25/Fev/2015 Aula 2. 20/Fev/2015 Aula 1

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1 /Fe/15 Aula 1 Temperatura e a Lei Zero da Termodinâmica Sistema Termodinâmico Termómetros e Escalas de Temperatura Descrição macroscópica dos gases ideais Equação dos gases ideais 5/Fe/15 Aula Teoria Cinética dos Gases Teoria Cinética e Equação dos Gases Ideais Gás Ideal num Campo Graitacional Distribuição de oltzmann; distribuição de elocidades de Maxwell e oltzmann Velocidades mais proáel, média e quadrática média Lire percurso médio e frequência das colisões 1

2 Aula anterior Sistema Termodinâmico W > W < Sistema (termodinâmico) Conteúdo material no interior de uma superfície Calor Q > Exterior Sistema Trabalho Q < Classificação dos sistemas termodinâmicos Aberto: troca matéria (e energia) com o exterior. Fechado: não troca matéria com o exterior (pode trocar energia). Mecanicamente isolado: encontra-se lire de qualquer acção exterior. Termodinamicamente isolado: não troca trabalho, calor ou matéria com o exterior. Unierso Aberto Fechado Isolado

3 Aula anterior Equação dos gases ideais Lei de oyle: Lei de Charles: Princípio de Aogadro: 1 V P V T V n (n, T constantes) (n, P constantes) (P, T constantes) nt V P Constante dos Gases Ideais R = 8,31 Jmol -1 K -1 P V = n R T Nota: constante de oltzmann k R N A 1, J K -1 Gás Ideal Qualquer gás que possa ser descrito pela equação dos gases ideais. 3

4 Teoria Cinética dos Gases Teoria Cinética dos Gases Explica porque é que os gases se comportam de acordo com a equação dos gases ideais Teoria cinética dos gases (Rudolf Clausius, 1857) Relação entre as grandezas microscópicas (elocidades moleculares) e macroscópicas (pressão, temperatura) Aplicação das Leis de moimento de Newton a um grande número de partículas (aproximação estatística) Física Estatística 4

5 Teoria Cinética dos Gases Os gases são compostos por um grande número de moléculas em moimento aleatório (moimento browniano) O olume de todas as moléculas é desprezáel comparado com o olume total disponíel (a distância média entre as moléculas é muito grande comparada com as suas dimensões). As moléculas não interagem entre si, excepto quando colidem (as forças de atracção e repulsão são desprezáeis). As moléculas colidem elasticamente entre si e com as paredes do contentor. A energia é transferida durante as colisões. A energia cinética média é proporcional à temperatura absoluta e não depende do tempo. 5

6 Consideremos um contentor cúbico de olume V com N moléculas, cada uma de massa m e com elocidade. l Para simplificar, consideremos apenas uma direcção do moimento ( x positio) e apenas uma parede do contentor (do lado direito) de área A. z y l A x x y z 6

7 Num interalo de tempo t, as moléculas que estierem a uma distância ( x t ) da parede do lado direito e que se dirijam para ela ão incidir na parede. Não colide colide O número de moléculas dentro desta distância é proporcional a x e ao número de moléculas por unidade de olume ( N / V ). O número de moléculas é, assim, (N/V) x t A. Admitindo que, em média, só metade das moléculas se dirige para a parede, o número total de moléculas que atinge a parede num interalo t será igual a N x t A 1 V 7

8 Considerando apenas uma molécula a colidir com a parede: Momento linear antes da colisão : Momento linear após a colisão : Variação no momento da molécula : Variação no momento da parede : + m x - m x - m x p x =+m x Antes da colisão Após a colisão 8

9 1 N N p x t A mx mx At V V Variação total do momento : Pressão causada por esta ariação : P F 1 p N A A t V m x PV N m x Como as moléculas do gás não se moem todas com a mesma elocidade, substituamos o quadrado da elocidade pelo seu alor médio : x x 1 PV N m x 9

10 Da equação dos gases ideais (PV=Nk T) : x 1 1 m k T Generalizando para as três direcções (x, y e z) : Ecin mx my mz 3 mx kt A cada grau de liberdade corresponde uma energia 1 kt A energia cinética média de cada molécula é então E cin 3 kt 1

11 Energia cinética de um gás composto por N moléculas : Ecin N m NkT nrt A energia cinética média dum gás ideal é proporcional à temperatura PV N m x N m N Ecin N k T N k T PV N k T n RT 11

12 Teoria Cinética e Equação dos Gases Ideais A pressão é causada pelas colisões das moléculas do gás com as paredes do contentor. A força total dessas colisões depende do número de colisões e da força média por colisão O aumento da temperatura a olume constante confere maior energia cinética às moléculas e, portanto, maiores elocidades. Deido ao aumento da elocidade média, ocorrem mais colisões e a pressão exercida pelo gás aumenta P T O aumento do olume a temperatura constante prooca uma diminuição do número de moléculas por unidade de olume e, portanto, do número de colisões. Como resultado, a pressão exercida pelo gás diminui (Lei de oyle) V 1 P P R nt V 1

13 Gás Ideal num Campo Graitacional Seja P a pressão atmosférica para a altura z e consideremos uma camada atmosférica de espessura dz e área A, onde a temperatura é constante. d z F P A - m g n ( z) A dz - (P +dp) A = Massa de uma molécula de ar Número de moléculas de ar por unidade de olume P V = N k T Nz P z kt n z kt V 13

