Mecânica Analítica. O Princípio de Hamilton. J. Seixas. Mecânica Analítica (Módulo 1)

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1 Mecânica Analítica O Princípio de Hamilton J. Seixas Mecânica Analítica (Módulo 1)

2 Sumário dos últimos capítulos O que temos até agora: A escolha das variáveis é uma parte essencial da resolução de um problema em Física (até ao momento, pelo menos em Mecânica) Forças de reacção podem ser substituídas por equações de constrangimento (substituindo a 3ª Lei de Newton) Podemos substituir em geral o uso de forças pelo trabalho através do Princípio do Trabalho Virtual A Natureza escolhe aparentemente um princípio de extremo para decidir qual o comportamento a seguir por um sistema Mecânica Analítica (Módulo 1) 2

3 Princípio de d'alembert Juntando as peças Usar as forças de inércia a nosso favor: substituir F=ma por δ W =0 através da inclusão das forças inerciais V=const! P m z=0 δ W =( P m z)δ z=0 Mecânica Analítica (Módulo 1) 3

4 Juntando as peças Se os constrangimentos não produzem trabalho: N partículas Mecânica Analítica (Módulo 1) 4

5 Juntando as peças Vamos estar interessados em forças conservativas Princípio de d'alembert: Mas Mecânica Analítica (Módulo 1) 5

6 Juntando as peças x dx x ' (t ) x(t ) C' C B f δ f f ( x) δ x df A dx δ x t 1 t t +dt t 2 t A x(t ) x(t +dt) x ' (t ) B x Mecânica Analítica (Módulo 1) 6

7 Juntando as peças Variação: criação de caminhos alternativos Mecânica Analítica (Módulo 1) 7

8 Juntando as peças A componente das forças conservativas no trabalho virtual é redutível à variação de uma função escalar. Isso todavia não é verdade em geral para as forças inerciais Como ultrapassar isso? Mecânica Analítica (Módulo 1) 8

9 Conclusão: Juntando as peças Se os pontos inicial e final estiverem fixos: Lagrangeano Princípio de Hamilton: Extremo da acção! Acção Mecânica Analítica (Módulo 1) 9

10 Princípio de Hamilton Pergunta: o Lagrangeano é único? Resposta: Não! Mecânica Analítica (Módulo 1) 10

11 Constrangimentos Isto é tudo muito bonito, mas N partículas: N vectores (3d) de posição + N vectores (3d) de velocidade Comecemos pela posição: 1 vector 3N dimensional para a posição do sistema todo: P'ra quê? A posição do sistema é representada por um ponto neste espaço de configurações Mas ainda por cima posso não gostar de coordenadas cartesianas (porque não dão jeito): Estas coordenadas designam-se por Coordenadas Generalizadas Mecânica Analítica (Módulo 1) 11

12 Condições holonómas e não-holónomas Exemplo: Esfera livre: 6 graus de liberdade Sobre um plano: altura do centro fixa 5 graus de liberdade Coordenadas do ponto de contacto 2 graus de liberdade x, y Posição da esfera relativamente ao centro 3 ângulos α, β, γ Se pode deslizar no plano: 5 graus de liberdade Rolamento puro: ponto de contacto instantaneamente parado e eixo de rotação no plano. Ângulos função de x,y? Não: diferenciais dos ângulos função de dx e dy mas a relação não é integrável Dois caminhos diferentes bola rodada no final y x Mecânica Analítica (Módulo 1) 12

13 Condições holonómas e não-holónomas Condições cinemáticas que só podem ser dadas como relações entre diferenciais de coordenadas e não como relações finitas dizem-se não-holónomas Condições holónomas são dadas na forma f Isto implica dq q 1 + f dq 1 q f dq 2 q n =0 n f (q 1, q 2,..., q n )=0 Mas a existência de A 1 dq 1 + A 2 dq A n dq n =0 Mecânica Analítica (Módulo 1) 13

14 Condições holonómas e não-holónomas Condições holónomas podem ser atacadas de duas maneiras: m equações envolvendo n variáveis, eliminar m variáveis e tratar o problema com n-m graus de liberdade Tratar o problema com todas as variáveis e usar as relações como condições auxiliares Condições não-holónomas só podem ser tratadas da segunda maneira Mecânica Analítica (Módulo 1) 14

15 Constrangimentos O problema físico é o mesmo: tem de ser possível mudar de umas para outras coordenadas Relação entre as componentes da velocidade nos dois sistemas de coordenadas Velocidade generalizada Mecânica Analítica (Módulo 1) 15

16 Força generalizada O conceito de espaço de configurações obriga a redefinir o conceito de força: a força passa a ter 3n componentes Força generalizada Mecânica Analítica (Módulo 1) 16

17 O que é necessário para que funcione? Mecânica Analítica (Módulo 1) 17

18 Dinâmica e geometria A palavra de ordem é Geometria Mecânica Analítica (Módulo 1) 18

19 Dinâmica e geometria Coordenadas esféricas: Coordenadas cilíndricas: Constrangimentos: Geometria! Mecânica Analítica (Módulo 1) 19

20 As equações de Euler-Lagrange Relembremos: Coordenadas Generalizadas: Mecânica Analítica (Módulo 1) 20

21 As equações de Euler-Lagrange Integrando por partes: Equações de Euler-Lagrange: Nota: Mecânica Analítica (Módulo 1) 21

22 Forma de Nielsen de E-L Como tratar o problema quando as forças não são conservativas? Voltemos ao Princípio de d'alembert: Espaço de configurações k condições de constrangimento Mas e Mecânica Analítica (Módulo 1) 22

23 Mas Forma de Nielsen de E-L e Juntando tudo (forma de Nielsen de E-L) Mecânica Analítica (Módulo 1) 23