Mecânica Analítica. Dinâmica Lagrangiana. Licenciatura em Física. Prof. Nelson Luiz Reyes Marques MECÂNICA ANALÍTICA PARTE 1

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1 Mecânica Analítica Licenciatura em Física Prof. Nelson Luiz Reyes Marques

2 Princípios da Mecânica Newtoniana Leis do movimento Os postulados enunciados a seguir equivalem às três leis do movimento de Newton, mas procuram evitar certas dificuldades lógicas da proposição original Primeira Lei Existem sistemas de referência, ditos inerciais em relação aos quais toda partícula isolada descreve um MRU. A existência de um referencial inercial implica a existência de uma infinidade de outros, todos movendo-se em linha reta com velocidade constante.

3 Princípios da Mecânica Newtoniana Neste postulado está implícita a noção newtoniana de tempo absoluto, que flui uniformemente sem relação com qualquer coisa externa e é o mesmo em todos referenciais inerciais. Segunda Lei Em qualquer referencial inercial o movimento de uma partícula é regido pela equação: m a = F Este postulado pressupõe, implicitamente, que cada partícula está associada uma constante positiva m, denominada massa, que é a mesma em todos os referenciais inerciais.

4 Princípios da Mecânica Newtoniana Terceira Lei A cada ação corresponde uma reação igual e oposta, isto é, se F ij é a força sobre a partícula i exercida pela partícula j, então F ij = F ji Esta é a lei da ação e reação na sua forma fraca. Na sua versão forte, esta lei declara que, além de iguais e opostas, as forças são dirigidas ao longo da linha que une as partículas. Isto significa que duas partículas só podem se atrair ou repelir. Esta lei não tem valida geral, pois as forças entre cargas elétricas em movimento geralmente a violam

5 Princípios da Mecânica Newtoniana No caso de um sistema contendo várias partículas, supõe-se que a força sobre cada uma delas pode ser decomposta em forças externas, produzidas por fontes exteriores ao sistema, e forças internas, que se devem as demais partículas do sistema. Assim, a equação do movimento da i-ésima partícula de um sistema de N partículas é, conforme a segunda lei, dp i dt = N j=1 j i F ij + F i (e) onde p i = m i v i = m i dr i dt

6 Sistemas Conservativos e Não-Conservativos Se toas as forças atuantes sobre um sistema de partículas forem derivadas de uma função potencial (ou energia potencial) V, então o sistema é chamado de conservativo, do contrário é não conservativo. Energia Cinética: T = 1 2 N ν=1 m ν r ν 2

7 Vínculos São limitações às possíveis posições e velocidades das partículas de um sistema mecânico, restringindo a priori o seu movimento. É importante salientar que os vínculos são limitações de ordem cinemática impostas ao sistema mecânico. As restrições antecedem a dinâmica e precisam ser levadas em conta na formulação das equações de movimento do sistema. Restrições de natureza dinâmica decorrentes, portanto das equações de movimento não são vínculos.

8 Exemplo 1: A segunda lei de Newton obriga uma partícula sujeita a uma força central a se mover num plano fixo, mas isso não caracteriza um vínculo, pois é de natureza dinâmica.

9 Exemplo 2: Uma partícula está restrita a uma superfície fixa. Seja r = x, y, z o vetor posição da partícula relativa a um sistema cartesiano de eixos em relação ao qual a superfície permanece fixa. Então x, y, z não são variáveis independentes mas devem satisfazer f r f(x, y, z)=0 onde f r = 0 é a equação da superfície. Se, por exemplo, a superfície for uma esfera centrada na origem, onde R é o raio da esfera. f x, y, z = x 2 + y 2 + z 2 R 2

10 Exemplo 3: Uma partícula está restrita a uma superfície móvel e deformável. Neste caso x, y, z obedecem à equação f r, t f x, y, z, t = 0 a dependência temporal explícita indica a mudança na forma ou localização da superfície no transcurso do tempo.

11 Exemplo 4: Duas partículas movem-se no espaço sempre unidas por uma haste rígida. O vínculo tem a forma r 2 r 1 2 l 2 = 0 ou, equivalente, x 2 x y 2 y z 2 z 1 2 l 2 = 0 sendo l o comprimento invariável da haste.

