Mecânica Clássica II 2002/2003

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1 Mecânica Clássica II 2002/2003 Programa 1. Pequenas oscilações. Modos e coordenadas normais de vibração. Vibrações forçadas e forças dissipativas. 2. Postulados da teoria restrita da relatividade. Transformações de Lorentz. Adição de velocidades. Tensor da métrica. Formulação lagrangiana e hamiltoniana da mecânica relativista. (Introdução à teoria generalizada da relatividade.) 3. Caos clássico. Atractores. Trajectórias caóticas. Expoentes de Liapunov. Mapas de Poincaré. Hamiltoniano de Hénon-Heiles. Bifurcações. Oscilador harmónico forçado e amortecido. Ressonância paramétrica. Equação logística. Fractais. Dimensão fractal. 4. Tensor das pequenas deformações de um meio contínuo. Tensor das tensões. Equilíbrio estático de um meio contínuo deformável. Notação de Voigt. Lei de Hooke generalizada. Constantes elásticas. 5. Derivada material e campo de velocidades num meio contínuo deformável. Aproximação linear para sólidos. Propagação de ondas num meio contínuo deformável, isotrópico e infinito. 6. Equação de equilíbrio para fluidos em repouso. Fluidos compressíveis e incompressíveis. Equação de Euler para um fluido perfeito. Equação de Bernoulli. Escoamento irrotacional. Viscosidade. Equação de Navier-Stokes. Dissipação viscosa de energia. Propagação do som num fluido viscoso e não-viscoso. i

2 Bibliografia Classical Mechanics, 3 rd edition, H. Goldstein, C. Poole, and J. Safko (Addison Wesley, San Francisco, 2002) ISBN: Capítulos 6, 7 e 11 (excepto Secções 7.5, 7.8 e 7.11) Mechanics of Deformable Media, A. B. Bhatia and R. N. Singh (Adam Hilger, Bristol, 1986) ISBN: Capítulos 1 6, 9 11 e (excepto Secções 3.7 e 6.6) Bibliografia Adicional Mechanics: Course of Theoretical Physics, Vol. 1, L. D. Landau and E. M. Lifshitz (Butterworth-Heinemann, Oxford, 1981) ISBN: The Classical Theory of Fields: Course of Theoretical Physics, Vol. 2, L. D. Landau and E. M. Lifshitz (Butterworth-Heinemann, Oxford, 1987) ISBN: Theory of Elasticity: Course of Theoretical Physics, Vol. 7, L. D. Landau, E. M. Lifshitz, A. M. Kosevich, and L. P. Pitaevskii (Butterworth-Heinemann, Oxford, 1986) ISBN: X Fluid Mechanics: Course of Theoretical Physics, Vol. 6, L. D. Landau and E. M. Lifshitz (Butterworth-Heinemann, Oxford, 1996) ISBN: Physical Fluid Dynamics, D. J. Tritton (Clarendon Press, Oxford, 1988) ISBN: Physical Hydrodynamics, E. Guyon, J.-P. Hulin, L. Petit, and C. D. Mitescu (Oxford University Press, Oxford, 2001) ISBN: ii

3 Aulas Teóricas 1. Apresentação. Programa e regras de avaliação. (24/2) 2. Pequenas oscilações: formulação do problema. A equação de valores próprios e a transformação para o sistema de eixos principais. (25/2) 3. Frequências de vibração livre e modos normais de vibração. (3/3) 4. Vibrações forçadas. Forças dissipativas. (10/3) 5. Vibrações livres de uma molécula triatómica linear. (11/3) 6. Transformações ortogonais de coordenadas. Escalares, vectores e tensores. Componentes covariantes e contravariantes. O tensor da métrica. (17/3) 7. Postulados da teoria restrita da relatividade. Transformações de Lorentz. (18/3) 8. Adição de velocidades. Grupo de Poincaré. Tetravectores velocidade e momento. Formulação lagrangiana e hamiltoniana da mecânica relativista. (25/3) 9. Dinâmica relativista: partícula livre, partícula carregada num campo electromagnético. (31/3) 10. Formulação covariante das equações de Maxwell. O tensor do campo electromagnético. Forças na teoria restrita da relatividade. Teoria de colisões relativista. (1/4) 11. Teoria de colisões relativista (conclusão). (7/4) 12. Oscilador harmónico forçado e amortecido. Oscilador de van der Pol. Raízes duma equação pelo método de Newton. Atractores. Trajectórias caóticas. (8/4) 13. Hamiltoniano de Hénon-Heiles. Mapa logístico. Mapas de Poincaré. Bifurcações. (22/4) 14. Expoentes de Lyapunov. Fractais. Dimensão fractal. Tensor das deformações. (28/4) 15. Tensor das tensões. Equilíbrio estático de um meio contínuo deformável. (29/4) 16. Notação de Voigt. Lei de Hooke generalizada. Constantes elásticas. (12/5) 17. Módulo de Young. Razão de Poisson. Derivada material e campo de velocidades num meio contínuo deformável. Aproximação linear para sólidos. Propagação de ondas num meio contínuo deformável, isotrópico e infinito. (13/5) 18. Equação de equilíbrio para fluidos em repouso. Fluidos compressíveis e incompressíveis. (19/5) 19. Equação de Euler para um fluido perfeito. Equação de continuidade. (20/5) 20. Equação de Bernoulli. Escoamento irrotacional. Teorema de Helmholtz-Kelvin. (26/5) 21. Conservação da quantidade de movimento num fluido perfeito. Viscosidade. (27/5) 22. Equação de Navier-Stokes. Dissipação viscosa de energia. (2/6) 23. Escoamento laminar. Número de Reynolds e turbulência. Conclusão do curso. (3/6) iii

4 Aulas Teorico-Práticas 1. Modos normais de vibração I. (3/3) 2. Modos normais de vibração II. (10/3) 3. Modos normais de vibração III. (17/3) 4. Transformações de Lorentz. Precessão de Thomas. Aberração da luz. (31/3) 5. Dinâmica relativista: partícula sujeita a uma força constante, oscilador harmónico. (31/3) (Aula de substituição da aula de 24/3, leccionada das 18h às 20h.) 6. Colisões relativistas. (7/4) 7. Tensores das deformações e das tensões. (28/4) 8. Lei de Hooke e equilíbrio estático de um meio contínuo deformável I. (12/5) 9. Lei de Hooke e equilíbrio estático de um meio contínuo deformável II. (19/5) 10. Equilíbrio estático de fluidos compressíveis. (19/5) (Aula suplementar, leccionada das 18h às 20h.) 11. Equação de Bernoulli. Escoamento irrotacional I. (26/5) 12. Escoamento irrotacional II. (2/6) iv

5 Avaliação Época normal 2 exames de frequência (2 horas, 5 valores cada) 4 problemas resolvidos em casa (0,5 valores cada) Exame final (3 horas, 8 valores) Época de recurso Exame de recurso (3 horas, 20 valores) Datas da avaliação Problema Data limite de entrega da resolução 1º Problema 24/3 2º Problema 7/4 3º Problema 19/5 4º Problema 2/6 (O enunciado é distribuído na aula teorico-prática anterior.) Exame Dia Hora 1ª Frequência 9/4 14h30 2ª Frequência 4/6 14h30 Exame normal 30/6 9h30 Exame de recurso 18/7 9h30 Atendimento de alunos Segunda e terça-feira, das 10h às 11h30. v