do método DMRG se encontram no trabalho pioneiro sobre Grupo de Renormalização Numérico de K. G. Wilson [2]: de Medeiros (IFUSP) O Método DMRG TQMC / 38
12 Grupo de Renormalização Numérico (NRG) As raízes do método DMRG se encontram no trabalho pioneiro sobre Grupo de Renormalização Numérico de K. G. Wilson [2]: A ideia básica é começar com um sistema reduzido, que pode ser resolvido de maneira exata. de Medeiros (IFUSP) O Método DMRG TQMC / 38
13 Grupo de Renormalização Numérico (NRG) As raízes do método DMRG se encontram no trabalho pioneiro sobre Grupo de Renormalização Numérico de K. G. Wilson [2]: A ideia básica é começar com um sistema reduzido, que pode ser resolvido de maneira exata. O sistema então é aumentado, consequentemente o espaço de Hilbert é aumentado também. de Medeiros (IFUSP) O Método DMRG TQMC / 38
14 Grupo de Renormalização Numérico (NRG) O espaço de Hilbert, então, é truncado num tamanho limite, mantendo o tamanho do espaço de Hilbert inalterado. de Medeiros (IFUSP) O Método DMRG TQMC / 38
15 Grupo de Renormalização Numérico (NRG) O espaço de Hilbert, então, é truncado num tamanho limite, mantendo o tamanho do espaço de Hilbert inalterado. Esse processo segue até que o tamanho desejado do sistema seja atingido. de Medeiros (IFUSP) O Método DMRG TQMC / 38
16 Grupo de Renormalização Numérico (NRG) O espaço de Hilbert, então, é truncado num tamanho limite, mantendo o tamanho do espaço de Hilbert inalterado. Esse processo segue até que o tamanho desejado do sistema seja atingido. Para definir tal processo de renormalização precisamos responder duas questões: de Medeiros (IFUSP) O Método DMRG TQMC / 38
17 Grupo de Renormalização Numérico (NRG) O espaço de Hilbert, então, é truncado num tamanho limite, mantendo o tamanho do espaço de Hilbert inalterado. Esse processo segue até que o tamanho desejado do sistema seja atingido. Para definir tal processo de renormalização precisamos responder duas questões: 1 Como é feito o aumento do sistema? 2 Qual critério utilizar para diferenciar os estados que serão mantidos daqueles que serão descartados? de Medeiros (IFUSP) O Método DMRG TQMC / 38
18 Diagonalização Truncada A ideia é, portanto, diagonalizar o Hamiltoniano num espaço de Hilbert cuja dimensão deve se limitar a um valor máximo estipulado. Vamos ver como isso ocorre num exemplo prático: uma cadeia de spins descrita pelo Hamiltoniano de Heisenberg: Ĥ = J ij ( S i S j ) (1) de Medeiros (IFUSP) O Método DMRG TQMC / 38
19 O caso de dois Spins O espaço de Hilbert para o problema de dois spins consiste de quatro configurações de dois spins {,,, } (2) de Medeiros (IFUSP) O Método DMRG TQMC / 38
20 O caso de dois Spins O espaço de Hilbert para o problema de dois spins consiste de quatro configurações de dois spins O problema é descrito pelo Hamiltoniano {,,, } (2) Ĥ = Ŝ z 1 Ŝ z [Ŝ + 1 Ŝ 2 + Ŝ 1 Ŝ + 2 ] (3) de Medeiros (IFUSP) O Método DMRG TQMC / 38
21 Representação Matricial A matriz correspondente terá dimensão 4 4. Para construir tal matriz usaremos a seguinte álgebra: Seja o operador O 1 que atue no sítio (no caso, spin) à esquerda, teremos a forma matricial Õ 1 = O No caso em que O R atue no sítio à direita, teremos a forma matricial Õ 2 = 1 2 O 2 O produto de dois operadores que atuam em diferentes então será representado por Õ 12 = O 1 O 2 de Medeiros (IFUSP) O Método DMRG TQMC / 38
22 Representação Matricial Dessa forma a matriz Hamiltoniana será dada por H 12 = S z S z [S + S + S S + ]. (4) Lembrando que e S ± = 1 2 (σx ± iσ y ) = 1 2 S z = σz 2 = 1 ( [( ) ) ( 0 i ± i i 0 )]. de Medeiros (IFUSP) O Método DMRG TQMC / 38