12 Exemplo 5: Um pêndulo duplo oscila num plano vertical fixo. As equações de vinculo são x 2 + y 2 l 1 2 = 0, x 2 x y 2 y 1 2 l 2 2 = 0 x 2 + y 2 = l 1 2 x 2 x y 2 y 1 2 = l 2 2

13 Coordenadas Generalizadas Considere uma partícula ou sistema de partículas em movimento, sujeita a possíveis restrições (vínculos). Haverá um número mínimo de coordenadas independentes necessárias para especificar o movimento. Essas coordenadas representadas por q 1, q 2,...,q n são chamadas coordenadas generalizadas e podem ser distâncias, ângulos ou valores relacionados a eles

14 Notação: O subscrito variará de 1 a n, o número de graus de liberdade, enquanto o subscrito variará de 1 a N, o número de partículas do sistema. Considere o vetor posição da -partícula em relação ao sistema de coordenadas xyz como r ν = x ν i + y ν j + z ν k A relação entre as coordenadas generalizadas e as coordenadas de posição são dadas pelas equações de transformação,

15 x ν = x ν y ν = y ν z ν = z ν q 1, q 2,, q n, t q 1, q 2,, q n, t q 1, q 2,, q n, t Na forma vetorial, podemos escrever r ν = r ν q 1, q 2,, q n, t Essas funções são consideradas como sendo contínuas e tendo derivadas contínuas.

16 Exemplo 6: Escreva as equações de transformação o pêndulo duplo x 1 = l 1 sin θ 1 y 1 = l 1 cos θ 1 x 2 = l 1 sin θ 1 + l 2 sin θ 2 y 2 = l 1 cos θ 1 + l 2 cos θ 2 O sistema tem apenas 2 grau de liberdade com coordenadas generalizadas q 1 = θ 1 e q 2 = θ 2

17 Dinâmica Lagrangeana Vínculos Holônomos Sejam as coordenadas de um sistema representadas por q 1, q 2,...,q n e o tempo representado por t. Se todas as restrições do sistema podem ser representadas por equações da forma φ q 1, q 2,, q n, t = 0 ou sua equivalente, então o sistema é dito holonômico. Envolve o tempo de modo explicito. Vínculos Não-Holônomos São aqueles que não podem ser expressos dessa forma. Exemplo: as paredes de um recipiente esférico de raio a onde encontram-se confinadas as moléculas de um gás. Nesse caso os vínculos são r i < a

18 Exemplo 7: Um cilindro rola sem deslizar ao longo de uma linha reta. Sendo x a posição do centro de massa do cilindro e o ângulo de rotação do centro de massa, a condição de rolar sem deslizar é representada por x = Rφ x Rφ = 0 onde R é o raio do cilindro.

19 Exemplo 8:

20 Um disco vertical (moeda) rola sem deslizar num plano horizontal. Sejam (x, y) a posição do centro de massa do disco, o ângulo do plano do disco com o eixo x e o de rotação do disco em torno do seu eixo de simetria. Sendo v a velocidade do centro de massa, o disco rola sem deslizar desde que v = Rφ. Sabendo que x v x = v cos θ e y v y = v sin θ, somos conduzidos às equações x Rφ cos θ = 0 e y Rφ sin θ = 0 que exprimem matematicamente a condição de rolamento sem deslizar.

21 - Princípio de d Alembert Princípio de D Alembert O princípio de D Alembert, ou princípio do trabalho virtual, usa a noção de coordenadas generalizadas e o conceito dos deslocamentos virtuais para eliminar as forcas de vínculo da descrição do problema. Deslocamentos Virtuais São deslocamentos infinitesimais de cada partícula que levam a uma configuração possível a outra configuração possível infinitesimalmente próxima no mesmo instante t. Dado um sistema de N partículas os deslocamentos virtuais δr i, i = 1,, N, são deslocamentos infinitesimais das posições r 1,, r N realizados instantaneamente e com a propriedade de serem compatíveis com os vínculos

22 - Princípio de d Alembert Deslocamentos Virtuais Em suma, as características definidoras dos deslocamentos virtuais são: i. eles são infinitesimais; ii. iii. ocorrem num instante t fixo; não violam os vínculos.

23 - Princípio de d Alembert Trabalho Virtual Nesse formalismo, a distinção entre forças de vínculo e outras forças, que chamaremos de forças aplicadas, é fundamental. Seja então F i = F i a + f i a força total atuando na i-ésima partícula do sistema, onde f i são as forcas de vínculo e F i (a) são as forças aplicadas, que podem ser externas ou devido às outras partículas do sistema.

24 - Princípio de d Alembert Veremos inicialmente como fazer isso no caso estático, isto é, um sistema de partículas em equilíbrio. Neste caso F i = 0 e, quaisquer que sejam os deslocamentos virtuais δr i, N i=1 F i δr i = 0 como F i = F i a + f i N resulta F i δr i + f i δr i = 0 i=1 i

25 - Princípio de d Alembert Levando em conta que o trabalho virtual das forças de vínculo é zero, somos conduzidos ao chamado princípio dos trabalhos virtuais: N i=1 F i (a) δr i = 0 Este princípio permite exprimir a condição de equilíbrio para sistemas vinculados em termos somente das forças aplicadas.

