Termodinâmica e Estrutura da Matéria 2013/14

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1 Termodinâmica e Estrutura da Matéria 213/14 (LMAC, MEFT, MEBiom) Responsável: João P Bizarro Práticas: Eduardo Castro e ítor Cardoso Departamento de Física, Instituto Superior Técnico Resolução de exercícios propostos Semana 28/1/213 1/11/213 Reif 52 a) Como demonstrado no exercício 28 do Reif o trabalho realizado sobre o sistema ao cabo de um ciclo é, W ciclo = A c, sendo A c a área dentro do contorno fechado, e estamos a assumir que o ciclo é percorrido no sentido dos ponteiros do relógio No caso do ciclo ser percorrido no sentido oposto o trabalho é o simétrico No presente caso temos W ciclo = A, onde a área do circulo A é π vezes a área do quadrado que tem lados dynes/cm 2 e cm 3, A = πa = π1 9 dynes cm = π1 9 erg = π1 2 J O trabalho realizado sobre o sistema ao m de um ciclo é então sendo o trabalho realizado pelo sistema W ciclo 314 J, W ciclo 314 J, b) Queremos determinar a variação de energia interna do gás entre os estados inicial A e nal B (já sabemos que o resultado não depende do processo que leva de um estado ao outro) Uma importante propriedade dos gases ideais é o facto da sua energia apenas depender da temperatura, e não do volume (ver Sec 312 e Sec 51 do Reif) Podemos usar esta propriedade para determinar E Como a energia do gás só depende da temperatura vem de = ( E T ) dt + ( E ) T d = ( E T ) dt = ( ) de dt = dt ( ) δq dt, dt onde se usou o facto de que a constante uma variação innitesimal de energia de só pode ter como origem uma absorção innitesimal de calor, de = δq Por denição, o calor especíco a volume constante por mol é dado por c = 1 ( ) δq, ν dt 1

2 onde ν é o número de moles no gás Para uma variação innitesimal de energia vem então de = νc dt, e no caso de c não depender da temperatura obtém-se No presente caso, usando ν = 1 e c = 3 2R, temos E = νc T E = 3 2 R(T C T A ) Resta pois relacionar a temperatura T com a pressão p e o volume, já que p e são as quantidades a que temos acesso Para isso usamos uma outra propriedade muito importante dos gases ideais, a sua equação de estado, p = νrt T = p νr Finalmente vem E = 3 2 R ( pc C νr p ) A A = 3 νr 2 p C( C A ) = (3 1) 19 erg = 6 J c) Usemos o princípio de conservação da energia, E = Q ABC + W ABC Para determinar Q ABC = E W ABC basta determinar W ABC Sendo o processo quase-estático podemos usar δw = pd, pelo que ˆ W ABC = pd = (área debaixo da curva) A área debaixo da curva corresponde à área de meio círculo somada à área do quadrado que tem lados dynes/cm 2 e cm 3, O calor absorvido no processo é W ABC = (A /2 + 2 A ) = ( ) J = 557 J Q ABC = E W ABC = 1157 J Reif 55 O estudo do comportamento de um gás ideal contido num êmbolo onde actua um pistão que se move verticalmente no campo gravítico é paradigmático em Termodinâmica Ele ilustra simultaneamente as potencialidades da teoria mas também algumas das diculdades conceptuais que podem surgir a) R: A temperatura diminui, T < Sabemos que o pistão sobe, pois o volume nal do gás é maior do que o volume inicial f > Isto signica que o gás realiza trabalho sobre o pistão, e que portanto, sendo o sistema isolado, a energia interna do gás diminui Uma diminuição de energia interna do gás implica uma diminuição de temperatura, pois para o gás ideal a energia só depende da temperatura, sendo linear nesta 2

