Teleportação Quântica

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1 Teleportação Quântica na Maria Guerreiro Martins Instituto Superior Técnico Lisboa 009

2 - its e qubits it : É a unidade básica de informação clássica e pode tomar um dos dois valores {0,}. Realização física. Um bit pode ser realizado por qualquer sistema a dois níveis. Exp: a) d.d.p. entre as placas de um condensador. b) Duas polarizações diferentes da luz. c) Dois estados electrónicos diferentes de um átomo. Qubit = (quantum bit): É a unidade básica de informação quântica. Matemáticamente é um () vector num espaço de Hilbert a - dimensões, H. O estado mais geral de um qubit será representado pelo vector ( ) ;, C 0 e 0 estados de base computacional. são dois vectores ortonormais designados por Realização física: Exp: a) Duas polarizações de um fotão. b) linhamento de um spin nuclear com um campo magnético. c) Dois estados electrónicos de um átomo.

3 Quais as diferenças entre bits e qubits? - O bit clássico pode ser medido sem ser perturbado. Suponhamos que temos um bit clássico com um valor bem determinado, mas que nos é desconhecido. Tudo o que sabemos são as probabilidades p0 de o bit ter o valor 0 e p 0 de ter o valor. Quando medimos adquirimos informação e ficamos a saber o seu valor com 00% de confiança. - medição de um qubit não permite a determinação do seu estado antes da medida. Usando a teoria quântica podemos afirmar que toda a medida feita sobre um qubit o vai projectar num dos estados ou de uma forma não determinista. ssim, o estado 0 vai ser detectado com uma probabilidade e o estado será detectado com probabilidade Obviamente que, pois asprobabilidades devem somar. Sx x S y y Sz z Quanta informação é possível codificar num qubit?. Embora, possam tomar quaisquer valores entre 0 e, sugerindo que seria possível armazenar uma informação infinita num qubit, isto não se verifica. Como referimos qualquer medida sobre um qubit projecta-lo-á num dos seus estados de base, i.e., uma única medida só fornecerá um bit de informação. Para determinar e teríamos de realizar um número infindável de medidas sobre um conjunto de qubits que tivessem sido preparados no estado. Interferência quântica Uma realização física possível de um qubit será uma partícula de spin-/ (por exemplo um electrão). Sejam e os estados de spin up e down ao longo do eixo-z. Um qubit poderá representar-se na forma i i e cos e sin (3) i onde,, são números reais. Podemos ignorar o factor e que aparece em (3) porque não tem efeitos físicos observáveis. Os números e representam a orientação do spin-/ num espaço a 3-dimensões.

4 s grandezas físicas (observáveis) em M.Q. são representados por operadores lineares num espaço de Hilbert. Às componentes do spin-/ segundo os eixos-x,y,z, correspondem os operadores x, y, z, onde x, y, z são as matrizes de Pauli, 0 0 i 0 x ; y 0 ; z i 0 (4) 0 Não comutam i j i k, i j Fazendo e 0, obtemos o estado x 0 (5) que representa o spin-up ao longo do eixo-x. Para obtemos o estado e, x 0 (6) que representa o spin-down ao longo do mesmo eixo. Suponhamos que o spin está num dos estados x ou x. probabbilidade de otermos o spin-up ao longo do eixo-z, numa medida de S z será. Suponhamos agora que o qubit se encontra no estado 0 x x (7)

5 que é uma sobreposição dos estados x ou x. Qual será a probabilidade de obter o spin-up numa medida de S z? Usando a teoria clássica das probabilidades teremos a probabilidade ½ de obter x ou x e a probabilidade e estando num destes estados, teremos a prbabilidade ½ de obter. probabilidade final seria então =. Contudo, somando as eqs.(5) e (6), obtemos 0 x x logo, a probabilidade de obter é!!!! s probabilidades quânticas obedecem a leis diferentes das probabilidades clássicas dando origem ao fenómeno da Interferência Quântica É de realçar que o formalismo matemático do spin-/ é equivalente ao de qualquer sistema quântico a dois nìveis. Paradoxo EPR e emaranhamento quântico. O estado quântico de um sistema com duas partículas de spin-/ ( qubits) e é representado por um vector, num espaço de Hilbert H, H, (8) cuja base computacional tem 4 estados,,, (9)