26 - Princípio de d Alembert Estamos interessados na dinâmica, que pode ser formalmente reduzida à estática escrevendo a segunda lei de Newton na forma F i p i = 0, com p i = m i r i. Segundo a interpretação de d Alembert. Cada partícula do sistema encontra-se em equilíbrio sob uma força resultante que é a soma da força real com uma força efetiva invertida igual a p i. Esta força adicional fictícia é uma força de inércia existente no referencial que acompanha o movimento da partícula, isto é, no qual ela permanece em repouso. Podemos escrever: i p i F i δr i = 0 é verdadeira para qualquer deslocamento virtual δr i.

27 - Princípio de d Alembert Usando a equação F i = F i a + f i e admitindo a nulidade do trabalho virtual das forças de vínculo, resulta o chamado princípio de d Alembert: i p i F i (a) δr i = 0 Este princípio representa uma extensão do princípio dos trabalhos virtuais a sistemas mecânicos em movimento. Em suas aplicações concretas é preciso levar em conta que os deslocamentos virtuais δr i não são independentes, pois têm que estar em harmonia com os vínculos.

28 - Princípio de d Alembert Exemplo 9: Utilizando o princípio de d Alembert, encontrar as equações do movimento para o sistema mecânico da máquina de Atwood.

29 - Princípio de d Alembert Solução: A roldana é suposta sem massa e sem atrito. Com o sistema cartesiano indicado na figura, temos: r 1 = x 1 i e r 2 = x 2 i e o vínculo holônomo escreve-se: x 1 + x 2 = l onde a constante l é determinada pelo raio da roldana e o comprimento do fio, suposto inextensível e de massa desprezível. Claramente, os deslocamentos virtuais δx 1 e δx 2 são compatíveis com o vínculo x 1 + x 2 = l e estão relacionados por δx 1 + δx 2 = 0 δx 2 = δx 2

30 - Princípio de d Alembert Em outras palavras, se uma das massas sobe a outra desce a mesma distância, e vice-versa. m 1 r 1 δr 1 + m 2 r 2 δr 2 = F 1 a δr 1 + F 2 a δr 2 = m 1 gi δr 1 + m 2 gi δr 2 m 1 x 1 δx 1 + ( m 2 x 1) ( δx 1 ) = m 1 gδx 1 + m 2 g δx 1 m 1 + m 2 x 1δx 1 = m 1 m 2 gδx 1

31 - Princípio de d Alembert m 1 + m 2 x 1δx 1 = m 1 m 2 gδx 1 Em vista da arbitrariedade de δx 1, resulta a equação do movimento da massa m 1 : m 1 + m 2 x 1 = m 1 m 2 g x 1 = m 1 m 2 m 1 + m 2 g esse resultado coincide com o resultado obtido pelo tratamento newtoniano elementar. A aceleração de m 2 é simplesmente x 2 = x 1.

32 Forças Generalizadas Se W for o trabalho total realizado sobre um sistema de partículas pelas Forças F (a) i F i atuantes (aplicadas) sobre a k-ésima partícula, então dw = n i=1 Q k δq k onde N Q k = F i r i q k i=1 Q k é chamada de força generalizada associada à coordenada generalizada q k.

33 Equações de Lagrange A força generalizada pode ser relacionada com a energia cinética pelas equações d dt T dq k T q k = Q k Se o sistema for conservativo de modo que as forças sejam deriváveis de um potencial ou energia potencial V, podemos escrever d dt T dq k T q k = 0

34 A força generalizada pode ser relacionada com a energia cinética pelas equações d dt T dq k T q k = Q k Se o sistema for conservativo de modo que as forças F i sejam deriváveis de um potencial escalares V r i,, r N, t (ou energia potencial V), Neste caso, F i = i V = V x i i + V y i j + V z i k

35 e as forças generalizadas escrevem-se Q k = N i=1 F i r i q k = N i=1 V x i x 1 q k + V y i y i q k + V z i z i q k = V q k Q k = V q k onde usamos a regra da cadeia. d dt T dq k T q k = Q k

36 Como d dt T dq k T q k = Q k e Q k = V q k resulta d dt T dq k q k T V = 0 Dado que V q k = 0, esta ultima equação equivale a d dt q k T V q k T V = 0 Definindo a função de Lagrange ou, simplesmente, lagrangiano L por L = T V

