Álgebra Linear. Shin Takahashi, Iroha Inoue e Trend-Pro Co., Ltd. novatec

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1 Guia Mangá Álgebra Linear Apêndices suplementares Shin Takahashi, Iroha Inoue e Trend-Pro Co., Ltd. novatec Copyright by Shin Takahashi e TREND-PRO Co., Ltd. ISBN-: Copyright Novatec Editora

2 sumário A Livro de exercícios... Conjuntos de problemas.... Soluções... B Espaços vetoriais... C Produto escalar Norma.... Produto escalar...7 O ângulo entre dois vetores....8 Produtos internos...9 Espaços de produto interno real....9 Bases ortonormais.... D Produto cruzado.... O que é produto cruzado?... Produto cruzado e paralelogramos Produto cruzado e produto escalar... E Propriedades úteis de determinantes...7 ii Sumário

3 A Livro de exercícios

4 ? Conjuntos de problemas Conjunto de problemas Vamos começar com a matriz x. Utilize-a nos seis problemas a seguir:. Calcule o determinante. a a. Utilize a fórmula a a a a a a a a a a inverso.. Encontre o inverso utilizando a eliminação de Gauss.. Encontre todos os autovalores e autovetores. x. Expresse a matriz na forma x λ x x x x x λ x. para calcular o. Resolva o sistema linear de equações x x x x Cramer. utilizando a regra de Conjunto de problemas A seguir, temos a matriz x. Prove que os vetores de coluna de matrizes independentes (ou seja, que o posto da matriz é igual a três).. Calcule o determinante.. Utilize-a nos dois problemas a seguir:, e são linearmente Apêndice a

5 Conjunto de problemas Determine se os conjuntos a seguir são subespaços de R :.. α β α 7β α β α 7 α e β são números reais quaisquer α e β são números reais quaisquer Note Dê uma olhada nos apêndices C e D antes de tentar o conjunto de problemas. Conjunto de problemas Vamos lidar com os vetores e para o próximo conjunto de problemas.. Calcule a distância até a origem para ambos os vetores.. Calcule o produto escalar dos dois vetores.. Calcule o ângulo entre os dois vetores.. Calcule o produto cruzado dos dois vetores. Livro de exercícios

6 ! Soluções Conjunto de problemas. det ( ) ( ) 8 +. ( ) ( ). Aqui está a solução: Multiplique a linha por e subtraia a linha da linha. Multiplique a linha por e a linha por. Subtraia a linha da linha. 8 Divida a linha por e a linha por -.. Os autovalores são raízes da equação característica λ det λ Apêndice a

7 e são os seguintes: det λ λ ( λ) ( λ) ( ) (λ )(λ + ) + λ λ (λ )(λ + ) λ, a. Autovetores correspondentes a λ Inserindo nosso valor em x x λ x x, ou seja λ λ x x, temos x x x x x x [x x x x ]. Vemos que x x, o que nos leva ao autovetor x c c x c onde c é um número real não zero. b. Autovetores correspondentes a λ Inserindo - na matriz, temos isto: ( ) ( ) x x x x x x [x x x x ] Vemos que x x, o que nos leva ao autovetor x c c x c onde c é um número real não zero. Livro de exercícios

8 . A partir do problema :. O sistema linear de equações x x pode ser reescrito desta forma: x x x x Utilizando os métodos do problema, somos facilmente capazes de inferir as raízes utilizando a regra de Cramer. det ( ) ( ) ( ) x det det ( ) 9 x det Apêndice a

9 Conjunto de problemas. Parece que o posto da matriz é, mediante inspeção. Mas vamos utilizar a tabela a seguir apenas para ter certeza. Some (- vezes a linha ) à linha e (- vezes a linha ) à linha. 7 Some (- vezes a linha ) à linha. 7 7 Some ( vezes a linha ) à linha e ( vezes a linha ) à linha. 7 7 Some ( vezes a linha ) à linha Livro de exercícios 7

10 As duas matrizes e 7 têm o mesmo posto, como vimos nas páginas 9 a. Uma vez que vimos que o número de vetores linearmente independentes entre, 7 e é obviamente, o posto matricial de tanto e 7 também deve ser. Note que a solução é evidente no passo três da tabela, já que matrizes triangulares n n com entradas de diagonal principal não zero têm posto matricial n. Isso também é verdadeiro para matrizes não quadradas.. det ( ) + + ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Apêndice a

