CENTRO DE CIÊNCIAS EXATAS E DA NATUREZA DEPARTAMENTO DE FÍSICA PROGRAMA DE PÓS-GRADUAÇÃO. Exercício Escolar 1 - Solução

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1 FIS 715 Mecânica Estatística Lista de Exercícios 1 1 CENRO DE CIÊNCIAS EXAAS E DA NAUREZA DEPARAMENO DE FÍSICA PROGRAMA DE PÓS-GRADUAÇÃO Exercício Escolar 1 - Solução Questão 1: Pistão em uma câmara adiabática Um cilindro de seção transversal S está dividido em duas câmaras separadas por um pistão que pode se mover sem atrito. O pistão e as paredes do cilindro são isolantes térmicos (paredes adiabáticas). Inicialmente o pistão está travado com cada câmara tendo altura L, contendo um gás ideal monoatômico com mesmo número de moléculas, N, em estados de equilíbrio, porém com pressões 3p 0 e p 0, conforme esquematizado na figura abaixo: L L 3p 0 p 0 d O pistão é relaxado permitindo que o gás da câmara esquerda empurre o pistão para a direita de maneira quasi-estática até alcançar a posição de equilíbrio d. (a) (,0 pontos) Descreva e justifique a natureza do processo termodinâmico que ocorre em cada gás até o pistão alcançar a posição de equilíbrio. Obtenha a equação que governa a pressão e o volume nesse processo. (b) ( 1,0 pontos) Determine a posição final de equilíbrio d do pistão. (c) ( 0,5 pontos) Qual a pressão final em cada câmara?

2 FIS 715 Mecânica Estatística Lista de Exercícios 1 Questão : gás não-ideal A equação de estado para um gás não-ideal é dada por P N k n b a N onde N é o número de moléculas, e a, b e k são constantes. (a) (1,0 pontos) Use a primeira e a segunda Lei da ermodinâmica para obter o diferencial do energia interna U em termos de d e d. Expresse sua resposta em termos das grandezas acima mencionadas, de, e da capacidade calorífica C. (b) (1,0 pontos) Mostre que C é independente do volume para este gás, isto é, mostre que C (c) (0,5 pontos) Supondo que C é também independente da temperatura encontre a expressão para a entropia S(, )do gás. 0. Questão 3: caminhante aleatório discreto em 1-d Considere um caminhante aleatório em uma rede 1-d de espaçamento a 1 cuja probabilidade de dar um passo para a direita é p. (a) ( 3,0 pontos) Encontre a função densidade de probabilidade P(d, N)do caminhante estar na posição x d após N passos, em relação ao ponto de partida. Calcule o valor médio do deslocamento d a variânciaσ d. (b) ( 1,0 pontos) Considere o caso em que p 1/ e defina o deslocamento relativo y d/n. Use a aproximação de Stirling e mostre que P(d, N) P(y) se aproxima de uma f.d.p. gaussiana na variável y, no limite N>> 1. Identifique a média e variância da gaussiana. Questão 4 (bônus): erceira Lei da ermodinâmica ( 1,0 pontos) Enuncie a terceira Lei da ermodinâmica, comente seu significado físico e possíveis consequências.

3 FIS 715 Mecânica Estatística Lista de Exercícios 1 3 Questão 1 - solução (a) Em um sistema fechado e isolado, a primeira Lei estabelece du dq d W ou seja, a variação da energia é igual à soma do calor recebido e do trabalho realizado pelo sistema, o qual, no caso do gás é d W P d du dq P d onde P é a pressão e, o volume. Como o processo em cada câmara é reversível e adiabático (isentrópico), i.e. sem troca de calor então dq 0 e em decorrência d S dq rev / 0. Como o sistema é fechado, termicamente isolado e acoplado mecanicamente ao exterior para fazer variar a posição da parede interna é conveniente calcular a variação da entalpia(h U+ ), i.e d H du+ P d + d P d H d P onde usamos que du P d. Por outro lado, para qualquer transformação reversível em um gás ideal temos du nc d e d H nc P d nc d n P d e nc P d d P γ C P C d P P γ d ln P γ ln+ ln (Constante) d P P d ou P γ Constante, onde γ 5 3 (b) Usando a equação de estado P γ Constante, obtida em (a) para cada gás em sua partição, ao longo da transformação isentrópica teremos p 0 γ 0 C 1 e p 1f γ 1 C 1 (gás da direita) 3p 0 γ 0 C e p f γ f C (gás da esquerda) Ao alcançar o equilíbrio teremos p 1f p f p f e 1f 0 S d, f 0 + S d