23 Representação Matricial Dadas as definições dos operadores, temos que a forma final da matriz Hamiltoniana fica 1/ H 12 = 0 1/4 1/ /2 1/ /4 de Medeiros (IFUSP) O Método DMRG TQMC / 38
24 O estado fundamental: s = 1/ 2[ ], com energia E s = 3/4. Os outros três autoestados {,, 1/ 2[ + ]} formam um multipleto com energia E t = 1/4. de Medeiros (IFUSP) O Método DMRG TQMC / 38
25 Muitos Spins Imagine que agora acrescenta-se um terceiro spin à direita dos dois existentes. Pode-se obter a nova matrix Hamiltoniana de dimensão 8 8 como: H 3 = H S 2 z S z [ S 2 + S + S 2 S + ] Onde as matrizes com til são definidas por S 2 z = 1 2 S z S 2 ± = 1 2 S ± de Medeiros (IFUSP) O Método DMRG TQMC / 38
26 Muitos Spins É fácil extrapolar tal construção para obter um método interativo para a construção da matriz Hamiltoniana de dimensão 2 i 2 i, onde o i-ésimo passo temos a Hamiltoniana dada por H i = H i S z i 1 S z [ S + i 1 S + S i 1 S + ] Onde as matrizes com til, agora, são definidas por S z i 1 = 1 2 i 2 S z S ± i 1 = 1 2 i 2 S ± de Medeiros (IFUSP) O Método DMRG TQMC / 38
27 Muitos Spins O processo descrito pode ser visto como a adição gradativa de sítios (ou spins) a direita de um bloco de sítios. Nesse processo a Hamiltoniana do sistema aumentado é a soma da Hamiltoniana do bloco com o termo de interação entre o sítio mais à direita (pertencente ao bloco) com o novo sítio. H i = H i S z i 1 S z [ S + i 1 S + S i 1 S + ] de Medeiros (IFUSP) O Método DMRG TQMC / 38
28 Base Truncada Suponha que tenhamos diagonalizado a Hamiltoniana e encontrado o estado fundamental, dado por: ψ = s 1,s 2,...,s N a s1,s 2,...,s N s 1, s 2,..., s N (5) de Medeiros (IFUSP) O Método DMRG TQMC / 38
29 Base Truncada Suponha que tenhamos diagonalizado a Hamiltoniana e encontrado o estado fundamental, dado por: ψ = s 1,s 2,...,s N a s1,s 2,...,s N s 1, s 2,..., s N (5) de Medeiros (IFUSP) O Método DMRG TQMC / 38
30 Base truncada, analogia geométrica v = xê 1 + yê 2 (6) ( cos φ sin φ U = sin φ cos φ ( ) U sin φ = cos φ ) (7) (8) de Medeiros (IFUSP) O Método DMRG TQMC / 38
31 A Matriz Densidade Usaremos agora um novo esquema, que é o paradigma central do método DMRG. Nesse esquema precisamos de dois blocos, um à esquerda e outro à direita. Ambos os blocos serão aumentados como visto anteriormente: de Medeiros (IFUSP) O Método DMRG TQMC / 38
32 A Matriz Densidade Usaremos agora um novo esquema, que é o paradigma central do método DMRG. Nesse esquema precisamos de dois blocos, um à esquerda e outro à direita. Ambos os blocos serão aumentados como visto anteriormente: Adiciona-se um sítio à direita no bloco da esquerda; de Medeiros (IFUSP) O Método DMRG TQMC / 38
33 A Matriz Densidade Usaremos agora um novo esquema, que é o paradigma central do método DMRG. Nesse esquema precisamos de dois blocos, um à esquerda e outro à direita. Ambos os blocos serão aumentados como visto anteriormente: Adiciona-se um sítio à direita no bloco da esquerda; Adiciona-se um sítio à esquerda no bloco da direita. de Medeiros (IFUSP) O Método DMRG TQMC / 38
34 A Matriz Densidade O estado fundamental agora será escrito na forma Ψ = Ψ ij i j, (9) i,j onde a soma percorre todos os estados do bloco à direita i e todos os estados do bloco à esquerda j, com os devidos coeficientes Ψ ij. de Medeiros (IFUSP) O Método DMRG TQMC / 38
35 A Matriz Densidade Uma vez alcançado a dimensão m desejada para a base, devemos rotacionar o bloco à esquerda para uma nova base i α. onde Ψ = S = Ψ Ψ 2 (10) m Ψ αj α j. (11) α=1 j de Medeiros (IFUSP) O Método DMRG TQMC / 38
36 A Matriz Densidade Definimos a matriz densidade do subsistema A como ˆρ A = Tr B Ψ Ψ. Na forma matricial teremos, ρ Aii = i ˆρ A i = j ij Ψ Ψ i j = j Ψ ij Ψ i j. de Medeiros (IFUSP) O Método DMRG TQMC / 38