11 Conjunto de problemas Vamos supor que c seja um número real qualquer.. O conjunto é um subespaço já que ambas as condições são atendidas. c α β α 7β cα cβ (cα ) 7(cβ ) α β α 7β α e β são números reais quaisquer α β α 7β α α + α + β β + β α 7β (α + α ) 7(β + β ) α β α 7β α e β são números reais quaisquer. O conjunto não é um subespaço já que nenhuma das condições é atendida. α β α 7 α α β β (α ) (α ) 7 α β α 7 α e β são números reais quaisquer α α β α 7 + β α 7 α + α α + α β + β β + β (α + α ) (α + α ) 7 α β α 7 α e β são números reais quaisquer. Ambas as condições da página têm de ser atendidas para que o subconjunto seja um subespaço. Isso significa que será desnecessário verificar a segunda condição se descobrirmos que a primeira não é válida. Livro de exercícios 9

12 Conjunto de problemas ( ) ( ) +. O ângulo entre e pode ser calculado utilizando-se a fórmula do produto escalar desta forma: cos θ Então, o ângulo é cos 9 graus.. ( ) ( ) 7 ( ) Apêndice a

13 B Espaços vetoriais

14 Na página (Capítulo ) foi mencionado que, em geral, a álgebra linear trata da tradução de algo que reside em um espaço m-dimensional para uma forma correspondente em um espaço n-dimensional. Isso é certamente verdade, ainda que compreender uma interpretação mais geral de álgebra linear possa dar-lhe uma vantagem se você decidir estudar mais o assunto. Nessa interpretação, a maioria dos cálculos e teoremas interessantes está relacionada a algo chamado espaços vetoriais, os quais são descritos na página. Note que há uma diferença entre esses vetores e aqueles apresentados no capítulo os que estamos discutindo aqui representam um conceito muito mais abstrato. A ideia básica é esta: da mesma forma que você joga futebol em campos de futebol e golfe em campos de golfe, você calcula álgebra linear em espaços vetoriais. Mas antes de entrarmos na definição técnica de um espaço vetorial, vamos dar uma olhada em dois exemplos simples e concretos. Exemplo O primeiro exemplo talvez já lhe seja familiar: digamos que X é o conjunto de todos os triplos ordenados de números reais. Então, dois dos muitos elementos de X são (,,,, -,) e (,, -,7, 8,). Esse conjunto infinito de triplos ordenados forma um espaço vetorial (como descrito pelos axiomas listados na página ). X é um espaço vetorial e (,,,, -,) é um vetor. Exemplo Como um segundo exemplo, considere estes dois polinomiais com coeficientes reais: 7t t e t Esses polinomiais podem ser considerados vetores se visualizarmos todo o conjunto de polinomiais até o quarto grau como um espaço vetorial. Apêndice b

15 Os oito axiomas dos espaços vetoriais Suponha que x, y e z sejam elementos do conjunto X e que c e d sejam dois números quaisquer. Se X satisfaz aos dois conjuntos de axiomas a seguir, dizemos que X é um espaço vetorial e x, y e z são vetores. Axiomas de adição O conjunto tem de ser fechado sob adição de vetores. Isso significa que a soma de dois elementos do conjunto também pertence a ele. A adição de vetores também deve satisfazer às quatro condições a seguir:. (x + y) + z x + (y + z) (associatividade). x + y y + x (comutatividade). Um vetor inverso () existe com as seguintes propriedades: x + + x x. Um vetor inverso ( x) existe com as seguintes propriedades: x + ( x) ( x) + x Axiomas da multiplicação escalar O conjunto tem de ser fechado sob multiplicação escalar. Isso significa que o produto de um elemento do conjunto e de um número qualquer também pertence ao conjunto. A multiplicação escalar também deve satisfazer às quatro condições a seguir:. c(x + y) cx + cy. (cd)x c(dx) 7. (c + d)x cx + dx 8. x x Neste livro, sempre presumimos que a multiplicação escalar é feita com números reais. Tais espaços vetoriais são geralmente chamados de espaços vetoriais reais. Espaços vetoriais que também permitem multiplicação com números complexos seriam, semelhantemente, chamados de espaços vetoriais complexos. Espaços vetoriais

