Notas de Aula da Disciplina

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1 Notas de Aula da Disciplina Mecânica Quântica Alexandre Souto Martinez Universidade de São Paulo - USP Faculdade de Filosofia, Ciências e Letras de Ribeirão Preto - FFCLRP Departamento de Física - DF tel: 0xy asmartinez@ffclrpuspbr March 16, 2017

2 Chapter 1 As Ferramentas Matemáticas da Mecânica Quântica Este capítulo é destinado a apresentar algumas ferramentas matemáticas utilizadas em mecânica quântica 11 Espaços Vetoriais Lineares Um espaço vetorial linear V é um conjunto de elementos, { V i }, os quais podem ser adicionados e multiplicado por escalares {a i } de modo que: 1 a operação leva somente a elementos de V (fechado); (a) V i + V j = V j + V i (comutatividade); (b) V i + ( V j + V k ) = ( V i + V j ) + V k (associabilidade); (c) existe um vetor nulo, 0, em V tal que: 0 + V i = V i + 0 = V i e (d) para cada V i existe um inverso V i em V tal que V i + V i = 0 ; 2 a adição e a multiplicação por escalares obedecem as seguintes regras: (a) a( V i + V j ) = a V i + a V j ; (b) (a 1 + a 2 ) V i = a 1 V i + a 2 V i e (c) a 1 (a 2 V i ) = (a 1 a 2 ) V i O domínio de escalares permitidos é chamado de campo F sobre o qual V é definido Em mecânica quântica V é o conjunto de funções de quadrado somável L 2 (espaço de Hilbert) e F é o conjunto de todos os números complexos Um conjunto de vetores { V 1, V 2, } é linearmente independente (LI) se não existir uma relação linear na forma i a i V i = 0, com exceção de todos a i = 0 Um espaço vetorial é de dimensão d se ele admite no máximo d vetores LI Dado um conjunto de d vetores LI em V, qualquer outro vetor em V pode ser escrito como sendo uma combinação linear destes vetores dados Podese sempre escolher um conjunto de vetores LI para todo espaço vetorial numerável ou não-numerável Qualquer conjunto de d vetores LI é chamado de base na qual V é expandido Os coeficientes dessa expansão são chamados de componentes de um vetor na dada base Considere um vetor V escrito na base { x i } onde: V = c i x i, (11) i onde c i são as componentes de V na base { x i } Se todos os vetores de V forem expandidos em uma dada base então: 1 para adicional vetores, adicione as componentes ; 2 para multiplicar um vetor por a, multiplique cada componente por a O produto interno é uma função escalar de dois vetores que satisfaz as seguintes regras: 1 V i V i 0 ; 2 V i V j = V j V i ; 1

3 3 V i a j V j + a k V k = a j V i V j + a k V i V k Das regras 2 e 3 têm-se : a i V i + a j V j V k = a i V i V k + a j V j V k A norma de um vetor V i é definida por: V i = V i V i (12) Um vetor unitário tem norma 1 Dois vetores V i e V j são ortogonais se seu produto interno se anula ( V i V j = 0) Um conjunto de vetores { x i } é chamado de ortonormal se x i x j = δ i,j (13) As componentes c i de V na base { x i } é justamente o produto interno de V com x i, c i = x i V (14) A norma de um vetor pode expressa em termos das componentes: V = V V = i Usando V V i V i V = i c i 2 (15) V i V i = 1, (16) i=1 o produto interno obedece a desigualdade de Schwarz: V i V i 2 V i 2 V j 2, (17) e a norma obedece a desigualdade triangular: V i + V j V i + V j (18) 111 Bases que não pertencem a V Algumas vezes é conveniente introduzir bases que não pertencem a V, mas que qualquer vetor em V possa ser expandindo em termos dos vetores desta base Ondas Planas O conjunto de todas as ondas planas de p x = k x f kx (x) = 1 e ıkxx, (19) não pertence a L 2 x, mas pode ser considerada uma base pelo índice contínuo k x Esta base é ortonormal pois: ou com f kx f k x = Escreve-se: = 1 ψ(x) = 1 dxf k x (x)f k x (x) dxe ı(k x kx) (x) = δ(k x k x ) (110) ψ(k x ) = 1 1 dk x e ıkxx ψ(kx ), (111) dx e ıkxx ψ(x), (112) dk x e ıkx(x x0) = δ(x x 0 ), (113) onde ψ(x) é um elemento de L 2 x Aqui k x é um índice contínuo que caracteriza cada função no conjunto Toda função em L 2 x pode ser expandida de modo único em termo de f kx (x) Os coeficientes da expansão são as funções ψ(k x ) Observe que: ψ ψ = Fonte Pontual Considere: dk x ψ(k x ) 2 (114) dx δ(x x 0 )f(x) = f(x 0 ), (115) então δ x0 = δ(x x 0 ) pode ser considerada uma base ortonormal que não pertence a L 2 x, indexada por x 0 sobre a qual qualquer função de L 2 x pode ser expandida de modo único: ψ(x) = onde o coeficiente da expansão é: e ψ(x ) = ψ ψ = dx δ(x x )ψ(x ), (116) dx δ(x x)ψ(x), (117) dx ψ(x ) 2 (118) 2

