Prof. Dr. Ronaldo Rodrigues Pelá. 21 de maio de 2013

Transcrição

1 Introdução à INTRODUÇÃO À MECÂNICA ANALÍTICA Mecânica II (FIS-26) Prof. Dr. Ronaldo Rodrigues Pelá IEFF-ITA 21 de maio de 2013

2 Roteiro Introdução à 1 Introdução à

3 Roteiro Introdução à 1 Introdução à

4 Introdução à O Princípio dos Trabalhos Virtuais fornece uma ferramenta útil para se determinar o equilíbrio de um sistema. No entanto, há diversos casos práticos em que os sistemas estão se movendo de forma acelerada e, portanto, estão onge de um equilíbrio dinâmico ou estático. Então, como aproveitar a elegância do formalismo desenvolvido anteriormente para sistemas em movimento? A resposta é dada pelo.

5 Introdução à Aplicando a 2 a Lei de Newton para cada partícula de um sistema. F i = d p i dt o que implica F i d p i dt = 0 ou seja, a partícula estaria sob equilíbrio se à força F i que age nela acrescentarmos a força de inércia d p i dt.

6 Introdução à Aplicando o princípio dos trabalhos virtuais, temos: N i=1 N i=1 ( F (a) i d p ) i.δ r i = 0 dt ( F (a) i d p ) i. r i = 0 dt q j para j = 1, 2,, n. Com o, obtemos as equações de movimento sem as forças de vínculo daí sua vantagem em relação a uma aplicação seca das leis de Newton. O e as leis de Newton são equivalentes: fornecem as mesmas equações de movimento.

7 Introdução à Chegamos a um dos pontos mais interessantes desse capítulo. Vamos agora trabalhar com uma função L conhecida como Lagrageana, baseada numa descrição em termos de energia, que permite obter as equações de movimento de um sistema. Vamos reescrever um dos termos do princípio de D Alembert e denominá-lo de Q j (força generalizada associada à coordenada generalizada q j ):

8 Introdução à Q j = N i=1 F (a) i. r i q j Note que o trabalho virtual total é: δw = n Q j δq j j=1 Q j não necessariamente tem dimensão de força, mas Q j q j tem sempre dimensão de trabalho.

9 Introdução à Usando o princípio de D Alembert, podemos chegar que d T T = Q j dt q j q j T é a energia cinética total do sistema de partículas. Separando as forças em conservativas e não conservativas: F (a) i = F (a) i,cons. + F (a) i,n.cons. e F (a) i,cons. = i V Q j = Q j,n.cons. N i=1 i V. r i q j = Q j,n.cons. V q j

10 Introdução à d T T = Q j,n.cons. V dt q j q j q j Sendo L = T V e supondo que V = 0, (j = 1,, n), q j temos: d L L = Q j,n.cons. dt q j q j Para sistemas conservativos: d L L = 0 dt q j q j Esta é conhecida como a Equação de Lagrange para o movimento.

11 Introdução à A hipótese V = 0, j é exigente e pode ser revista: q j Q j = Q j,extra + d U U dt q j q j sendo U = U(q j, q j, t) o potencial generalizado d L L = Q j,extra = 0 dt q j q j (essa última igualdade quase sempre ocorre). Nesse caso, L = T (q, q, t) U(q, q, t). Os sistemas que admitem um potencial generalizado U de modo que Q j = U + d U são chamadas de sistemas q j dt q j monogênicos (sistema com força de Lorentz são um exemplo desse tipo). Um sistema monogênico é conservativo se, e só se, U = U(q).

12 Introdução à As equações de Lagrange, por terem sido derivadas das leis de Newton, fornecem as mesmas equações de movimento que elas. A diferença essencialemente está na abordagem do problema. Usando o formalismo lagrangiano, escapamos do cálculo das forças de vínculo, fazemos uso de uma linguagem completamente escalar e podemos fazer pleno uso das simetrias do problema mediante uma escolha acertada das coordenadas generalizadas.

13 Introdução à A formulação lagrangiana tem outra vantagem em relação à newtoniana: a flexibilidade. Note que, dada uma lagrangiana L, podemos definir L como: L = L + df (q, t) dt onde df F (q, t) = dt t + F q, que as equações do q movimento ficam inalteradas. De fato: d L dt q L q = d L dt q L q + d dt q d L dt q L q = d L dt q L q df dt df q dt