Problemas de Física Estatística e Termodinâmica

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1 1 Problemas de Física Estatística e Termodinâmica Todas as grandezas físicas se supõem expressas no Sistema Internacional de Unidades. 1. Uma variável aleatória y pode tomar valores no conjunto {1,2,3,4,5} com as probabilidades dadas por p(y) = y/c. (a) Determine C. (b) Determine o valor médio de y, y. (c) Determine o valor médio da função g(y) = y Uma variável aleatória real x tem uma distribuição de probabilidade dada por f(x) = Ae 5x2. Determine A, x, x Uma variável aleatória real x tem uma distribuição de probabilidade dada por f(x) = Ae x2 +2x. Determine A, x, x Num gás com N 0 molećulas, o número de molećulas qua ainda não colidiram ao fim do tempo t é dado por N(t) = Ae βt. (a) Qual a probabilidade de uma molécula sofrer uma colisão entre t e t + dt? (b) Determine A. (c) Qual a fracção de moléculas que colidem entre t e t + dt? (d) Determine o tempo médio ao fim do qual uma molécula sofre uma colisão. 5. Represente o movimento, no espaço-fase, de uma partícula livre unidimensional. 6. Represente a trajectória, no espaço-fase, de oscilador harmónico simples unidimensional. Calcule o número de estados do oscilador com energia: inferior a E; entre E e E + de. 7. Um sistema A troca energia com o meio (A ). O conjunto está isolado. (a) Maximize probabilidade de o subsistema ter energia E e daí defina a igualdade de temperaturas. (b) No equilíbrio, qual a probabilidade de o subsistema se encontrar num certo estado r? (c) Qual a probabilidade de uma molécula num gás ideal ter velocidade entre v e v + d v? (d) Calcule a densidade de estados para uma partícula livre numa caixa em 3 dimensões espaciais. Daí obtenha a densidade de probabilidade da energia da partícula. (e) Calcule a energia cinética média de uma molécula no gás ideal.

2 2 8. Recorde a definição de função de partição. Determine: (a) a função de partição de um gás ideal; (b) a pressão de um gás ideal usando a função de partição. (c) a entropia do gás ideal à temperatura T; (d) a flutuação quadrática média da energia do gás ideal. 9. Derive a lei das atmosferas para um gás no campo gravítico constante. Considerando as massas moleculares de O 2, N 2, CO 2, discuta a concentração desses gases em função da altura. Que altitudes seria necessário atingir para haver uma variação significativa da concentração? A lei ainda seria válida? 10. Escreva a função de partição, Z, de um paramagnete (spin 1/2) num campo magnético externo, à temperatura T. (a) Determine a energia livre F. (b) Determine a magnetização. Relacione-a com uma derivada de Z. 11. Calcule a energia média de um oscilador harmónico simples bidimensional à temperatura T. Determine o tamanho médio do oscilador, x 2 + y 2. Obtenha a função de partição. 12. Repita o problema anterior para o caso de o oscilador ser anisotrópico. 13. Considere o conjunto {1,2,3,4,5}. Quantos subconjuntos de 3 elementos se pode fazer? 14. Uma variável aleatória y toma os valores 1 ou 1 com a mesma probabilidade. Calcule i=1,100 y i, ( ) 2 i=1,100 y i. 15. Mostre que as flutuações de uma grandeza física extensiva, f, se tornam menos importantes quanto maior for o sistema. 16. Considere o diferencial da energia de = pdv + T ds. (a) Defina a energia de Helmoltz, F. (b) Determine as (primeiras) derivadas parciais de F. (c) Iguale as segundas derivadas parciais cruzadas de F, obtendo assim uma relação de Maxwell. (d) Repita as duas alíneas anteriores para as funções H = E + pv e G = E TS + pv. Estude as secções 5.5 e 5.6 do livro de Reif.