14 A diferença entre as pressões para as alturas z e z+dz é igual a : dp z - m g n z dz Admitindo que n z n dp m g n z dz m g para dz suficientemente - - dz P n pequeno : z kt kt Integrando a equação : P Po dp P mg - k T z dz P mg ln - z P k T Dependência da pressão com a altura ao solo : P P e m g z k T Energia potencial graitacional de uma molécula Pressão a z = 14

15 Pressão (atm) Pressão em função da altitude P P e m g z k T Altitude z (km) 15

16 Dependência da densidade molecular com a altura ao solo: n n e m g z k T Energia potencial graitacional de uma molécula oltzmann : a diminuição da densidade molecular com a altura pode ser explicada em termos da distribuição das elocidades das moléculas nos níeis mais baixos 16

17 A razão entre o número de moléculas de oxigénio e de azoto ao níel do mar é igual a,7. Determine essa razão à altitude de 1 km, admitindo que a temperatura é constante. n n e m g z k T A 1 km de altitude, as densidades do oxigénio e do azoto são: m O ( ) ( ) kt n O n O e ( ) g 1 n( ) n ( ) e N N m kt ( N ) g 1 sendo n (O ) e n (N ) as densidades de oxigénio e azoto ao níel do mar. Nota: constante de oltzmann k R N A 1, J K -1 17

18 A razão entre o número de moléculas de oxigénio e de azoto ao níel do mar é igual a,7. Determine essa razão à altitude de 1 km, admitindo que a temperatura é constante. n n e m g z k T n( O ) n n( N) n ( N) e ( O ) g m( O) m( N) kt 1 e 7 9,8 (38) (1,661 ) 1 (1,381 ) 3,7 3, 7,855, 3 Nota: constante de oltzmann k R N A 1, J K -1 18

19 n Distribuição de oltzmann (distribuição das moléculas pelos estados de energia) Densidade de moléculas com energia : n n e kt Densidade de moléculas no níel de energia mais baixo, (T = ) Energia 19

20 Para um gás monoatómico a energia é simplesmente cinética. O número de moléculas cuja elocidade está compreendida entre e +d (ou seja, entre x e x +d x, y e y +d y e entre z e z +d z ), de acordo com a distribuição de oltzmann, é m - k T dn const. e d d d x y z Constante a determinar, sabendo que o nº total de moléculas é N e que - e -x dx 3 m - k T m dn N e d d d k T x y z

21 Distribuição de elocidades de Maxwell-oltzmann Selector de elocidades: Fonte Num gás de N moléculas, o número delas com elocidades entre e +d é dado por: dn N f d Função de distribuição de elocidades de Maxwell- oltzmann: m f ( ) 4 k T 3/ e m kt Distribuição de elocidades 1

22 dn N f d m f ( ) 4 k T 3/ e m kt dn : número de moléculas com elocidades entre e + d N : número total de moléculas no gás. Velocidade mais proáel ( mp ) df () d mp kt m 1,414 kt m

23 Velocidade média A elocidade média pode ser calculada integrando f() d entre e e diidindo por N : f () d N e como 3 bx ax e dx a b 3/ m 4 N k T 8kT k 1,596 T m m m k T 3

24 Velocidade quadrática média ( rms ), ou elocidade térmica f () d N e como 4 ax e bx dx 3a 8 b 5 rms 3/ m 3 4 k kt 3kT k 1,73 T 8 5/ m m m kt 4

25 Número de moléculas Número de moléculas Função de distribuição de elocidades de Maxwell f() Velocidade mais proáel Velocidade média Vel. quadrática média Relação entre as árias elocidades: Velocidade molecular Velocidade molecular (m/s) Velocidade molecular (m/s) 5

26 Determine a elocidade quadrática média (rms) duma molécula de N à temperatura de 5 ºC. Dados: M = 8, g/mol = 8, x 1-3 kg/mol R = 8,314 J/mol K = 8,314 kg m /s mol K rms 3 RT M rms 3 (8,314 kg m /s mol K) (98 K) -3 (8,.1 kg/mol) 515 m/s 6

27 A elocidade de escape em Marte é de 5 km/s e a temperatura à superfície é de cerca de ºC. Considerando que se a elocidade quadrática média (rms) das moléculas dum gás for maior do que % da elocidade de escape elas saem da atmosfera do planeta, determine se as moléculas de H, O e CO poderão existir na atmosfera de Marte. rms 3RT M 1 5 = % = 5km/s = 1km/s esc rms, H 3 J mol K K 3 8,314 / kg / mol rms,o 3 3 8,314 J/mol K 73K 31 kg/mol rms,co 3 3 8,314 J/mol K 73K 441 kg/mol 185 m / s 461m/s 393m/s X 7

28 Lire percurso médio = distância média entre colisões: n i1 n d i d 4 d 3 d d 1 Colisão real Colisão equialente Sem Limite: colisão: Colisão: 8

29 : elocidade da molécula de tamanho d Número de colisões em t = nº de moléculas no cilindro = n d t t 1 n d t n d Correcção (as moléculas pontuais também se moem) 1 n V d Valores típicos (ar ao níel do mar): =,1m = 1-4 mm 9

30 Frequência das colisões Número de colisões por unidade de tempo: f n d 3

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