4 112 Notação de Dirac Um vetor é completamente especificado pelas suas componentes em uma dada base O mesmo vetor pode ser representado por conjuntos distintos de componentes em diferentes escolhas de bases A notação de Dirac é uma representação de um vetor sem a escolha explicita da base Qualquer elemento de V é chamado de vetor ket ou simplesmente de ket, e é representado por, onde dentro do símbolo existe um sinal que distingue um dado ket de todos os outros 113 O Espaço Dual O funcional liner χ é uma operação linear, χ(λ 1 ψ 1 + λ 2 ψ 2 >) = λ 1 χ ψ 1 + λ 2 χ ψ 2, (119) a qual associa a cada vetor de V um escalar no domínio F Se ψ V implica na existência de um escalar (número complexo) χ F O conjunto de todos os funcionais lineares definidos em V forma um espaço vetorial, o qual é chamado de espaço dual de V e representado por V O produto interno ψ ψ do vetor ψ, com outros vetores ψ em V é um funcional linear, pois associa a cada vetor ψ ao escalar ψ ψ Esta operação é um elemento do espaço dual calv, que é representado pelo símbolo ψ e chamado de vetor bra, ou simplesmente de bra A cada ket ψ em V corresponde um bra ψ em V Esta correspondência é anti-linear Considere ψ = λ 1 ψ 1 + λ 2 ψ 2 em V O produto interno deste ket ψ com qualquer outro ket em V resulta em: ψ ψ = ψ ψ = λ 1 ψ ψ 1 + λ 2 ψ ψ 2 = λ 1 ψ 1 ψ + λ 2 ψ 2 ψ (120) O bra correspondente a ψ é: ψ = λ 1 ψ 1 + λ 2 ψ 2 O bra correspondente a λ ψ = λψ é: λψ = λ ψ Bras e Kets são adjuntos Para encontrar o adjunto, tome o complexo conjugado de todos os escalares e substitua todo ket (bra) pelo seu bra (ket) correspondente 114 Subespaços Vetoriais Dado um espaço vetorial V, um subconjunto de seus elementos que formam um espaço vetorial entre eles e chamado de subespaço de V 12 Operadores Lineares Um operador linear Ω é uma instrução para transformar qualquer vetor ψ em V em um outro vetor ψ em V e obdecendo as seguintes regras com λ 1 e λ 2 pertencentes a F: Ωλ 1 ψ = λ 1 Ω ψ (121) Ω(λ 1 ψ 1 + λ 2 ψ 2 ) = λ 1 Ω ψ 1 + λ 2 Ω ψ(122) 2 ψ λ 1 Ω = ψ Ωλ 1 (123) ( ψ 1 λ 1 + ψ 2 λ 2 )Ω = λ 1 ψ 1 Ω + λ 2 ψ 2 Ω (124) Se a ação de um operador linear em uma base for conhecida, então a ação deste operador em qualquer vetor do espaço vetorial está determinada Seja { i } uma base e Ω i = i Se ψ = i c i i então: Ωψ = i c iω i = i c i i Operador Identidade O operador linear mais simples é o operador identidade I = 1: 1 ψ = ψ (125) ψ 1 = ψ (126) 122 Operador Paridade O operador paridade inverte o sinal do ket: p ψ = ψ (127) ψ p = ψ (128) 123 Operador Multiplicação O operador multiplicação se transforma na multiplicação do ket: x ψ = x ψ (129) ψ x = x ψ (130) 1 Isto não é verdade se o operador não for um operador linear 3

