Pêndulo Duplo ou Lição 0 de Mecânica Lagrangiana, Análise Numérica e Teoria do Caos

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1 Pêndulo Duplo ou Lição 0 de Mecânica Lagrangiana, Análise Numérica e Teoria do Caos Pedro Queiroz Departamento de Física Instituto Superior Técnico Novembro de Introdução O Problema 3 da Série 8 de Introdução à Computação 1 requer a compreensão da mecânica de um pêndulo duplo (Figura 1) e, portanto, exige a resolução de equações de movimento algo complexas. O sistema diz-se caótico, isto é, o seu comportamento é altamente dependente das condições iniciais (neste caso, os valores iniciais θ 1 e θ ). Está fora do âmbito da cadeira que os alunos dominem as técnicas matemáticas aqui descritas, mas tão só que tenham uma noção dos cálculos que conduzem ao modelo que vão implementar no seu programa. É também um primeiro contacto com alguns métodos de cálculo (analítico e numérico) de grande utilidade e aplicação em Física. Figura 1: Pêndulo duplo [1]

2 Equações de Lagrange Uma das ferramentas da Mecânica Clássica utilizadas para abordar sistemas complexos são as Equações de Lagrange [, 3]..1 Lagrangiano L (q 1, q,..., q s, q 1, q,..., q s, t) = T V (1) d = 0 (i = 1,,..., s) () dt q i q i L Lagrangiano T Energia cinética do sistema V Energia potencial do sistema q i Coordenada generalizada t Tempo O Lagrangiano L para um sistema clássico com s graus de liberdade é definido por (1). No caso do pêndulo duplo: s = q 1 = θ 1 q = θ A partir de () (chamada Equação de Lagrange ou Equação de Euler-Lagrange, consoante a sua aplicação) podemos deduzir as equações de movimento do sistema []. Para m 1 : T 1 = 1 m 1l 1 θ 1 U 1 = m 1 gl l cos θ 1 Para m os cálculos são um pouco mais complexos. Recorrendo às coornadas cartesianas x e y (origem das coordenadas no ponto de suspensão e eixo das ordenadas vertical e com sentido para baixo): Obtemos assim: T = m E, por fim: (ẋ + ẏ ) = m x = l 1 sin θ 1 + l sin θ y = l 1 cos θ 1 + l cos θ [l 1 θ 1 + l θ + l 1 l cos (θ 1 θ ) θ 1 θ ] L = m 1 + m l1 θ 1 + m l θ + m l 1 l θ1 θ cos (θ 1 θ ) + + (m 1 + m ) gl 1 cos θ 1 + m gl cos θ O formalismo lagrangiano é muito mais abrangente e complexo, mas deixemos isso para outras núpcias.

3 . Equações de Movimento O Lagrangiano em si não tem significado físico, mas permite, como dito anteriormente, deduzir as equações de movimento do sistema [1]. Comecemos por θ 1 : θ = (m 1 + m ) l θ m l 1 l θ cos (θ 1 θ ) ( ) 1 d dt θ = (m 1 + m ) l θ m l 1 l θ cos (θ 1 θ ) 1 ( m l 1 l θ sin (θ 1 θ ) θ 1 θ ) () toma assim a forma: θ 1 = l 1 g(m 1 + m ) sin (θ 1 ) m l 1 l θ1 θ sin (θ 1 θ ) (m 1 + m ) l 1 θ 1 + m l 1 l θ cos (θ 1 θ ) + m l 1 l θ sin (θ 1 θ ) + Dividindo por l 1 isto simplifica-se para: +l 1 g (m 1 + m ) sin (θ 1 ) = 0 (m 1 + m ) l 1 θ1 + m l θ cos (θ 1 θ ) + m l θ sin (θ 1 θ ) + (3) Da mesma forma, para θ : +g (m 1 + m ) sin (θ 1 ) = 0 (4) θ = m l θ + m l 1 l θ1 cos (θ 1 θ ) ( ) d dt θ = m l θ ( + m l 1 l θ1 cos (θ 1 θ ) m l 1 l θ1 sin (θ 1 θ ) θ 1 ) θ = m l 1 l θ1 dotθ sin (θ 1 θ ) l m g sin θ θ () para θ torna-se (dividindo já por l ): m l θ + m l 1 θ1 cos (θ 1 θ ) m l 1 θ 1 sin (θ 1 θ ) + m g sin θ = 0 (5) O sistema de equações diferenciais de segunda ordem formado por (3) e (5) pode ser resolvido numericamente em ordem a θ 1 (t) e θ (t). A Figura mostra uma solução particular do problema, que permite rapidamente concluir que estamos perante um movimento complexo. Convém relembrar que estamos perante um sistema caótico, pelo que os resultados dependerão muito dos valores dados às diversas variáveis. 3 Solução Numérica 3.1 Método de Euler Como já foi dito na secção anterior, o pêndulo duplo leva-nos a equações que só podem ser resolvidas numericamente. Um problema de equações diferencias ordinárias tem a forma: y = f (x, y) y (x 0 ) = Y 0 (6) 3

