FENÔMENOS DE TRANSPORTES

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1 FENÔMENOS DE TRANSPORTES AULA 6 CINEMÁTICA DOS FLUIDOS PROF.: KAIO DUTRA

2 Conservação da Massa O primeiro princípio físico para o qual nós aplicamos a relação entre as formulações de sistema e de volume de controle é o princípio de conservação da massa: a massa do sistema permanece constante. Formulação de volume de controle da conservação de massa:

3 Conservação da Massa O primeiro termo representa a taxa de variação da massa dentro do volume de controle; o segundo termo representa a taxa líquida de fluxo de massa para fora através da superfície de controle. A Equação indica que a soma da taxa de variação da massa dentro do volume de controle com a taxa líquida de fluxo de massa através da superfície de controle é zero. A equação da conservação da massa é também chamada de equação da continuidade.

4 Conservação da Massa Ao usar a Equação da Continuidade, um cuidado deve ser tomado na avaliação do produto escalar : ele pode ser positivo (escoamentos para fora (b), α = 0) ou negativo (escoamento para dentro, α = 180 ).

5 Conservação da Massa Casos especiais Considere primeiramente, o caso de um fluido incompressível, no qual a massa específica permanece constante. Quando ρ é constante, ele não é uma função do espaço e nem do tempo. Consequentemente, para fluidos incompressíveis: A integral de sobre todo o volume de controle é simplesmente o volume total do volume de controle. Assim, dividindo por ρ, escrevemos: Para um volume de controle não deformável, de forma e tamanho fixos, o volume é constante. A conservação de massa torna-se:

6 Conservação da Massa Casos especiais As dimensões do integrando na Equação da continuidade é L³/t. A integral sobre uma seção da superfície de controle é comumente chamada taxa de fluxo de volume ou vazão em volume, ou ainda vazão volumétrica. Desse modo, para um escoamento incompressível, a vazão volumétrica para dentro de um volume de controle deve ser igual à vazão volumétrica para fora do volume de controle. A vazão volumétrica Q, através de uma seção de uma superfície de controle de área A, é dada por: Velocidade Média:

7 Exemplo 1 Considere o escoamento permanente de água em uma junção de tubos conforme mostrado no diagrama. As áreas das seções são: A1 = 0,2 m², A2 = 0,2 m² e A3 = 0,15 m². O fluido também vaza para fora do tubo através de um orifício em com uma vazão volumétrica estimada em 0,1 m³/s. As velocidades médias nas seções 1 e 3 são V1 = 5 m/s e V3 = 12 m/s, respectivamente. Determine a velocidade do escoamento na seção 2.

8 Equação da Quantidade de movimento para um Volume de Controle A segunda lei de Newton, para um sistema movendo-se em relação a um sistema de coordenadas inerciais pode ser escrita pela equação abaixo: Onde define-se que a taxa de variação da quantidade de movimento com o tempo é igual a força que a modifica. Onde a quantidade de movimento linear do sistema é dada por: dp = Vdm

9 Equação da Quantidade de movimento para um Volume de Controle Desta forma a taxa de variação da quantidade de movimento linear com o tempo pode ser escrita da seguinte forma: dp dt = V dm dt Substituindo a taxa de variação da massa com o tempo na equação do momento, temos:

10 Equação da Quantidade de movimento para um Volume de Controle As foças geradoras de perturbação na quantidade de movimento são de duas formas (superfície (S) e campo (B)): Então teremos:

11 Equação da Quantidade de movimento para um Volume de Controle A Equação abaixo estabelece que a força total atuando sobre o volume de controle é igual à taxa de variação da quantidade de movimento dentro do volume de controle (a integral de volume) e/ou à taxa líquida na qual a quantidade de movimento está entrando ou saindo do volume de controle através da superfície de controle.

12 Equação da Quantidade de movimento para um Volume de Controle A equação da quantidade de movimento é uma equação vetorial. Geralmente escreveremos as três componentes escalares, como medidas nas coordenadas xyz do volume de controle. Obs.: O sinal do produto escalar da velocidade com a área deve ser conforme a equação da continuidade, onde escoamentos para fora são positivos, escoamentos para dentro são negativos.