37 A Matriz Densidade Denotando por α os autoestados de ˆρ e por ω α os autovalores correspondentes temos que ω α = 1, α e que ω α é a probabilidade do sistema estar no estado α dado que o universo esta no estado fundamental Ψ. de Medeiros (IFUSP) O Método DMRG TQMC / 38
38 O critério para escolher os estados que serão descartados será, agora, o valor do peso estatístico ω α. O que se faz é ordenar os estados α em ordem decrescente dos autovalores e usa-se os m primeiros estados para formar a nova base com a qual descreveremos o novo bloco acrescido de 1 (um) sítio. Em símbolos: H i+1 = UH e U, onde U é a matriz de mudança de base, ou seja, cujas linhas são formadas pelos autoestados de ρ, isto é por α. de Medeiros (IFUSP) O Método DMRG TQMC / 38
39 Exemplo Sumário 1 Introdução 2 Ideia Básica 3 Exemplo de Medeiros (IFUSP) O Método DMRG TQMC / 38
40 Exemplo Exemplo da Cadeia de Spins Tomemos como exemplo o caso em que nosso bloco inicial é simplesmente um sítio ao qual é acrescido um sítio à direita. Lembremos que a matriz Hamiltoniana que descreve esse bloco aumentado é dada por: H e = 1/ /4 1/ /2 1/ /4. Precisamos também dos operadores S +, S e S z representados na base do bloco aumentado. Isso é obtido fazendo-se (S + r ) e = 1 b S + d (12) de Medeiros (IFUSP) O Método DMRG TQMC / 38
41 Exemplo Exemplo da Cadeia de Spins Sendo a base para cada um dos blocos aumentados dada por b1 e = b2 e = b3 e = b4 e = A base para o superbloco será b e 1 b e 2 b e 3 b e 4 b 1 e b 2 e b 3 e b 4 e. de Medeiros (IFUSP) O Método DMRG TQMC / 38
42 Exemplo =. de Medeiros (IFUSP) O Método DMRG TQMC / 38
43 Exemplo Exemplo da Cadeia de Spins Sabendo-se que o estado fundamental estará no subespaço em que S z = 0: b s(0) 1 b s 4 = b s(0) 2 b s 6 = b s(0) 3 b s 7 = b s(0) 4 b s 10 = b s(0) 5 b s 11 = b s(0) 6 b s 13 = de Medeiros (IFUSP) O Método DMRG TQMC / 38
44 Exemplo Exemplo da Cadeia de Spins Matriz Hamiltoniana do superbloco na base do subespaço S z = 0: H (0) s = (13) de Medeiros (IFUSP) O Método DMRG TQMC / 38
45 Exemplo Exemplo da Cadeia de Spins E 0 = 1 4 ( ) (14) 1 Ψ 0 = 2 3(2 + 3) Ψ 0 = i, j Ψ ij bi e b j e (15) (16) de Medeiros (IFUSP) O Método DMRG TQMC / 38
46 Exemplo Exemplo da Cadeia de Spins ρ = 1 12(2 + 3) ( ) 0 0 2( ) (17) Os autovalores dessa matriz são: E t = 1 12(2 + 3) 0.02 (18) E s = ( (19) 3) de Medeiros (IFUSP) O Método DMRG TQMC / 38
47 Exemplo Exemplo da Cadeia de Spins A matriz de mudança de base, truncada com m = 2 e ordenada: U = ( 0 1/ 2 1/ A matriz Hamiltoniana na base truncada fica H B(2,2) = UH e U = 1 ( ). (20) ). (21) O mesmo deve ser feito com os operadores necessários para os cálculos posteriores. de Medeiros (IFUSP) O Método DMRG TQMC / 38
48 Exemplo DMRG de Tamanho Infinito de Medeiros (IFUSP) O Método DMRG TQMC / 38
49 Exemplo DMRG de Tamanho Finito de Medeiros (IFUSP) O Método DMRG TQMC / 38
50 Exemplo Referências S. R. White, Phys. Rev. Lett. 69, 2863 (1992). K. G. Wilson, Rev. Mod. Phys. 47, 773 (1975). A. L. Malvezzi, Braz. J. Phys. vol. 33, n.1 (2003) A. E. Feiguin, in Strongly Correlated Systems - Springer Series in Solid-State Sciences (Edited by A. Avella and F. Mancini), 176 (2013). de Medeiros (IFUSP) O Método DMRG TQMC / 38
Equação de autovalores para o spin. Ŝ z = m s ~ Ŝ 2 = s (s + 1) ~ 2. "i= Autoestados de S z. Ŝ z = ~ #i= Ŝ z "i = ~ 2 "i Ŝ z #i = ~ 2 #i
Equação de autovalores para o spin Ŝ z = m s ~ Ŝ = s (s + ) ~ Ŝ = Ŝ x + Ŝ y + Ŝ z Ŝ z = ~ 0 0 Autoestados de S z "i= #i= 0 0 Ŝ z "i = ~ "i Ŝ z #i = ~ #i Equação de autovalores para o spin Ŝ z = ~ 0 0 Ŝ
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