Teoria de Perturbações Dependente do Tempo

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1 Emerson J. V. Passos Mecânica Quântica I Pós-graduação Universidade de São Paulo Instituto de Física 1 o semestre de 2012

2 Hamiltoniano Dependente do Tempo Até agora consideramos hamiltonianos que não dependem explicitamente do tempo. Nesta seção vamos considerar hamiltonianos que podem ser escritos como a soma de duas componentes: Ĥ(t) = Ĥ 0 + ˆV(t) onde Ĥ 0 não depende explicitamente do tempo. Supomos conhecidos os autovalores e autoestados de Ĥ 0: Ĥ 0 n = E n n e estamos interessados em responder à pergunta: Dada a probabilidade de achar o sistema no estado n no instante inicial, qual é a probabilidade de achar o sistema nesse estado no instante t?

3 Equação de Schrödinger Dependente do Tempo Para responder a essa pergunta, devemos resolver a equação de Schrödinger dependente do tempo: i α, t = Ĥ(t) α, t t dada a condição inicial α, = α. Expandindo α, t e α, na base de autovetores de Ĥ 0 como: α, = n n n α, = n n c n() α, t = n n n α, t = n n c n(t)e i En(t ) com c n() = n α, e c n(t)e i En(t ) = n α, t (note que se ˆV(t) = 0, c n(t) = c n()).

4 Equação de Schrödinger Dependente do Tempo Substituindo essa expansão na equação de Schrödinger depentente do tempo, deduzimos as seguintes equações lineares adaptadas para os coeficientes c n(t): i dcn(t) dt = m n ˆV(t) m e iωnm(t c m(t) com ω nm = (En Em), que deve ser resolvida com a condição inicial c n(t = = c n(). Em geral temos que achar soluções aproximadas da equação de Schrödinger dependente do tempo.

5 Descrições de Schrödinger e Heisenberg Descrição de Schrödinger Descrição de Heisenberg Vetor de Estado Evolução dada por Ĥ(t) Fixo Observáveis sem dep. explicit. em t Fixo Evolução dada por Ĥ(t)

6 Descrições de Schrödinger e Heisenberg Descrição de Schrödinger: i t α, t S = Ĥ(t) α, t S, α, = α α, t S = Û(t, ) α, S i du dt (t, t ) = Ĥ(t)Û(t, t ), Û(t, t ) = 1 Descrição de Heisenberg: α H = α, S = α Â H(t) = Û (t, )ÂÛ(t, ) dâ H (t) i = [Â H(t), Ĥ H(t)], Ĥ H(t) = Û (t, )Ĥ(t)Û(t, ) dt α H = Û (t, ) α, t S

7 Descrição de Interação Descrição de Interação: α, t I = Û 0 (t, t0) α, t S, Û 0 (t, t0) = e i Ĥ0(t ) S α, t  α, t S = I α, t Û 0 (t, t0)âû 0 (t, ) α, t I  I(t) = Û 0 (t, t0)âû 0 (t, )

8 Descrição de Interação Equação de evolução para os vetores de estado e operadores na Descrição de Interação: i t α, t I = Ĥ 0 e i Ĥ0(t ) α, t S + e i Ĥ0(t ) (Ĥ 0 + ˆV(t)) α, t S i t α, t I = Ĥ 0 α, t I + Ĥ 0 α, t I + e i Ĥ0(t ) ˆV(t)e i Ĥ0(t ) α, t }{{} I ˆV I (t) i t α, t I = ˆV I(t) α, t I Conclusão: α, t I evolui no tempo pela ação de ˆV I(t): dâ I (t) i = [Â I(t), Ĥ 0] dt

9 Descrição de Interação Schrödinger Heisenberg Interação Vetor de Estado Ev. dada por Ĥ(t) Fixo Ev. dada por ˆV I(t) Observáveis sem dep. explicit. em t Fixo Ev. dada por Ĥ(t) Ev. dada por Ĥ 0 Se ˆV(t) for igual a zero, α, t I é estacionário e a Descrição de Interação se reduz à Descrição de Heisenberg.

10 Série de Dyson α, t I = Û I(t, ) α, I i dû I dt (t, t0) = ˆV I(t)Û I(t, ), Û I(, ) = 1 Û I(t, ) = 1 i Solução aproximada por iteração: t dt ˆV I(t )Û I(t, ) ( Û I(t, ) =1 + i ) t ( i ) n t que é a série de Dyson. dt 1 ˆV I(t 1) + dt 1 t1 ( i ) 2 t dt 2... dt 1 tn 1 t1 dt 2 ˆV I(t 1)ˆV I(t 2)+ dt n ˆV I(t 1)ˆV I(t 2)... ˆV I(t n)

11 Probabilidades Suponha que o estado inicial seja um autoestado de Ĥ 0: Ĥ 0 i = E i i O vetor de estado no instante t na descrição de interação é dado por: i, t I = Û I(t, ) i A amplitude de probabilidade de achar a partícula no estado n no inst. t é: mas, n i, t S = n Û 0(t, ) i, t I = e i En(t ) n i, t I i, t S = n c n(t)e i En(t ) n então: n i, t I = n Û 0(t, ) i, t S = c n(t) e i, t I = n c n(t) n

12 Cálculo Perturbativo de c n(t) Série perturbativa para c n(t) até ordem k: c n(t) = n i, t I = n Û I(t, ) i c (0) n (t) + c (1) n (t) c (k) n (t) onde: c (0) n (t) = δ ni c (1) n (t) = m = m ( i ) 2 t t1 dt 1 dt 2 n ˆV I(t 1) m m ˆV I(t 2) i = ( i ) 2 t t1 dt 1 dt 2 n ˆV(t 1) m e iω nm(t 1 ) m ˆV(t 2) i e iω mi(t 2 ) etc.

13 Referências Referências J. J. Sakurai Modern Quantum Mechanics. Addison Wesley,1993. (Texto principal do curso.) D. J. Griffiths Introduction to Quantum Mechanics. Benjamin Cummings, (Contém uma apresentação didática de teoria de perturbações dependente do tempo.)