13 Equação da Quantidade de movimento Análise Diferencial Já vimos que a segunda lei de Newton para um sistema é dada por: Para um sistema infinitesimal de massa dm, a segunda lei de Newton pode ser escrita: Introduzindo a aceleração de um elemento de fluido de massa dm em movimento em um campo de velocidade, podemos escrever a segunda lei de Newton na seguinte forma vetorial:

14 Equação da Quantidade de movimento Análise Diferencial As forças que atuam sobre um elemento fluido podem ser classificadas como forças de campo e forças de superfície; forças de superfície incluem tanto forças normais quanto forças tangenciais (de cisalhamento). Se as tensões no centro do elemento diferencial forem tomadas como σ xx, τ yx e τ zx, então as tensões atuando na direção x em cada face do elemento (obtidas por uma expansão em séries de Taylor em torno do centro do elemento) serão conforme mostrado na figura.

15 Equação da Quantidade de movimento Análise Diferencial Para obter a força de superfície resultante na direção x, df Sx, devemos somar as forças nesta direção:

16 Equação da Quantidade de movimento Análise Diferencial Quando a força da gravidade é a única força de corpo atuante, a força de corpo por unidade de massa é igual: Expressões semelhantes podem ser deduzidas para as componentes da força nas direções y e z:

17 Equação da Quantidade de movimento Análise Diferencial Então temos duas expressões para as componentes de df, teremos: Igualando as duas expressões, teremos a expressão para a quantidade de movimento:

18 Equação de Navier-Stokes Para um fluido newtoniano, a tensão viscosa é diretamente proporcional à taxa de deformação por cisalhamento. Aplicando expressões complexas que relacionam tensão e viscosidade obtém-se as famosas Equações de Navier- Stokes.

19 Equação de Navier-Stokes As equações de Navier-Sotkes são bastante simplificadas quando aplicadas ao escoamento incompressível com viscosidade constante. Sob estas condições, as equações se reduzem a:

20 Equação de Navier-Stokes Esta forma das equações de Navier-Stokes é provavelmente (junto com a equação de Bernoulli) o conjunto de equações mais famoso em mecânica dos fluidos, e tem sido largamente estudado. Por exemplo, teoria de lubrificação (descrição do comportamento de rolamento de máquinas), escoamento em tubos, e até mesmo o movimento do seu café quando você o mexe, são explicadas por essas equações. Infelizmente, elas não podem ser resolvidas analiticamente. Para situações mais complexas, tais como um sistema de clima global como o El Niño ou a sustentação em uma asa, as soluções para a equação de Navier-Stokes frequentemente devem ser encontradas com a ajuda de computadores. Francês Claude Louis Marie Henri Navier Irlandês George Gabriel Stokes

21 Equação de Navier-Stokes Embora estas equações foram escritas no século 19, ainda não foi comprovado que, as três dimensões existem sempre soluções, ou que, se elas existem, então não contêm qualquer singularidade (ou infinito ou descontinuidade). Existe um prêmio de U$ que foi oferecido em Maio de 2000 pelo o Instituto de Matemática Clay para qualquer um que fizer progressos substanciais na direção de uma matemática teórica que possa ajudar a entender este fenômeno. Francês Claude Louis Marie Henri Navier Irlandês George Gabriel Stokes

22 Exemplo 2 A água sai de um bocal estacionário e atinge uma placa plana, conforme mostrado. A água deixa o bocal a 15 m/s; a área do bocal é 0,01 m². Considerando que a água é dirigida normal à placa e que escoa totalmente ao longo da placa, determine a força horizontal sobre o suporte.

23 Exemplo 3 Uma placa plana com um orifício de 50 mm de diâmetro está instalada na extremidade de um tubo de 100 mm de diâmetro. Água escoa através do tubo e do orifício com uma vazão de 0,05 m³/s. O diâmetro do jato a jusante do orifício é 38 mm. Calcule a força externa necessária para manter a placa de orifício no lugar. Despreze o atrito na parede do tubo.

24 Exercícios F x =-954,7N

25 Exercícios F=132N

26 Exercícios

27 Exercícios

28 Exercícios A figura mostra um redutor em uma tubulação. O volume interno do redutor é 0,2 m3e a sua massa é 25 kg. Avalie a força total de reação que deve ser feita pelos tubos adjacentes para suportar o redutor. O fluido é a gasolina (SG=0,72). Fx=4679N.