5 124 Operador Derivada O operador derivada deriva o ket em relação à variável indicada: x ψ = x ψ (131) ψ x = ψ x (132) 125 Operador Comutador O produto de dois operadores Ω 1 e Ω 2 é escrito como Ω 1 Ω 2 e definido como: Ω 1 Ω 2 ψ = Ω 1 (Ω 2 ψ ) A ordem dos operadores é importante O comutador é definido como: [Ω 1, Ω 2 ] = Ω 1 Ω 2 Ω 2 Ω 1 (133) As duas relações são úteis: [Ω 1, Ω 2 Ω 3 ] = Ω 2 [Ω 1, Ω 3 ] + [Ω 1, Ω 2 ] Ω 3 (134) [Ω 1 Ω 2, Ω 3 ] = Ω 1 [Ω 2, Ω 3 ] + [Ω 1, Ω 3 ] Ω 2 (135) 126 Operador Inverso O inverso de um operador Ω é representado por Ω 1 e satisfaz: ΩΩ 1 = Ω 1 Ω = I (136) Nem todos os operadores tem um operador inverso, como por exemplo o operador de projeção tratado na subsecção Operador Linear Adjunto Seja Ω um operador linear Para cada ket Ω ψ = Ωψ existe um bra Ωψ = ψ Ω, onde Ω é o operador adjunto de Ω, onde: ψ Ω ψ = Ωψ ψ = ψ Ωψ = ψ Ω ψ (137) Considere as seguintes regras: (Ω ) = Ω (138) (λω) = λ Ω (139) (Ω 1 + Ω 2 ) = Ω 1 + Ω 2 (140) (Ω 1 Ω 2 ) = Ω 2 Ω 1 (141) ( ψ ψ ) = ψ ψ (142) Para cada expressão existe a expressão adjunta Para obter a expressão adjunta de uma expressão envolvendo escalares, bras, kets e operadores considere os seguintes passos: 1 substitua os escalares por seus complexos conjugados (λ λ ); 2 substitua os kets (bras) pelos seus bras (kets) ( ψ ψ, ψ ψ ); 3 substitua os operadores pelos seus adjuntos (Ω Ω ), e 4 inverta a ordem dos fatores 128 Operadores Hermiteanos Um operador Ω é hermiteano se: Um operador hermiteano satisfaz: Ω = Ω (143) ψ Ω ψ = ψ Ω ψ (144) Um operador é chamado de anti-hermiteano se: Ω = Ω (145) 129 Operadores Unitários Um operador Ω é unitário se: Ω = Ω 1 (146) de modo que: ΩΩ = Ω Ω = I Um operador unitário satisfaz: Ωψ Ωψ = ψ Ω Ω ψ = ψ ψ (147) 1210 Funções de Operadores A função F de um operador Ω é definida por: F (Ω) = f i Ω i (148) i=0 Um exemplo é a função exponencial: e Ω = i=0 Ω i i! = I + Ω + Ω2 2 + Ω3 3! + (149) 4

