Modos Normais. Física do Estado Sólido 2017/2018, 23 Abril Modos Normais FES Fonões 1 / 20

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1 odos Normais Física do Estado Sólido 2017/2018, 23 Abril 2018 odos Normais FES Fonões 1 / 20

2 Outline 1 Introdução 2 Sistema Clássico 3 Sistema Quântico odos Normais FES Fonões 2 / 20

3 Sistemas perto do equilíbrio O comportamento de todos os sistemas que estão perto do equilíbrio é similar. Vamos ter vibrações, quânticas ou clássicas, em torno desse equilíbrio. Essa vibrações vão ser uma sobreposição de modos próprios ou modos normais. A análise do comportamento quântico ou clássico vai ser muito similar. odos Normais FES Fonões 3 / 20

4 Equação de Newton Vamos supor que temos um conunto de N partículas que interagem com um potencial V. A posição da partícula é dada por R = (R x, R y, R z ) e a sua massa é. A equação de Newton que descreve o movimento da componente k (k = x, y, z) da posição partícula é d 2 R k dt 2 = R k V (R 1x, R 1y, R 1z, R 2x,..., R Nz ). Vamos supor também que o potencial tem um mínimo bem comportado para V (R (0) 1x, R(0) 1y, R(0) 1z, R(0) 2x,..., R(0) Nz ) O nosso primeiro passo vai ser uma mudança de variável para que o mínimo do potencial fique na origem das novas variáveis e para que o coeficiente das derivadas segundas sea o mesmo. odos Normais FES Fonões 4 / 20

5 Primeira udança de Variáveis Vamos definir as novas variáveis w 1 = (R 1x R (0) 1x ) 1 w 2 = (R 1y R (0) 1y ) 1 w 3 = (R 1z R (0) 1z ) 1 w 4 = (R 2x R (0) 2x ) 2... w 3N = (R Nz R (0) Nz ) N onde a massa média é = 1 N N =1 odos Normais FES Fonões 5 / 20

6 A Equação de Newton nas Novas Coordenadas Como vamos ter que d 2 R 1x 1 dt 2 = 1 = = w 1 1 = R 1x R 1x w 1 w d 2 w 1 dt 2 = R 1x V (R 1x, R 1y, R 1z, R 2x,..., R Nz ) w 1 Ṽ (w 1, w 2, w 3,..., w 3N ). onde usámos o til para indicar a função nas novas variáveis. Fazendo o mesmo para todas as coordenadas temos finalmente d 2 w dt 2 = w Ṽ (w 1, w 2, w 3,..., w 3N ) que é uma equação do tipo Newton mas com uma só massa. odos Normais FES Fonões 6 / 20

7 Aproximação Harmónica Como o potencial é bem comportado e tem o mínimo na origem podemos fazer uma expansão em série de Taylor Ṽ (w 1, w 2, w 3,..., w 3N ) = V =1 k=1 2Ṽ w w k (0, 0,..., 0)w w k +... definindo U k = 2Ṽ w w k (0, 0,..., 0) e cortando a série depois do primeiro termo não trivial temos a aproximação harmónica W (w 1, w 2, w 3,..., w 3N ) = V =1 k=1 U k w w k onde U k é uma matriz simétrica que vamos diagonalizar com uma segunda mudança de coordenadas. odos Normais FES Fonões 7 / 20

8 Segunda mudança de Variáveis A matriz U k é simétrica, tem valores próprios reais não negativos K (l) 0 e vectores próprios reais ortogonais, c (l) R, onde 3N k=1 c(m) k k=1 k = δ mn. U k c (l) k = K (l) c (l) Vamos agora definir as coordenadas normais s n A transformação inversa é w = s n = =1 s n w odos Normais FES Fonões 8 / 20

9 Novo Potencial Usando as novas variáveis vamos ter W (s 1,..., s 3N ) = V = V = V = V = V =1 k=1 U k ( =1 =1 m=1 K (n) s 2 n )( ) s n c (m) k s m m=1 s n s m s n m=1 m=1 s n s m K (m) k=1 U k c (m) k s m K (m) c (m) =1 c (m) odos Normais FES Fonões 9 / 20

10 Equação de Newton Final Usando as novas variáveis vamos ter d 2 s n dt 2 = = =1 d 2 w dt 2 =1 m=1 = c (m) = s n W (s1,..., s 3N ) = K (n) s n =1 W (s1,..., s 3N ) w W (s1,..., s 3N ) s m ou sea, ficámos com uma série de osciladores desacoplados com frequência ω n = K (n) odos Normais FES Fonões 10 / 20