4 Figura : Resultados numéricos para o movimento do pêndulo duplo [1]. Os métodos numéricos mais populares para resolver (6) são chamados de métodos de diferenças finitas. Um dos mais simples é o Método de Euler [4]. Seja Y (x) a solução exacta e y(x) a solução aproximada. Vamos definir nodos x 0, x 1,..., x n,... onde queremos calcular valores da nossa função y 0, y 1,..., y n,... (y n y (x n )): x j = x 0 + jh j = 0, 1,... O valor de h tem de ser escolhido inferior ao tempo típico de evolução do sistema [5]. O Método de Euler diz-nos então que: y n+1 = y n + hf (x n, y n ) (n = 0, 1,,... ) 3. Problema do Pêndulo Duplo Voltemo-nos então de novo para o nosso problema. Vamos agora partir o nosso sistema em dois diferentes. O primeiro relaciona θ 1 e θ com as suas derivadas θ 1 e θ. A solução numérica é trivialmente simples: θ 1,j = θ 1,j 1 + θ 1,j δt θ,j = θ,j 1 + θ,j δt Note-se que é aqui, na escolha de θ 1,j e θ,j em vez de θ 1,j 1 e θ,j 1 que surge o Método de Euler-Cromer. Esta nova escolha implica que se resolva o resto do problema em primeiro lugar. E o resto não é tão fácil. Comecemos por estabelecer ω θ e, consequentemente, ω = θ. Resolvendo o sistema de equações formado por (3) e (5) em ordem a θ 1 e θ obtemos [6]: ω 1 = ω = g(m1+m) sin θ1 mg sin(θ1 θ) sin(θ1 θ)m(ω l ω 1l1 cos(θ1 θ)) l 1(m 1+m m cos(θ 1 θ )) sin(θ 1 θ )(ω 1 l1(m1+m)+g(m1+m) cos θ1+ω lm cos(θ1 θ)) l (m 1+m m cos(θ 1 θ )) 4

5 Deve ser agora claro o que o nosso programa tem de fazer (para simplificar, seja α ω): α 1,j = g(m 1+m ) sin θ 1,j m g sin(θ 1,j θ,j ) sin(θ 1,j θ,j )m (ω,j l ω 1,j l 1 cos(θ 1,j θ,j )) l 1 (m 1 +m m cos(θ 1,j θ,j )) α,j = ω 1,j+1 = ω,j+1 = θ 1,j+1 = θ,j+1 = sin(θ 1,j θ,j )(ω 1,j l 1(m 1 +m )+g(m 1 +m ) cos θ 1,j +ω,j l m cos(θ 1,j θ,j )) l (m 1 +m m cos(θ 1,j θ,j )) ω 1,j + α 1,j δt ω,j + α,j δt θ 1,j + ω 1,j+1 δt θ,j + ω,j+1 δt α 1,j+1 =... α,j+1 =... Referências [1] E.W. Weisstein, Double Pendulum, Eric Weisstein s World of Physics ( Wolfram Research. [] L.D. Landau e E.M. Lifshitz, Mecânica (Física Teórica Vol. 1), Editora Mir, Moscovo (1978). [3] V.I. Arnold, Métodos Matemáticos da Mecânica Clássica, Editora Mir, Moscovo (1987). [4] K.E. Atkinson, An Introduction to Numerical Analysis (Second Edition), John Wiley & Sons, Nova Iorque (1988). [5] J. Seixas, Introdução à Computação em Ciência e Engenharia, Escolar Editora, Lisboa (005). [6] E. Neumann, Double Pendulum Physics Simulation, My Physics Lab ( (004). 5