3 Explicitamente temos, E tot = E gás + U =, onde U é a variação de energia potencial do pistão (note-se que as capacidades calorícas do recipiente e do pistão são desprezáveis, pelo que a energia interna destes não varia por absorção de calor) em então E gás = U, e como U >, pois o pistão sobe, vem E gás < Sabendo que E gás = νc T vem T <, pelo que T f < T b) R: A entropia aumenta, S > Pela 2ª lei da termodinâmica S, sendo a igualdade válida quando o processo é reversível No presente caso o processo é claramente não reversível (a evolução não é quase-estática dado que o pistão oscila antes de atingir o equilíbrio) Portanto, S > Duas notas para curiosos: Nota 1 Uma vez que queremos calcular variações de entropia e a entropia é uma função de estado, podemos, como sempre, escolher um processo quase-estático para obter S Nestas circunstâncias podemos usar ds = δq/t, vindo ˆ ˆ δq S = ds = T Sendo o sistema isolado termicamente, e sendo as capacidades calorícas do pistão e do cilindro desprezáveis, parece que se deveria vericar δq =, e portanto S = Ora S não pode ser simultaneamente S = e S > A falácia está na hipótese δq = De facto, pelo contrário, neste caso verica-se δq apesar do sistema ser termicamente isolado e não existir qualquer atrito Devemos notar que este δq se refere ao caminho quase-estático equivalente que construímos para calcular S à custa de δq/t Estamos portanto a dizer que para o sistema atingir o mesmo estado nal no caminho quase-estático é necessário que haja absorção de calor Usamos a terminologia absorcão de calor no sentido geral em que tal quantidade pode ser negativa, caso em o sistema perde calor para o exteriror, que é o que acontece neste caso Para uma análise quantitativa resolva a alínea c) e aborde o complemento para curiosos Nota 2 Como pode a evolução de um sistema isolado termicamente e sem atritos dar origem a um caminho quase-estático equivalente onde há absorção de calor? Responder a esta pergunta é responder à pergunta que não quer calar: Como pode o pistão parar se não há atritos e o sistema está isolado termicamente? A resposta está na observação de que a pressão é uma quantidade dinâmica, apresentado utuações devido ao movimento do próprio pistão Em particular, não é difícil vericar que a pressão que o gás exerce sobre o pistão é menor quando o pistão se afasta (sobe) e maior quando este se aproxima do gás (desce); tente calcular o momento transferido a uma parede por um projéctil de massa muito menor quando a parede está em movimento Este efeito equivale à presença de uma força de dissipação, levando a que o pistão pare É também este efeito que está na origem do tal calor absorvido na evolução quase-estática equivalente c) Da conservação de energia vem E tot = E gás = U = Mg f A, 3

4 onde f /A é a altura nal do pistão Sendo o gás ideal temos que E gás = νc (T f T ) = Mg f A, restando portanto relacionar T f com f Para tal usamos a equação de estado dos gases ideais, p f f = νrt f f = νrt f p f Uma vez atingido o equilíbrio a pressão que o gás exerce no pistão é a mesma que o pistão exerce sobre o gás, pelo que p f = Mg A f = νrt f A Mg Finalmente obtemos, Resolvendo em ordem a T f vem, onde = c p /c = 1 + R/c ( νrtf νc (T f T ) = Mg Mg ) A T f = 1 ( T + Mg ), Ac ν Para curiosos: Admita que o volume inicial do gás é não porque o pistão está xo (por um parafuso, por exemplo) mas porque se adicionou à massa do pistão M uma massa M tal que a pressão exercida pelo pistão, p = (M + M ) g A iguala a pressão exercida pelo gás, p = νrt Reduza M a zero removendo quantidades de massa innitesimais, ou seja, fazendo uma evolução quase-estática, e obtenha a temperatura nal Tf e o volume nal Ṽf erique que T f < T f e Ṽ f < f, justicando assim a necessidade de absorver calor para obter o estado nal (T f, f ) com um processo quase-estático Reif 57 a) Seja dz a altura e A a área da secção de uma coluna de ar na atmosfera terrestre, e seja dm a sua massa A coluna mantém-se em equilíbrio porque a força exercida na face inferior Ap(z) compensa a força exercida na face superior Ap(z + dz) e o peso dmg, dmg Ap(z + dz) + Ap(z) = A = dmg Seja n a densidade de moléculas e m a massa molecular Podemos então escrever dm = nmadz = n µ N a Adz = νµadz, sendo ν o número de moles por unidade de volume e µ a massa molar Finalmente vem, = νdz, 4

5 e usando a equação de estado dos gases ideais, vem ν = p RT, p = RT dz b) Para uma expansão adiabática vem Se a expansão é quase-estática podemos escrever Usando a equação de estado na forma diferencial, δq = de δw = νc dt + pd = p = νrt pd + = νrdt pd = νrdt, podemos escrever νc dt + pd = na forma νc dt + νrdt = ν(c + R)dT = Usando uma vez mais a equação de estado obtém-se ν(c + R)dT = νrt p ( c R + 1 ) dt T = p Como = c P /c = 1 + R/c e nalmente vem que c R + 1 = 1, p = dt 1 T c) De a) e b) vem RT dz = dt 1 T dt dz = 1 R Para = 14 obtém-se dt dz 94 K/km d) Para T = const vem p = ( ) p(z) dz ln RT p = ( RT z p(z) = p exp ) RT z 5

6 e) De c) obtém-se De a) vem ou seja, Integrando vem ˆ p p R z = 1 (T T ) T = T 1 p = 1 R T dz = R dz T 1 R z, ˆ z p = R dz T 1 p(z) = p ( 1 = R z ˆ R z ) ( 1) T R z 1 R z d z T 1 z 6