3 3 17. Estime a velocidade de uma molécula do ar à temperatura ambiente. 18. Um oscilador harmónico simples unidimensional tem níveis de energia ǫ n = (h ) hω, segundo a teoria quântica. Cada estado do oscilador é caracterizado pelo valor de n (= 0, 1, 2,...). (a) Escreva a função de partição do oscilador. Calcule-a. (b) Escreva a expressão da energia média do oscilador. (c) Relacionando-a com uma derivada da função de partição, calcule a energia média do oscilador. (d) Determine o calor específico c = E / T. 19. O átomo de hidrogénio tem estados caracterizados por 3 números quânticos orbitais: n, l, m. (a) O átomo de hidrogénio tem um estado fundamental (com n = 1) e 4 estados com n = 2. Calcule o quociente entre as probabilidades de encontrar n = 2 e n = 1. Para que temperaturas esse quociente fica apreciável? (b) Caracterizando os estados do átomo de hidrogénio por números quânticos (n, l, m), escreva a função de partição. (c) Escreva a expressão da energia média do átomo de hidrogénio à temperatura T. (d) E o spin? Foi esquecido? 20. Considere um conjunto formado por dois sistemas independentes. Designe por r um microestado do sistema 1 e s um microestado do sistema 2. (a) Escreva a função de partição do conjunto e mostre que é o produto das funções de partição individuais. (b) Relacione a energia livre F do conjunto com as energias livres individuais. (c) Relacione a entropia do conjunto com as entropias individuais. 21. Considere um conjunto de 3 spins 1/2. O momento magnético m de cada um pode ser ±µ. A energia total do sistema é µb no campo magnético de intensidade B. Suponha que o spin 1 é o (sub)sistema e que os spins 2 e 3 são o reservatório. (a) Se o subsistema estiver no estado +µ quanto microestados são acessíveis ao conjunto? (b) Se o subsistema estiver no estado µ quantos microestados são acessíveis ao conjunto? 22. Considere um conjunto de N spins 1/2 onde N 1. Há um campo magnético de intensidade B. O momento magnético de cada spin, ao longo do eixo do campo, pode ser ±µ. Suponha que n spins estão com momento +µ.

4 4 (a) Quantos microestados existem assim? Designe esse número de microestados por Ω(n). (b) Escreva a entropia S(n). Supondo n 1, faça uma aproximação baseada na fórmula de Stirling. (c) Escreva a energia em função de n, ou seja, E(n). (d) Calcule a temperatura pela definição 1 T = S E. (e) Discuta o sinal da temperatura que obteve: existem temperaturas negativas?! 23. Considere a reacção química entre gases: CO 2 + H 2 CO + H 2 O. A reacção ocorre à temperatura T numa caixa de volume V. (a) A reacção é acompanhada de absorção ou de libertação calor? (b) Escreva a energia livre, F, do sistema constituido pelos 4 gases. (c) Escreva a variação de F quando se dá a reacção química entre uma molécula de CO 2 e outra de H 2. (d) Considerando a situação de equilíbrio, ou seja, que F = 0, obtenha a relação entre as quantidades das várias substâncias. (e) Determine a constante de equilíbrio. Como varia com a temperatura? 24. Considere a lei dos gases ideais pv = NkT e ainda o facto de a energia ser dada por E = 3 2 NkT. Suponha que expande o volume de V 1 para V 2 sem permitir que haja troca de calor com o ambiente. (a) Como vão variar a energia, a temperatura e a pressão (qualitativamente)? (b) Escreva a variação de energia pensando no trabalho. (c) Escreva a variação de energia pensando na variação da temperatura. (d) Usando a lei dos gases, relacione a variação do volume com a variação da temperatura. Calcule a variação da temperatura. (e) Calcule a pressão enquanto o volume variava. 25. Considere a lei dos gases ideais pv = N kt. Num gráfico, trace linhas p(v ) para uma temperatura alta e para uma temperatura baixa. (a) Suponha que expande o gás a temperatura constante desde o volume V 1 até volume V 2. Represente essa transformação no gráfico. Quanto foi o calor e quanto foi o trabalho? (b) Suponha que expande o volume de V 2 para V 3 sem permitir que haja calor (como no problema anterior). Represente no gráfico.