11 ovimento na Aproximação Harmónica A solução da equação anterior é s n (t) = A n sin(ω n t) + B n cos(ω n t) que corresponde a um modo normal e onde A n e B n são constantes de integração que dependem das condições iniciais. Vamos ter então que w (t) = e finalmente R 1x (t) = R (0) 1x + s n (t) = 1 e assim por diante. Note que A n, B n, 1 R. ( ) A n sin(ω n t) + B n cos(ω n t) ( ) 1 A n sin(ω n t) + B n cos(ω n t) odos Normais FES Fonões 11 / 20

12 O Hamiltoniano Vamos supor que temos um conunto de N partículas discerníveis sem spin que interagem com um potencial V. A posição da partícula é dada por R = (R x, R y, R z ) e a sua massa é. O hamiltoniano que descreve este sistema de partículas é H = N =1 k=x,y,z R 2 k + V (R 1x, R 1y, R 1z, R 2x,..., R Nz ). Vamos supor também que o potencial tem um mínimo bem comportado para V (R (0) 1x, R(0) 1y, R(0) 1z, R(0) 2x,..., R(0) Nz ) O nosso primeiro passo vai ser uma mudança de variável para que o mínimo do potencial fique na origem das novas variáveis e para que o coeficiente das derivadas segundas sea o mesmo. odos Normais FES Fonões 12 / 20

13 Primeira udança de Variáveis Vamos definir as novas variáveis w 1 = (R 1x R (0) 1x ) 1 w 2 = (R 1y R (0) 1y ) 1 w 3 = (R 1z R (0) 1z ) 1 w 4 = (R 2x R (0) 2x ) 2... w 3N = (R Nz R (0) Nz ) N onde a massa média é = 1 N N =1 odos Normais FES Fonões 13 / 20

14 O Hamiltoniano nas Novas Coordenadas Como vamos ter que H = N =1 k=x,y,z = 2 2 = w 1 1 = R 1x R 1x w 1 w 1 = R 2 k + V (R 1x, R 1y, R 1z, R 2x,..., R Nz ) 2 w 2 + Ṽ (w 1, w 2, w 3,..., w 3N ) onde nas novas coordenadas as massas aparecem como sendo idênticas. odos Normais FES Fonões 14 / 20

15 Aproximação Harmónica Como o potencial é bem comportado e tem o mínimo na origem podemos fazer uma expansão em série de Taylor Ṽ (w 1, w 2, w 3,..., w 3N ) = V =1 k=1 2Ṽ w w k (0, 0,..., 0)w w k +... definindo U k = 2Ṽ w w k (0, 0,..., 0) e cortando a série depois do primeiro termo não trivial temos a aproximação harmónica V (w 1, w 2, w 3,..., w 3N ) W (w 1, w 2, w 3,..., w 3N ) = V =1 k=1 U k w w k odos Normais FES Fonões 15 / 20

16 Aproximação Harmónica II A aproximação harmónica do hamiltoniano fica então H 2 2 =1 2 w 2 + V =1 k=1 U k w w k onde U k é uma matriz simétrica que vamos diagonalizar com uma segunda mudança de coordenadas. odos Normais FES Fonões 16 / 20

17 Segunda mudança de Variáveis A matriz U k é simétrica, tem valores próprios reais não negativos K (l) 0 e vectores próprios reais ortogonais, c (l) R, onde 3N k=1 c(m) k k=1 k = δ mn. U k c (l) k = K (l) c (l) Vamos agora definir as coordenadas normais s n w = s n odos Normais FES Fonões 17 / 20

18 Novo Potencial Usando as novas variáveis vamos ter W (s 1,..., s 3N ) = V = V = V = V = V =1 k=1 U k ( =1 =1 m=1 K (n) s 2 n )( ) s n c (m) k s m m=1 s n s m s n m=1 m=1 s n s m K (m) k=1 U k c (m) k s m K (m) c (m) =1 c (m) odos Normais FES Fonões 18 / 20

19 Nova energia cinética Usando as novas variáveis vamos ter w = s n = w s n s n onde usámos a transformação inversa, s n = 3N =1 c(n) w. O operador energia cinética fica T = 2 2 = w 2 =1 ( m=1 = 2 2 =1 =1 c (m) ) s n s n m=1 s m = 2 2 c (m) s m 2 s 2 n odos Normais FES Fonões 19 / 20

20 Hamiltoniano final O hamiltoniano na aproximação harmónica fica finalmente H H = T + W = 2 2 = V s 2 n ( V s 2 n K (n) s 2 n K (n) s 2 n que corresponde a 3N osciladores harmónicos dasacoplados com K frequências ω n = (n). ) odos Normais FES Fonões 20 / 20