6 i, j C e, i, j, 0 i, j Suponhamos que temos uma fonte que emite em sentidos opostos duas partículas de spin-/, opostos, i.e., o spin total do par de partículas é 0. O estado das partículas é dado pelo seguinte vector, + 0 (9). Trata-se de um estado que é a sobreposição de dois estados: no primeiro estado a partícula tem spin-up e a spin-down, no segundo temos a situação inversa. Tata-se de um ESTDO EMRNHDO ( Entangled state ) Tais estados não podem ser escritos na forma de produto de dois qubits i.e.,, (0) Matemáticamente não há nada de muito notável nestes estados, contudo as manifestações físicas de tais estados são extrordinárias e contra-intuitivas. Os estados não-emaranhados são aqueles para os quais podemos pensar na partícula completamente descrita pelo estado e na partícula completamente descrita pelo estado. O sistema é composição simples de duas partes. Uma medida feita sobre uma das partículas em nada afecta o estado da outra. Em contrapartida, num estado emaranhado uma medida feita sobre uma das partículas afectará sempre o estado da outra aind que elas estejam muito afastadas uma da outra. Vejamos como usaram um estado emaranhado para mostrarem como seria possível medir um par de observáveis complementares, violando assim o

7 Príncipio de incerteza de Heisenberg, 0 S x S z S xsz Paradoxo EPR Suponhamos que as partículas emitidas pela fonte acima referida viajam para pontos do espaço muito afastados um do outro. Sejam a lice e o ob dois observadores que se encontram naqueles pontos do espaço e que vão realizar medidas do spin das partículas e, respectivamente. Suponhamos que lice ao medir o spin da partícula ao longo do eixo-z encontra o estado spin-up. Então, devido ao colapso da função de onda ela pode concluir imediatamente que a partícula estará no estado próprio de spin-down segundo o eixo-z. Quando ob faz a medida limita-se a confirmar a previsão da lice. Einstein, Podolski e Rosen introduzem então uma hipótese essencial na discussão dos resultados das medidas e que é o da localidade. Esta hipótese consiste em afirmar que, como e estão muito afastados, é natural esperar (atendendo ao facto de que existe uma velocidade limite na propagação das interacções físicas) que a medida feita pela lice na partícula não possa influenciar o resultado da medida feita pelo ob na partícula. Sendo assim, a partícula já deveria ter o seu spin orientado segundo o eixo-z negativo, mesmo antes de qualquer medida feita pela lice, i.e, que deveria de haver um elemento de realidade física associado à grandeza componente do spin segundo z e que teria atributos reais que existiriam objectivamente, independentemente das medidas. Suponhamos então que o ob resolve medir a componente do spin no eixox. Então, pelo argumento acima exposto a lice pode inferir o estado de spin de ao longo do eixo-z e o ob faz uma medida directa da componente x do seu spin. Desta forma seria possível determinar com precisão absoluta as componentes do spin da partícula em duas direcções ortogonais, x e z, violando deste modo o príncipio de incerteza de Heisenberg. Einstein, Podolski e Rosen concluiam desta forma que a MQ era uma teoria incompleta e sugeriam que deveria de haver uma Teoria de Variáveis Escondidas mais completa que a MQ e que pudesse prever os fenómenos quânticos.

8 John ell mostrou em 964 que é possível testar através das desigualdades que t~em o seu nome, se a natureza obedece a uma teoria de variáveis escondidas local ou à Teoria Quântica. Várias experiências foram realizadas para medir as ditas desigualdades (spect 980) e todas elas refutam a possibilidade de explicar a natureza quântica por uma teoria de variáveis escondidas local, confirmando antes a sua compatibilidade com a descrição apresentada pela Teoria Quântica. É de realçar que para que duas ou mais partículas (qubits) exibam correlações quânticas não-locais num dado instante, é necessário que estas tenham interagido entre si nalgum instante anterior, de modo a ficarem num estado emaranhado. Este emaranhamento, quando bem preservado, continuará a existir mesmo quando as partículas se afastam muito uma da outra. O emaranhamento quântico é a quintaessência da Teoria Quântica e o ingrediente fundamental das Teorias da Computação e Informação Quânticas. EMRNHMENTO Recurso a usar na codificação e processamento de informação quântica