6 Se um operador Ω é hermiteano, então e ıω é um operador unitário ψ = i c i i 1211 Projetores O operador de projeção é um operador que não tem inverso Considere ψ com ψ ψ = 1 (norma unitária) O operador projeção é definido por: então P ψ = ψ ψ, (150) P ψ ψ = ψ ψ ψ = λ ψ, (151) }{{} λ onde λ é um escalar λ F Todos os operadores de projeção tem a seguinte propriedade: P 2 ψ = P ψ (152) Se { i } q é um conjunto de vetores ortonormais em V, i j = δ i,j que geram o subespaço V q Seja P q = i i i Se ψ V então: P q ψ V q 13 Representação no Espaço de Estados Escolher uma representação de ψ significa escolher uma base ortonormal no espaço de estado E Considere um conjunto discreto { i } e um conjunto contínuo {α} para E i j = δ i,j (153) α α = δ(α α ) (154) = i i ψ i = i i ψ i = I ψ = ψ, o que leva a expressão de completeza: i i = I (157) i O projetor i i i leva ao espaço gerado por { i }, se { i } for uma base ortonormal então i i i = I Analogamente para a base contínua: dα α α = I (158) Na base { i }, ψ é completamente especificado por c i = i ψ O bra correspondente ψ é completamente especificado pela componentes c i = ψ i na base { i } Por convenção, um ket é representado por uma matriz coluna em uma determinada base (discreta); 1 ψ c 1 2 ψ ψ = = c 2 (159) Um bra é então representado por uma matrix linha: ψ = [ 1 ψ 2 ψ ] = [ c 1 c 2 ] (160) Se Ω é um operador linear de modo que ψ = Ω ψ, então: Qualquer ket ψ pode ser escrito como: ψ = i b i i (161) ψ = i c i i (155) b i = j Ω i,j c j (162) c i = i ψ (156) Ω i,j = i Ω j (163) então: Pode-se escrever ψ = Ω ψ na forma matricial 5

7 b 1 b 2 = Ω 1,1 Ω 1,2 Ω 2,1 Ω 2,2 c 1 c 2 As matrizes colunas representam ψ e ψ e a matriz quadrada é uma representação do operador linear Ω na base { i } Os escalares Ω i,j = i Ω j são os elementos da matriz do operador Ω Os elementos de Ω são Ω i,j = i Ω j = j Ω i = Ω j,i Se o operador Ω for hemiteano, então: Ω i,j = Ω j,i Em particular os elementos da diagonal são reais Ω i,i = Ω i,i 131 Bases que não pertencem a V Algumas vezes é conveniente introduzir bases que não pertencem a V, mas que qualquer vetor em V possa ser expandindo em termos dos vetores desta base Ondas Planas O conjunto de todas as ondas planas de p x = k x f kx (x) = 1 e ıkxx, (164) não pertence a L 2 x, mas pode ser considerada uma base pelo índice contínuo k x Esta base é ortonormal pois: f kx f k x = = 1 dxf k x (x)f k x (x) dxe ı(k x kx) (x) = δ(k x k x ) (165) onde ψ(x) é um elemento de L 2 x Aqui k x é um índice contínuo que caracteriza cada função no conjunto Toda função em L 2 x pode ser expandida de modo único em termo de f kx (x) Os coeficientes da expansão são as funções ψ(k x ) Observe que: ψ ψ = Fonte Pontual Considere: dk x ψ(k x ) 2 (169) dx δ(x x 0 )f(x) = f(x 0 ), (170) então δ x0 = δ(x x 0 ) pode ser considerada uma base ortonormal que não pertence a L 2 x, indexada por x 0 sobre a qual qualquer função de L 2 x pode ser expandida de modo único: ψ(x) = onde o coeficiente da expansão é: e ψ(x ) = ψ ψ = 14 Resumo dx δ(x x )ψ(x ), (171) dx δ(x x)ψ(x), (172) dx ψ(x ) 2 (173) ou com Escreve-se: ψ(x) = 1 ψ(k x ) = 1 1 dk x e ıkxx ψ(kx ), (166) dx e ıkxx ψ(x), (167) dk x e ıkx(x x0) = δ(x x 0 ), (168) 6

8 Base Base Discreta Contínua Ortonormalização (u i, u j ) = δ i,j (w α, w α ) = δ(α α ) Completeza i = u i( r)u j ( r ) = δ( r r ) dαwα ( r)w α ( r ) = δ( r r ) Função de Onda ϕ( r) = i c iu i ( r) ϕ( r) = dαc(α)w α ( r) Componentes c i = (u i, ϕ) c(α) = (w α, ϕ) Produto Escalar (ϕ m, ϕ n ) = i b i c i (ϕ m, ϕ n ) = dαb αc α Quadrado da Norma (ϕ, ϕ) = i c i 2 (ϕ, ϕ) = dα c(α) 2 Table 11: 7