4 FIS 715 Mecânica Estatística Lista de Exercícios 1 4 Logo, substituindo acima resulta p f ( 0 S d) γ p 0 γ 0 e p f ( 0 + S d) γ 3p 0 γ 0 Dividindo lado-a-lado, e usando que 0 S L resulta L+ d L d 31/γ ( 5 ) 3/5 8, L+ d 8(L d) d 7 L 0, 77...L 9 (c) A pressão final será portanto, e.g. na equação do gás da direita, γ 0 γ 0 L γ 9 5/3 p f p 0 p 0 p 0 p f p 0 1, 6 p 0 1f 0 S d L 7L/9 Questão : solução (a) Da primeira Lei temos du dq d W, enquanto da segunda Lei temos d S dq/ (processos reversíveis). Para o gás o trabalho realizado pelo gás é escrito como d W P d. Logo, temos du d S p d Como desejamos obter du(, ) precisamos escrever d S em termos de(, ), i.e. S S d S d + d e substituir na expressão de du, resultando S du Identifica-se então S d + P d S C Usando a relação de Maxwell para calcular a segunda derivada em du teremos: S P S onde a equação de estado foi utilizada. Finalmente substituindo em du resulta N k N b du C d + a N d

5 FIS 715 Mecânica Estatística Lista de Exercícios 1 5 (b) emos então C U ComoU(, ) é uma função de estado i.e. possui diferencial exato a ordem da derivação pode ser alternada, ou seja: C U Identificando U no resultado do item(a) obtemos C a N 0 (c) O diferencial da entropia escrito acima é: S S d S d + d e pode ser reescrito com auxílio da relação de Maxwell supramencionada. i.e. d S C P d + d C N K d + d N b Considerando que C é constante independente de, o diferencial da entropia pode ser integrado desde um estado de referencia(s 0, 0, 0 ) resultando em: N b S S 0 + C ln + N k ln 0 0 N b Questão 3 - solução (a) Sejam nnúmero de passos para direita( ˆx 0) e m número de passos para esquerda ( ˆx 0). Para uma caminhada de N passos com tamanho final d temos: d n m com n+ m N d n N A probabilidade que ocorra uma dada caminhada de tamanho d será p(d, N)p n (1 p) m p n (1 p) N n p (N+d)/ (1 p) (N d)/ enquanto a probabilidade que ocorra qualquer caminhada de tamanho d, independentemente da ordem dos passos, será: P(d, N) N! n!m! p n (1 p) N n N! ((N+ d)/)!((n d)/)! p(n+d)/ (1 p) (N d)/

6 FIS 715 Mecânica Estatística Lista de Exercícios 1 6 O valor médio de d será d N N (n N)P(d, N) np(d, N) N n N n0 n0 A média de n pode ser obtida diretamente da expressão: Logo n p p N N! n!m! p n q N n p p [p+ q]n N p(p+ q) N 1 N p }{{} n0 1 d N p N d (p 1)N A variânciaσ d d d pode ser obtida de maneira análoga, i.e. Finalmente d (n N) 4n 4nN+ N 4 n 4N n +N onde n p p p p [p+ q]n p p N p(p+ q)n 1 N p[(p+ q) N 1 +(N 1)p(p+ q) N ] n Np+ N p(p 1) d 4[N p+ N(N 1)p ] 4N[(p 1)N]+N 4N p 8N p+ N + 4N p σ d d d 4(N 1)N p (b) A fórmula de Stirling nos dá ln N! N ln N N. omando o logaritmo de P(d, N) teremos: N! ln P(d, N) ln n!m! p n (1 p) m Redefinindo N lnn N n lnn+ n m ln m+ n ln p+ m ln(1 p) N lnn n ln n m lnm+ n lnp+ m ln(1 p) n 1 (N+ d) N (1+ y) e m1 (N d) N (1 y) com yd N

7 FIS 715 Mecânica Estatística Lista de Exercícios 1 7 teremos ln P(d, N) N lnn N (1+ y) ln N (1+ y) N (1 y) ln N (1 y) + + N (1+ y) lnp+n (1 y) ln(1 p) N lnn N (1+ y)[ln N+ ln(1+ y) ln lnp] N (1 y)[ln N+ ln(1 y) ln ln(1 p)] N ln N [(1+ y) ln(1+ y)+(1 y) ln(1 y)]+ + N [ln[p(1 p)]+ y ln[p/(1 p)]] No regime N 1 devemos expandir a expressão acima em potências e y usando ln(1± y) ±y y +... resulta ln P(d, N) N ln N ln[p(1 p)] N (1+ y) y y +... (1 y) y+ y y ln[p/(1 p)] ln P(d, N) N ln+ N ln[p(1 p)]+ N y ln[p/(1 p)] N y + O y 4 Retornando à variável d e fazendo p 1/ resulta: ln P(d, N) N 1 d N P(d) e d /N