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17 C Produto escalar

18 Norma Vamos supor que temos um vetor qualquer em R n x x x n. A norma ou comprimento do vetor é, então, igual a x + x x n e é escrita x x x n. Exemplo + ( ) + Exemplo + ( ) + ( + ) Apêndice c

19 Produto escalar Vamos supor que temos dois vetores quaisquer x x x n e y y y n em R n. O produto escalar do vetor é definido desta forma: x y + x y x n y n Isso é geralmente representado com um ponto ( ) desta forma: x x x x x n x n Exemplo + ( ) + ( + ) Produto escalar 7

20 O ângulo entre dois vetores O ângulo entre dois vetores x x x n e y y y n em R n. O ângulo θ entre esses dois vetores pode ser encontrado utilizando-se a relação a seguir: x x y y x x y y cos θ x n y n x n y n Exemplo pode ser encontrado utili- O ângulo θ entre os dois vetores zando-se esta fórmula: e + + cos θ + Assim, θ graus. + θ O 8 Apêndice c

21 Produtos internos O produto escalar é, na realidade, um caso especial de um conceito mais geral que tem algumas aplicações muito interessantes. O conceito geral é uma função, chamada de produto interno, que mapeia dois vetores a um número real e que também satisfaz algumas propriedades especiais. Há também espaços de produto interno, que são espaços vetoriais que têm um produto interno associado, como descrito a seguir. Espaços de produto interno real Dizemos que o espaço vetorial real X é um espaço de produto interno real, ou espaço euclidiano, se existe um produto interno real <x, y> que mapeia um par de vetores para um escalar e que satisfaz às condições a seguir para todos os vetores x, y, z e todos os escalares c: <x, y > <y, x > <cx, y > c<x, y > <x, cy > <x, y + z > <x, y > + <x, z > e < x + y, z > <x, z > + <y, z > <x, x > e <x, x > apenas quando x (o vetor zero). O produto escalar é o exemplo mais costumeiro de um produto interno. Nesse exemplo, nós definimos <x, y> x y + x y x n y n. O tópico está fora do escopo deste livro, mas produtos internos também aparecem em espaços de produto complexo. Produto escalar 9

22 Bases ortonormais Conjuntos de vetores como,, e,, onde a norma de cada vetor é igual a o produto escalar de cada par de vetores é igual a são chamados de bases ortonormais ou bases ON. O processo de ortogonalização de Gram-Schmidt pode ser utilizado para criar uma base ortonormal a partir de uma base qualquer, mas ele está fora do escopo deste livro. Apêndice c

23 D Produto cruzado

24 O que é produto cruzado? a P Vamos supor que temos dois vetores quaisquer b e Q em R. c R O produto cruzado do vetor é definido como br Qc cp Ra aq Pb e é geralmente representado com uma cruz desta forma: a b c P Q R Nota O produto cruzado é definido apenas em R. Em contraste, o produto escalar é definido em R n para todos os n positivos. Aqui temos um bom recurso mnemônico para lembrarmos as combinações no cálculo do produto cruzado de dois vetores: a b c a b c P Q R P Q R Comece escrevendo duas vezes os elementos de cada vetor, como você pode ver no quadro. Ignorando a primeira e a última linha, desenhe uma flecha de cada elemento até aquele abaixo dele no vetor oposto. Flechas que vão da esquerda para a direita recebem um sinal de mais; flechas que vão da direita para a esquerda recebem um sinal de menos. O par superior de flechas produz o primeiro componente do produto cruzado, o par do meio produz o segundo componente e o par da base produz o último componente. Apêndice d