37 d dt q k T V q k T V = 0 L = T V as equações de movimento do sistema podem ser escritas na forma d dt L q k L q k = 0 Equações de Lagrange onde k = 1,, n. Se o sistema não for conservativo d dt L q k L q k = Q k

38 Exemplo 10: O objetivo deste primeiro exemplo é ilustrar certos cuidados que devemos ter em relação às várias derivadas parciais e totais que aparecem ao longo dos cálculos no formalismo de Lagrange. Considere um sistema fictício de dois graus de liberdade cuja Lagrangeana é dada por L = q 1 2 q 2 + q 1 2. Equações de Lagrange d dt L q k L q k = 0 Essa Lagrangeana tem as seguintes derivadas parciais:

39 Veja que q 2 não aparece em L. As derivadas totais em relação ao tempo ficam Como as equações de Lagrange tem a forma d dt L q k L q k = 0 de forma que as duas equações de movimento ficam

40 Exemplo 11: Determine a equação de Lagrange e as equações de movimento para um pêndulo com suporte livre (a massa M pode se mover livremente sem atrito no plano horizontal, enquanto o pêndulo oscila no plano vertical).

41 Refazendo o desenho e tomando o nível de referencia na origem, temos

42 Podemos escrever as energias cinética e potencial T = 1 2 Mx m X 2 + Y 2 V M = 0 e V m = mgy, logo V = mgy Como X = x + l sin θ X = x + lθ cos θ Y = l cos θ Y = lθ sin θ Logo X 2 + Y 2 = x 2 + l 2 θ 2 + 2lx θ cos θ

43 Podemos reescrever as energias cinética e potencial como T = m + M 2 x 2 + ml2 2 θ 2 + mlx θ cos θ V = mgl cos θ A lagrangiana fica L = T V = m + M 2 x 2 + ml2 2 θ 2 + mlx θ cos θ + mgl cos θ

44 OBS: A energia cinética e a energia potencial que aparecem na equação de Lagrange só pode ser escrita em relação a um referencial inercial. Isto se deve ao fato das equações de Lagrange terem sido deduzidas do princípio de d Lambert e esse princípio envolve a aplicação da 2º lei de Newton que é válida apenas para referenciais inerciais. Um erro comum é escrever a energia cinética em relação ao suporte (massa M em movimento), que em geral executa um movimento acelerado. v 2 = l 2 θ 2 T = ml2 2 θ 2

45 L = m + M 2 x 2 + ml2 2 θ 2 + mlx θ cos θ + mgl cos θ Podemos, agora, determinar as equações de movimento d dt L x L x = 0 d dt m + M x + mlθ cos θ 0 = 0 m + M x + mlθ cos θ mlθ 2 sin θ = 0

46 d dt L θ L θ = 0 d dt ml2 θ + mlx cos θ mlx θ sin θ mgl sin θ = 0 ml 2 θ + mlx cos θ mlx θ sin θ + mlx θ sin θ + mgl sin θ = 0 ml 2 θ + mlx cos θ + mgl sin θ = 0

47 Como as equações de movimento são difíceis de resolver (equações não lineares não existe um método geral de resolução, cada caso é um caso), vamos analisar alguns casos limites (particulares) afim de verificarmos se essas equações estão corretas. 1º) Se m = 0 m + M x + mlθ cos θ mlθ 2 sin θ = M x = 0 x = 0 M se move como um corpo livre

48 2º) Se M m + M x + mlθ cos θ mlθ 2 sin θ = 0 Divide-se todos os termos por M m + M x M + mlθ cos θ M mlθ 2 sin θ M = 0 x = 0 Substituindo x = 0 na segunda equação de movimento ml 2 θ + mlx cos θ + mgl sin θ = 0 e dividindo por ml 2, obtemos θ + g l sin θ = 0 que corresponde a equação do pêndulo simples com ponto de suspensão fixo.

49 Exemplo 12 Considere o pendulo simples da figura abaixo. Em coordenadas polares o raio é fixo r = a e θ é a única coordenada livre. A transformação de x, y para θ é x = a cos θ, y = a sin θ. A energia cinética é obtida calculando-se

50 A energia cinética é obtida calculando-se Como o lagrangiano é dado por L = T V Obtemos

51 Equações de Lagrange d dt L θ L θ = 0 L θ = ma 2 θ L θ = mgasinθ e a equação de movimento fica ma 2 θ mgasinθ = 0 aθ = gsinθ

