Termodinâmica e Estrutura da Matéria 2013/14

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Renata de Abreu Furtado
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1 Termodinâmica e strutura da Matéria 03/4 LMAC, MFT, MBiom Responsável: João P. Bizarro Práticas: duardo V. Castro e Vitor Cardoso Departamento de Física, Instituto Superior Técnico Resolução de exercícios propostos Semana 7 /0/03 Reif 3. Pretende-se estudar novamente o sistema já discutido no exercício.4 primeira série de problemas. a Uma expressão aproximada para o número de estados acessíveis quando o sistema tem energia entre e + δ foi obtida na alínea.4 b ver resolução dos exercícios propostos, ª série, ln Ω ln ln + ln +, onde é o número de partículas localizadas com spin /, µ o momento magnético de cada partícula e H a intensidade do campo magnético aplicado. A temperatura absoluta de um sistema em equilíbrio é dada por β ln Ω. Usando a expressão para ln Ω vem [ver alínea.4 c na resolução dos exercícios propostos, ª série, β ln ln + + ln. Resolvendo em ordem a obtém-se, + e e + + e + e µh µh e e µh. e µh + e µh

2 Podendo o resultado ser escrito na forma, µh tanh Tente interpretar sicamente os seguintes casos limite: T 0 µh T 0. µh. 3 b Da equação conclui-se T < 0 < + > 0. Igual conclusão pode ser obtida a partir da equação 3, uma vez que > 0 só é possível se T < 0. ote que a temperatura absoluta negativa é consequência do espectro limitado que o sistema apresenta. c Método Seja n o número de spins alinhadas paralelamente com o campo magnético e n o número de spins alinhados anti-paralelamente. A energia do sistema pode ser escrita na forma n n µh. O momento magnético total do sistema é dada por, M n n µ. Relacionando as duas últimas expressões e fazendo uso da equação 3 obtém-se, M µh H µ tanh. Método A força generalizada conjugada do parâmetro externo H campo magnético é precisamente o momento magnético total M. Podemos então usar a relação Da equação para ln Ω obtém-se, Usando a equação para β vem, M β M β M β ln H β H ln Ω H. + µh µ tanh..

3 3.3 Imaginemos que o sistema analisado no exercício 3. ver também exercício.4, que é constituído por partículas com momento magnético µ, e que será designado por sistema A, é colocado em contacto térmico com um sistema A contendo partículas cada uma com momento magnético µ. Os sistemas encontram-se numa região onde existe um campo magnético uniforme H. Inicialmente as energias dos sistemas A e A são respectivamente bµh e b µ H, onde b e b, de tal forma que o resultado do problema.4 c pode ser usado, Ω A e µ H, Ω A e µ H. a Seja 0 a energia total do sistema isolado A + A, isto é, 0 +. Após equilíbrio térmico o número de estados do sistema total é Ω tot 0 Ω A Ω A 0, dos quais Ω tot Ω A Ω A 0 apresentam uma energia para o sistema A. A probabilidade de que a energia de A esteja entre e + d é então P d Ω tot d. Ω tot 0 4 A situação de equilíbrio térmico mais provável ocorre para P Ω tot 0 ln Ω tot 0 ln Ω A Ẽ tal que P Ẽ é máximo, ou seja, + ln Ω A 0 Usando a denição de β e designando Ẽ como a energia mais provável para o sistema A em equilíbrio térmico com o sistema A, vem βẽ β Ẽ, ou seja, o sistema está em equilíbrio se as temperaturas forem iguais. Para determinar a relação entre Ẽ e Ẽ podemos usar a última igualdade, uma vez conhecidos β e β. Para β obtém-se β ln e µ H µ H, 0. e para β vem Finalmente obtém-se β µ H. Ẽ µ H Ẽ µ H Ẽ µ Ẽ. 5 µ É de notar que a relação entre Ẽ e Ẽ estabelece que o equilíbrio térmico existe se a energia estiver igualmente distribuída, ou seja, se a energia por partícula for aproximadamente a mesma assumindo µ µ. 3

4 b A energia total 0 é conhecida, 0 + bµh + b µ H. m particular, para Ẽ e Ẽ vem, usando 5, Ẽ µ 0 Ẽ µ Ẽ + µ µ Ẽ bµh + b µ H Ẽ µ bµh + b µ H µ + µ. c Admitindo que os dois sistemas apenas trocam energia sob a forma de calor, vem que o calor absorvido pelo sistema A é simplesmente a variação da sua energia interna mais provável, Q Ẽ bµh bµh + µ b µ H µ + µ bµhµ + µ µ + µ µ b µµ H b µ H µ + µ H b µ µ bµµ µ + µ. d A probabilidade de que o sistema A apresente energia nal entre e + d é dada pela equação 4, ou equivalentemente, P d C exp [ d µ H 0 µ H C exp [ µ H bµh + b µ H µ H d, onde se usou a conservação de energia 0 + e se escreveu C /Ω tot 0. sta última, sendo uma constante de normalização, pode ser obtida impondo a condição, ˆ 0 0 P d. Usando o resultado obtido na alínea b para Ẽ vem, [Ẽ P d C exp + µ µ H µ µ H d C exp µ H + Ẽ + µ µ µ H + µ H + const d, onde const depende de Ẽ mas não de. Denindo uma nova constante de normalização obtém-se, P d C exp µ H + Ẽ + µ µ µ H + µ H d 4

5 C exp [ µ + µ µ µ H + Ẽ µ + µ µ µ H d [ C µ + µ exp µ µ H Ẽ d. Completando o quadrado vem, [ P d C µ + µ exp µ µ H Ẽ + Ẽ Ẽ d [ C µ + µ exp µ µ H Ẽ + const d, onde novamente const depende de obtém-se a distribuição Gaussiana, P d C exp Ẽ mas não de. Introduzindo nova constante de normalização [ Ẽ e σ d, πσ µ + µ µ µ H Ẽ d com desvio padrão σ µ µ H µ + µ. e Do resultado da alínea anterior obtém-se, σ µ µ H µ + µ. f Para a largura relativa da Gaussiana vem, Ẽ o limite / obtém-se, µ + µ µ µ H µ bµh + b µ H µ + µ µ + µ µ bµ + b µ µ. Ẽ µ b. µ Para macroscópico a distribuição é extremamente aguçada. ote-se ainda que para sistemas macroscópicos com continua a vericar-se /Ẽ /. 5

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