25 Produto cruzado e paralelogramos Produto cruzado e paralelogramos: P Q R a b c P a u Ele é perpendicular a ambos os vetores Q e b. R c P a v Seu comprimento é igual à área do paralelogramo de lados Q e b. R c Ambas as propriedades estão ilustradas na figura a seguir. P Q R a b c a b c O P Q R Nota Essa figura está utilizando um sistema coordenado de mão direita. Isso significa que seu polegar apontará na direção do produto cruzado se você fizer o seguinte: estenda seu polegar de modo que ele fique perpendicular ao seu antebraço, então utilize o restante de seus dedos para formar a letra C. Partindo da base de seus dedos como o vetor no lado esquerdo do produto cruzado, oriente sua mão para que as pontas de seus dedos estejam apontando na direção do vetor do lado direito do produto cruzado. Seu polegar estará, então, apontando na direção do resultado do produto cruzado! Note que se você trocar a posição dos vetores, o produto cruzado inverterá de direção. Produto cruzado

26 Vamos nos certificar de que tanto quanto são válidas. a b c a P a b Í Q b c R c br Qc cp Ra aq Pb a(br Qc) + b(cp Ra) + c(aq Pb) abr aqc + bcp bra + caq cpb P Q R a P P b Í Q Q c R R br Qc cp Ra aq Pb P(bR Qc) + Q(cP Ra) + R(aQ Pb) PbR PQc + QcP QRa + RaQ RPb a b c Í P Q R br Qc cp Ra aq Pb θ é o ângulo entre P Q R e a b c (br Qc) + (cp Ra) + (aq Pb) (a + b + c )(P + Q + R ) (ap + bq + cr) a P (a + b + c )(P + Q + R ) b Q c R (a + b + c )(P + Q + R ) (a + b + c )(P + Q + R ) cos θ (a + b + c )(P + Q + R )( cos θ) (a + b + c )(P + Q + R ) sin θ a b c P Q R sin θ Apêndice d

27 Produto cruzado e produto escalar A tabela a seguir contém uma comparação entre produtos cruzados e escalares. Produto cruzado Produto escalar Í + + Í + + c c c c c Í c c c c + c + c c c c c c c Í c ( + + ) c Í Í ( + 9) ( + 8) ( + 7) ( + 9) ( + 8) ( + 7) ( + 7) + ( + 8) + ( + 9) ( + + ) + ( ) Í + Í Produto cruzado

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29 E Propriedades úteis de determinantes

30 Determinantes têm várias propriedades interessantes. Veremos sete delas neste apêndice. Propriedade Para qualquer matriz quadrada A, det A det A T. det a a n det a a n T a n a nn a n a nn Exemplo det O T det det O 8 Apêndice

31 Propriedade Se duas colunas ou duas linhas de A são trocadas, resultando na matriz B, então det B det A. a a i a j a n a a j a i a n det ( )det a n a ni a nj a nn a n a nj a ni a nn Exemplo det O ( )det ( ) ( ) O Propriedades úteis de determinantes 9

32 Propriedade Se A tem duas colunas ou linhas idênticas, então A. a b b a n det a n b n b n a nn coluna i coluna j Exemplo det O A área é igual a zero. Apêndice

33 Propriedade Se uma coluna de A é multiplicada pela constante c, resultando na matriz B, então det B c det A, ou, de modo equivalente, det A ¹ c det B. a a i c a n a a i a n det a n a ni c a nn c det a n a ni a nn Exemplo det O det det det O Propriedades úteis de determinantes

34 Propriedade Sejam A e B matrizes quadradas idênticas, exceto pelas colunas (ou linhas) i, que diferem. Seja C uma matriz idêntica a A e B, exceto pela coluna (ou linha) i de C, que é a soma das colunas (ou linhas) i de A e B. Então, det C det A + det B. a a i a n a b i a n a a i + b i a n det + det det a n a ni a nn a n b ni a nn a n a ni + b ni a nn Exemplo det O det + det det + det O O Apêndice

35 Propriedade Seja B a matriz formada pela substituição da coluna (ou linha) j de A pela soma da coluna (ou linha) j de A e de um múltiplo não zero, c, da coluna (ou linha) j de A, onde i j. Então det B det A. a a i a j a n a a i a j + (a i c) a n det a n a ni a nj a nn det a n a ni a nj + (a ni c) a nn Exemplo det O det + ( ) + ( ) det O Propriedades úteis de determinantes

36 Propriedade 7 Sejam A e B duas matrizes quadradas quaisquer. Então (det A)(det B) det (AB). a a n b b n a a n b b n det det det a n a nn b n b nn a n a nn b n b nn Exemplo det det O O det det O Apêndice