52 Exemplo 13: Obter a lagrangiana e as respectivas equações de Lagrange para o sistema mecânico representado, considerando desprezível as massas da roldana e do fio inextensível, e que o comprimento natural da mola é l. Solução: Supondo que o fio permaneça sempre esticado, o vínculo x 1 + x 2 = l 0 l 0 é uma constante determinada pelo comprimento do fio e pelo raio da roldana, mostra que somente duas das três coordenadas x 1, x 2, x 3 podem ser tomadas como

53 Solução: Supondo que o fio permaneça sempre esticado, o vínculo x 1 + x 2 = l 0 l 0 é uma constante determinada pelo comprimento do fio e pelo raio da roldana, mostra que somente duas das três coordenadas x 1, x 2, x 3 podem ser tomadas como coordenadas generalizadas o sistema possui dois graus de liberdade. Escolhemos x 2 e x 3 como coordenadas generalizadas. A energia cinética do sistema é T = m 1 2 x m 2 2 x m 3 2 x 2 3 = m 1 + m 2 2 porque x 1 = x 2 x m 3 2 x 3 2

54 Adotando o nível zero do potencial gravitacional no plano horizontal que passa no centro da polia, temos V = m 1 gx 1 m 2 gx 2 m 2 gx 3 + k 2 x 3 x 2 l 2 V = m 2 m 1 gx 2 m 1 gl 0 m 3 gx 3 + k 2 x 3 x 2 l 2 A lagrangiana é L = T V L = m 1 + m 2 2 x m 3 2 x m 2 m 1 gx 2 + +m 1 gl 0 + m 3 gx 3 k 2 x 3 x 2 l 2

55 d dt L x 2 L x 2 = 0 m 1 + m 2 x 2 m 2 m 1 g k x 3 x 2 l = 0 d dt L x 3 L x 3 = 0 m 3 x 3 + k x 3 x 2 l = 0 Se k = 0 não há interação ente m 2 e m 3. Neste caso limite as equações de Lagrange preveem corretamente que m 3 cai em queda livre x 3 = g e que a aceleração x 2 = m 2 m 1 g m 1 +m 2 da massa m 2 coincida com a obtida no tratamento da máquina de Atwood pelo princípio de d Alembert.

56 L = m 1 + m 2 2 Temos L dx 2 x m 3 2 x m 2 m 1 gx 2 + m 3 gx 3 k 2 x 3 x 2 l 2 + m 1 gl 0 = m 1 + m 2 x 2 L dx 2 = m 2 + m 1 g + k x 3 x 2 l L dx 3 = m 3 x 3 L dx 3 = m 3 g + k x 3 x 2 l As equações de Lagrange são d dt L x 2 L x 2 = 0 m 1 + m 2 x 2 m 2 m 1 g k x 3 x 2 l = 0 d dt L x 3 L x 3 = 0 m 3 x 3 + k x 3 x 2 l = 0

57 Exemplo 14: Uma partícula move-se num plano e coordenadas polares são empregadas para a descrição do movimento. O vetor posição da partícula escreve-se r = rcos θi + rsin θj.

58 As componentes da força generalizada são Q 1 Q r = F r r = F cos θi + sin θ j = F e r = F r Q 2 Q θ = F r = rf sin θ i + cos θ j θ = rf e θ = rf θ Onde e r = cos θ i + sin θ j e e θ = sin θ i + cos θ j são os unitários radial e angular representados na figura. Usando x = r cos θ rθ sin θ, y = r sin θ + rθ cos θ, a energia cinética expressa em termos de coordenadas polares é T = m 2 x 2 + y 2 = m 2 r 2 + r 2 θ 2

59 Portanto, podemos escrever d dt T dq k T q k = Q k d dt T dr T r = Q r mr mrθ 2 = F r d dt T dq k T q k = Q k d dt T dθ T θ = Q θ d dt mr2 θ = rf θ Verifica-se portanto que rf θ é a componente normal ao plano do movimento do torque em relação à origem, enquanto mr 2 θ é a componente do momento angular. Desenvolvendo explicitamente a derivada temporal, as equações de movimento anteriores tornam-se mr mrθ 2 = F r, mrθ + 2mr θ = F θ, que são simplesmente as componentes polares da equação de movimento de Newton.

60 Exemplo 15: Uma conta desliza ao longo de uma haste retilínea lisa que gira com velocidade angular constante num plano horizontal. Descreva seu movimento pelo formalismo de Lagrange.

61 Solução: Seja xy o plano horizontal que contém a haste e usemos as coordenadas polares para localizar a massa m. As varáveis r, θ não podem ser tomadas como coordenadas generalizadas porque θ é forçada a obedecer à restrição θ ωt = 0, que é um vínculo holônomo da forma f q 1,, q n, t = 0, onde ω é a velocidade angular da haste, suposta conhecida. O sistema possui somente um grau de liberdade (movimento radial) e podemos escolher q 1 = r como coordenada generalizada. A energia cinética pode ser escrita na forma T = m 2 r 2 + r 2 θ 2 = m 2 r 2 + ω 2 r 2 Onde usamos θ = ω.