5 5 (c) Suponha que reduz o volume de V 3 para V 4 a temperatura constante. Represente no gráfico. (d) Suponha que reduz o volume de V 4 para V 1 (que era o inicial) sem permitir que haja calor. Represente no gráfico. (e) Este ciclo chama-se ciclo de Carnot. Como se determina o trabalho total através do gráfico? 26. Considere um gás ideal clássico numa caixa com certo volume e temperatura. (a) Calcule o potencial químico. [Sugestão : utilize µ = F/ N] (b) Calcule a energia de Gibbs G. 27. Considere a reacção química entre gases: 3H 2 + N 2 2NH 3 dentro de uma caixa de volume V. (a) Quando se atingir o equilíbrio, qual a relação entre os potenciais químicos dos gases? (b) Substitua as expressões dos potenciais químicos pelo resultado obtido no problema 26. (c) Escreva a expressão da constante de equilíbrio nesta aproximação. 28. Considere um gás a uma temperatura T 1. Ele encontra-se num recipiente com um êmbolo móvel que mantém a pressão constante. Suponha que o gás é colocado em contacto com um termostato à temperatura T 2 > T 1. (a) Relacione as variações de volume e temperatura do gás. (b) Calcule a variação de energia, calor e trabalho até ser atingida a temperatura T 2. (c) Considerando o diferencial da energia, calcule o diferencial da entropia. (d) Integre de modo a obter a variação da entropia. (e) Calcule a variação da energia livre F a partir do seu diferencial. (f) Calcule a variação da energia livre de Gibbs G. 29. Para calcular a função de partição de um líquido, suponha que o líquido é como um gás de N moléculas que se movimentam num volume Nv o, onde v 0 é o volume por molécula, e cada uma tem energia potencial constante η, negativa, devido à interacção com as outras. (a) Escreva o Hamiltoniano de uma mo lécula do líquido.

6 6 (b) Calcule a função de partição de uma molécula, z, supondo que ela se move num volume Nv o. (c) Escreva a função de partição do líquido e a energia livre F. (d) Determine o potencial químico e a entropia. 30. Os resultados do problema anterior podem ser usados para estudar a fusão. Considere que tem N l moléculas de líquido e N g moléculas de gás. Considere agora a função de partição de um gás. (a) Escreva os resultados do problema 29 para o gás. (b) Igualando os potenciais químicos do gás e do líquido, obtenha a pressão de vapor em equilíbrio. (c) Calcule a diferença de entropias, por molécula, entre o líquido e o gás. (d) Considerando que gás e líquido estão em equilíbrio (alínea (a)), obtenha o calor de fusão por molécula. (e) Estime o valor do calor de fusão para a água, sabendo que no ponto de fusão p = 1atm, T =373,15K, etc. 31. Um pêndulo tem comprimento L e massa m e a sua posição é dada pelo ângulo θ com a vertical. Calcule a média de θ 2 à temperatura T. 32. Para um circuito RLC em série: (a) Escreva a equação diferencial da corrente no circuito e da carga no condensador. (b) Faça uma analogia entre este sistema e o oscilador harmónico simples. (c) Com base na analogia, calcule 1 2 LI2 à temperatura T. 33. Escreva a expressão da função de partição para um sistema de bosões e para um sistema de fermiôes independentes. Mostre que a ocupação n i do estado i é dada por n i = F/ ǫ i, onde F é a energia livre. 34. Considere que tem duas partículas e existem 3 estados quânticos (estado 1, 2 e 3). (a) Escreva a função de partição supondo que as partículas são distinguíveis obedecendo à estatística clássica de Boltzman. (b) Repita supondo que são indistinguíveis. (c) Escreva a função de partição supondo que as partículas são dois bosões idênticos. (d) Escreva a função de partição supondo que as partículas são dois fermiões idênticos. (e) Calcule o número de ocupação do estado 1 em cada caso.

7 7 35. Considere um conjunto de fermiões independentes com potencial químico µ. (a) Escreva a função de partição e determine a entropia. (b) Expresse a entropia à custa das ocupações dos estados a uma partícula. 36. Repita o exercício anterior para a estatística de Planck (bosões não conservados). 37. Uma partícula numa caixa cúbica de lado L tem estados quânticos que se caracterizam por 3 números quânticos, (n, m, l), que tomam valores inteiros naturais. A energia do estado (n, m, l) é dada por E (n,m,l) = h2 π 2 2mL 2 ( n 2 + m 2 + l 2). A partícula pode ser fermião ou bosão. (a) Calcule a pressão da partícula num estado (n, m, l). (b) Escreva, para um gás, a ocupação média de cada estado (n, m, l). (c) Escreva a pressão de um gás de partículas. (d) Relacione a pressão com a energia do gás. 38. Repita o problema anterior supondo que tem fotões numa caixa. Qual a relação entre a pressão e a energia? 39. Considere orbitais hidrogenóides para um atomo de hélio. (a) Escreva alguns termos da função de partição interna. (b) Determine a ocupação média do estado 2s com spin +1/ Suponha que os estados acessıveis a uma partícula têm energia n hω, onde n = 1, 2, 3,... (a) Escreva alguns termos da função de partição de dois bosões. (b) Escreva alguns termos da função de partição de dois fermiões.