9 3 Codificação Compacta (Dense Coding) Será possivel transmitir informação clássica usando um canal quântico? Vamos explicar como aplicar o emaranhamento quântico à comunicação. Suponhamos que a lice pode preparar qubits, como por exemplo fotões em qualqer estado de polarização, e que os pode enviar ao ob. Este, por seu lado, pode medir a polarização daqueles ao longo de qualquer eixo à sua escolha. Haverá alguma vantagem de enviar qubits em vez de its clássicos? Suponhamos que a lice eo ob partilham um par de qubits emaranhados no estado, 0 () O par de qubits foi preparado há muito tempo e uma das partículas foi enviada à lice e a outra ao ob. lice vai realizar uma das seguintes transformações unitárias na sua partícula (qubit): ) (Ela não faz nada). ) x (rotação em torno do eixo-x). 3) y (rotação em torno do eixo-y). 4) z (rotação em torno do eixo-z). Fazendo isto ela transforma o estado, em um dos quatro estados mutua mente ortogonais e que são conhecidos por estados de ell. ), =, ), = x, 3), = y, 0

10 4), = z, 0 Note-se que os estados de ell são estados de emaranhamento máximo. Depois de transformar o seu qubit, ela envia a sua partícula ao ob, que vai realizar uma medida de ell nas duas partículas (i.e., ele deverá medir um observável colectivo que terá como estados próprios um dos quatro estados de ell acima indicados). o fazer a dita medida ele encotrará seguramente um daqueles quatro estados, sabendo imediatamente qual o estado enviado pela lice. O conhecimento de cada estado de ell corresponde à transmissão de dois bits de informação. No entanto, a lice enviou ao ob um único qubit. Esta é a razão pela qual se designa este processo por codificação compacta. Note-se que a lice e o ob tiveram de facto de usar o canal quântico duas vezes para trocar dois bits de informação: um qubit corresponde ao conhecimento inicial que ambos têm do estado emaranhado, em que se encontram as duas partículas e, o outro foi transmitido quando a lice envia a sua partícula ao ob. vantagem deste protocol consiste no facto de o estado, poder ser criado muito tempo antes da lice pretender enviar a sua mensagem e de ela apenas necessitar de enviar um qubit no momento da transmissão. Outro aspecto interessante deste protocolo é o de a lice não precisar de de se preocupar com o facto de a sua mensagem poder ser interceptada e descodificada. Com efeito, qualquer medida realizada sobre a partícula, projectará um dos estados de ell num dos estados i j da base computacional de -qubits, não fornecendo portanto nenhuma informação sobre o estado de ell inicial da mensagem da lice. Toda a informação reside nas correlações quânticas existentes entre os qubits e e esta informação é inacessível a menos que o intercptador da mensagem esteja de posse das duas partículas que copoem o par.

11 4 Teleportação quântica Será possível usar informação clássica para transmitir informação quântica? Mostrámos como seria possível aumentar a eficiência da transmissão de informação clássica usando informação quântica e vamos agora mostrar como usar informação clássica para transmitir informação quântica. lice tem um qubit no estado desconhecido C a C b C que quer transmitir ao ob mas o canal quântico não está a funcionar. Qual o protocolo a seguir para que o ob receba o qubit C, transmitindo a lice apenas informação clássica? ) s duas partículas, e, são preparadas no estado emaranhado. partícula é enviada à lice e a ao ob. O estado inicial dos três qubits pode pôr-se na forma, C C a b a b C C a b a b C ou ainda, C C C z C C i onde C a C b C x y

12 ) lice faz uma medida de ell, local, sobre as partículas e C projectando o estado C num dos estados de ell dos qubit e C. Qualquer destes quatro estados é igualmente provável. 3) lice transmite ao ob através de um canal clássico (por exemplo o telefone) qual o resultado da sua medida. Esta transmissão corresponde a dois bits de informação clássica. 4) O ob ao receber a mensagem fica a saber qual o estado da sua partícula, i.e., a) Se a lice encontrou C então a partícula do ob foi projectada no estado que é (a menos de uma fase global) uma réplica do estado original. C b) Se a lice encontrou os estados C, C ou C então o ob terá de aplicar respectivamente os operadores unitários z, x e i y, correspondendo a rotações de em torno dos eixos-z,x,y de forma a transformar o estado da sua partícula (), numa réplica do estado original. C Isto mostra que é possível teleportar o estado desconhecido original medida da lice destroi o estado original quânticas entre as partículas e. C. C e também as correlações