62 Adotando o nível zero do potencial gravitacional no plano do movimento, a lagrangiana do sistema se reduz à energia cinética: L = T V = m 2 r 2 + ω 2 r 2 Dispondo da lagrangiana expressa exclusivamente em função de r e r, a equação de movimento do sistema é imediatamente obtida: d dt L r L r = 0 d dt mr mω2 r = 0 r = ω 2 r Conclui-se que a conta tende a se afastar do eixo de rotação em consequência da força centrifuga, que é o resultado bem conhecido.

63 Exemplo 16: Aplicar o formalismo lagrangiano para obter as equações de movimento de um pêndulo duplo plano.

64 Sejam x 1, y 1 e x 2, y 2 as coordenadas cartesianas das mas m 1 e m 2, respectivamente. Tomando-se os ângulos θ 1 e θ 2 como coordenadas generalizadas, temos x 1 = l 1 cos θ 1 y 1 = l 1 sin θ 1 x 2 = l 1 cos θ 1 + l 2 cos θ 2 y 2 = l 1 sin θ 1 + l 2 sim θ 2 donde x 1 = l 1 θ 1 cos θ 1, x 2 = l 1 θ 1 cos θ 1 + l 2 θ 2 cos θ 2 y 1 = l 1 θ 1 sin θ 1, y 2 = l 1 θ 1 sin θ 1 l 2 θ 2 sin θ 2

65 A energia cinética relativa ao referencial supostamente inercial (x, y) é T = m 1 2 x y m 2 2 x y 2 2 que, em termos das coordenadas e velocidades generalizadas, escreve-se T = m 1 + m 2 2 l 1 2 θ m 2 2 l 2 2 θ m 2 l 1 l 2 θ 1θ 2 cos θ 1 θ 2

66 Por outro lado, com o nível zero do potencial gravitacional no plano horizontal que contém o ponto de suspensão de m 1, temos V = m 1 gy 1 m 2 gy 2 = m 1 + m 2 gl 1 cos θ 1 m 2 gl 2 cos θ 2 Finalmente, a lagrangiana L = T V é dada por L = m 1 + m 2 l θ m 2l 2 2 θ m 2 2 l 1 l 2 θ 1θ 2 cos θ 1 θ 2 + m 1 + m 2 gl 1 cos θ 1 + m 2 gl 2 cos θ 2

67 Usando L θ 1 = m 1 + m 2 l 1 2 θ 1 + m 2 l 1 l 2 θ 2 cos θ 1 θ 2 L θ 1 = m 2 l 1 l 2 θ 1θ 2 sin θ 1 θ 2 m 1 + m 2 gl 1 sin θ 1 a equação de Lagrange d dt L θ 1 L θ 1 = 0 toma a forma m 1 + m 2 l 1 2 θ 1 + m 2 l 1 l 2 θ 2 cos θ 1 θ 2 + m 2 l 1 l 2 θ 2 2 sin θ 1 θ 2 + m 1 + m 2 gl 1 sin θ 1 = 0

68 De modo inteiramente análogo, obtemos a segunda das equações de Lagrange L θ 2 = L θ 2 = a equação de Lagrange d dt Obtém-se L θ 2 L θ 2 = 0 m 2 l 2 2 θ 2 + m 2 l 1 l 2 θ 1 cos θ 1 θ 2 m 2 l 1 l 2 θ 1 2 sin θ 1 θ 2 + m 2 gl 2 sin θ 2 = 0

69 Exemplo 17: Uma partícula de massa m move-se em um campo de força conservativo. Ache (a) a função lagrangiana, (b) as equações do movimento em coordenadas cilíndrica r, θ, z.

70 Solução: (a) A energia cinética total em coordenadas cilíndricas T = 1 2 m r 2 + r 2 θ 2 + z 2 A energia potencial V = r, θ, z. Então a função lagrangiana é L = T V = 1 2 m r 2 + r 2 θ 2 + z 2 V r, θ, z (b) As equações de Lagrange são d dt L r L r = 0 d dt mr mrθ 2 V r m r rθ 2 = V r = 0

71 d dt L θ L θ = 0 d dt mr2 θ m d dt r2 θ = V θ + V θ = 0 d dt L z L z = 0 d dt mz mz = V z + V z = 0

72 Exemplo 18: Considere o caso do movimento de projeteis sob a gravidade em duas dimensões. Encontre as equações de movimento nas coordenadas (a) cartesianas e (b) polares.

73 Solução: (a) Em coordenadas cartesianas, podemos escrever T = 1 2 m x 2 + y 2 = 1 2 mx my 2 V= mgy L = T V = 1 2 mx my 2 mgy d dt L x L x = 0 d dt mx 0 = 0 x = 0 d dt L y L y = 0 d dt my + mg = 0 y = g

74 (b) Em coordenadas polares, podemos escrever T = 1 2 m r 2 + rθ 2 = 1 2 mr m rθ 2 V = mgr sin θ L = T V = 1 2 mr m rθ 2 mgr sin θ d dt L r L r = 0 d dt mr mrθ 2 + mg sin θ = 0 rθ 2 g sin θ r = 0 d dt L L θ θ = 0 d dt mr2 θ mgr cos θ = 0 2rr θ r 2 θ gr cos θ = 0

75 As equações de movimento em coordenadas cartesianas são mais simples que as equações em coordenadas polares. Devemos escolher as coordenadas cartesianas como as coordenadas para resolver o problema. A chave para esse reconhecimento foi que a energia potencial do sistema depende somente da coordenada y. Nas coordenadas polares, a energia potencial dependia tanto de r como de θ.

76 Exemplo 19: Considere o sistema de polia dupla mostrado na figura. Utilize as coordenadas indicadas e determine as equações do movimento.

77 y 1 = x y 2 = l 1 x + y y 3 = l 1 x l 2 y l 1 = cte l 2 = cte

78 Solução: Considere as polias como sem massa e estabeleça l 1 e l 2 como os comprimentos da corda livremente suspensa de cada uma das duas polias. As distâncias x e y são medidas do centro das duas polias. m 1 : v 1 = x m 2 : v 2 = d dt l 1 x + y = x + y m 3 : v 3 = d dt l 1 x + l 2 y = x y T = 1 2 m 1v m 2v m 3v 3 2 T = 1 2 m 1x m 2 y x m 3 x y 2

79 Entalecemos a energia potencial V = 0 em x = 0. V = V 1 + V 2 + V 3 = m 1 gy 1 m 2 gy 2 m 1 gy 2 V = m 1 gx m 2 g l 1 x + y m 3 g l 1 x + l 2 y Simplificando, temos V = m 1 gx m 2 g l 1 x + y m 3 g l 1 x + l 2 y

80 Como T e V foram determinados, as equações de movimento podem ser obtidas utilizando L = T V d L e L = 0 dt q k q k que também pode ser escrita em função de x e y d dt L x L x = 0 d dt L y L y = 0 Os resultados são: m 1 x + m 2 x y +m 3 x y = m 1 m 2 m 3 g e m 2 x y +m 3 x + y = m 2 m 3 g

81 Exemplo 20: Pendulo com apoio em parábola. Como ilustração adicional considere um pêndulo cujo ponto de suspensão desliza sem atrito sobre uma parábola y = ax 2.

82 As coordenadas do ponto de apoio são x e y, as da massa são X e Y e θ é o ângulo que o fio do pendulo faz com a vertical. O sistema tem dois graus de liberdade e as coordenadas generalizadas podem ser escolhidas como x e θ. As equações que conectam a posição da partícula com x e θ são: X = x + l sin θ X = x + lθ cos θ Y = ax 2 l cos θ Y = 2axx + lθ sin θ As energias cinética e potencial são T = 1 2 m x + lθ cos θ 2 + 2axx + lθ sin θ 2 V = mgy = mg ax 2 l cos θ

83 A Lagrangeana é L = T V L = 1 2 m x + lθ cos θ 2 + 2axx + lθ sin θ 2 mg ax 2 l cos θ Fica como exercício escrever as equações de movimento.

84 Potenciais Generalizados Quando as forças generalizadas resultam de uma função U q 1,, q n, q 1,, q n, t por meio das expressões d dt U dq k U q k = Q k então a lagrangiana fica definida por L = T U onde função U é chamada potencial generalizado ou potencial dependente das velocidades.

85 A classe de forças abrangidas pela equação Q k = d U U é dt dq k q k maia ampla do que o conjunto das forças conservativas, estas ultimas constituindo um caso particular em que U independe das velocidades generalizadas e do tempo. Um exemplo importante é a força eletromagnética sobre uma carga em movimento. Continuam válidas as equações de movimento de Lagrange na forma d dt L q k L q k = 0 onde k = 1,, n.

86 OBS: i. A formulação lagrangiana só pode ser utilizada em sistemas conservativos (forças conservativas) ou, pelo menos, admitir um potencial generalizado que dependa das coordenadas de velocidade. ii. Se houver forças dissipativas, como por exemplo, atrito viscoso num líquido, um corpo se movendo no ar à baixas velocidades, não cabem na formulação lagrangiana. Podemos usar, nestes casos, a função de dissipação de Rayleigh.

87 - Partícula Carregada num Campo Eletromagnético Exemplo 21: Determinar a lagrangiana de uma partícula carregada em um campo eletromagnético externo. A força experimentada por uma carga elétrica e em movimento num campo eletromagnético externo é a força de Lorentz (em unidades CGS gaussianas) F = e E + v c B As equações de Maxwell permitem escrever os campos em termos de um potencial escalar ϕ(r, t) e de um potencial vetor A(r, t) da seguinte maneira: E = φ 1 c A t, B = A

88 - Partícula Carregada num Campo Eletromagnético Utilizando como coordenadas as próprias coordenadas cartesianas da partícula, as componentes da força generalizada coincidem as componentes cartesianas da força de Lorentz. Considere, portanto F = e dq k U q k φ 1 c A t + 1 c v A Pretendemos mostrar que F pode ser representada na forma Q k = d U U para alguma função U. Mas em Q dt q k = k d dt U dq k aparece uma derivada total em relação ao tempo, ao A passo que em F = e φ v A a derivada é c t c parcial. Podemos introduzir uma derivada total em F = e φ 1 c A t + 1 c v A notando que

89 - Partícula Carregada num Campo Eletromagnético da dt = A A A A x + y + z + x y z t = Usando ainda A v A + t v A = v A v A, pois o operador nabla só afeta as variáveis de posição, podemos escrever F = e φ 1 c da dt + 1 c v A

90 - Partícula Carregada num Campo Eletromagnético Com o uso do operador v = i x + j j + k z e levando em conta que as coordenadas e velocidades generalizadas são tratadas como quantidades independentes, ficamos com F = e φ 1 c v A e c da dt F = eφ e c v A + d dt v eφ 1 c v A pois φ e A não dependem da velocidade

91 - Partícula Carregada num Campo Eletromagnético Levando-se em conta que q 1 = x, q 2 = y, q 3 = z, a força F assume a forma da equação Q k = d dt U dq k U q k com U = eφ e c v A de modo que L = T U = mv2 2 eφ + e c v A É a lagrangeana de uma partícula carregada num campo eletromagnético externo.

92 - Partícula Carregada num Campo Eletromagnético O momento canônico é dado por p i = L x i = mx i + e c A i r, t, i = 1, 2,3 p = mv e c A OBS: no sistema internacional o termo 1 c expressão da lagrangiana fica desaparece e a L = T U = mv2 2 eφ + ev A

93 - Partícula Livre Relativística Vamos construir a lagrangiana de uma partícula livre relativística. Uma quantidade invariante de Lorentz envolvendo diretamente as coordenadas do espaço-tempo (de Minkowiski, sem gravidade) é a métrica descrita pelo elemento de linha ds 2 = c 2 dt 2 dr 2 em que c é a velocidade da luz no vácuo.

94 - Partícula Livre Relativística A ação da partícula livre relativística pode ser proporcional a integral de qualquer potencia de ds. Vamos, por simplicidade, considerar a ação na forma 2 S= α ds 1 onde é uma constante a ser determinada. Vamos escrever a expressão numa forma mais conveniente 2 S= α c 2 dt 2 dr 2 = αc 1 v2 1 1 dt c 2 onde v = dr. Aqui podemos identificar a lagrangiana da partícula por dt L = αc 1 v2 c 2 dt 2 v2 = αc 1 c 2 1 2

95 - Partícula Livre Relativística No limite não-relativístico, v c, temos L αc O primeiro termo desta equação é uma constante, que não altera as equações de movimento pois estas são obtidas por derivação de L. α v 2 c 2 = αc 1 2 α c v2 O segundo termo 1 2 c v2 deve ser identificado como a energia cinética não relativística 1 2 mv2, onde m é a massa de repouso da partícula; então α = mc. Logo L = αc 1 v2 c 2 = mc2 1 v2 c 2

96 - Partícula Livre Relativística Daqui podemos obter quantidades importantes como o momento relativístico e a energia relativística da partícula. Vejamos primeiro o momento relativístico. Notando que v 2 = 3 j=1 x 2 j, temos p i = L x i = mc 2 x 1 = mc j x 2 j c 2 j 1 x 2 j 12 c = 2x i c 2 p i = mx i 1 v2 c 2 p = m 1 v2 c 2 v i = 1, 2, 3