Questão 3 q-exponencial e q-logaritmo I

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1 Lista Mecânica Estatística Não Extensiva 202/0 CBPF Disciplina: Mecânica Estatística Não Extensiva CBPF (PES002) Período: 202/0 Professor: Constantino Tsallis Monitores: Leonardo J. L. Cirto (304B) & Max J. Jáuregui (307B) Lista de Exercícios versão 2 Data para entregar: livre Questão Considere a entropia de Boltzmann-Gibbs na forma escrita por Shannon: S BG = k W p i lnp i i= Maximize esta expressão utilizando como vínculo a normalização da probabilidade W i= p i = e mostre que: S BG = klnw () Verifique que para dois sistemas probabilísticos independentes A, B a entropia S BG é aditiva, ou seja: S BG (A+B) = S BG (A) + S BG (B) Questão 2 A entropia S q é definida como: S q = k W i= pq i q (2) Faça o mesmo procedimento da questão anterior mas agora utilizando a estropia S q e mostre que neste caso o resultado é: S q = k W q q (3) Verifique que para dois sistemas probabilísticos independentes A, B a entropia S q é não aditiva para q, ou seja: S q (A+B) = S q (A) + S q (B) + q k Mostre que no limite q a entropia S q recai em S BG : S q (A)S q (B) (4) lim q S q = S = S BG Questão 3 q-exponencial e q-logaritmo I A função q-exponencial é definida como: y(x) = e x q = [ + ( q)x] /( q) (5)

2 Lista Mecânica Estatística Não Extensiva 202/0 CBPF 2 Para restringir e x q aos reais positivos vamos reescrevê-la da seguinte maneira: e x q = [ + ( q)x] /( q) + onde [u] + = max{0,u}, explicitamente: e x q = [ + ( q)x] /( q) se +( q)x > 0 Verifique os seguintes limites: lim q a ex q = 0 se +( q)x 0 se a = ± e x se a = +x se a = 0 Inverta a expressão (5) e obtenha: ln q x = x q q (x > 0) (6) este último resultado define o q-logaritmo. Verifique os seguintes limites: lim ln qx = q a Verifique a propriedade { lnx se a = x se a = 0 ln q (xy) = ln q x + ln q y + ( q)ln q x ln q y Mostre, utilizando o q-logaritmo, que as equações (2) e (3) podem ser reescritas como: S q = k W i= p i ln q p i S q = kln q W Comentário: rigorosamente a equação (6) não é a inversa de (5). Veja uma discussão um pouco mais aprofundada sobre este tema nas questões 5 e 6 a seguir Questão 4 q-soma e q-produto Verifique as expressões a seguir: ln q (x q y) = ln q x + ln q y eq x q y = eq x eq y ln q (xy) = ln q x q ln q y eq x+y = e x q q e y q onde a q-soma q e o q-produto q são definidos como: x q y = x + y + ( q)xy x q y = [ x q + y q ] /( q) Mostre que utilizando a definição da q-soma a equação (4) pode ser reescrita como: S q (A+B) k = S q(a) k q S q (B) k

3 Lista Mecânica Estatística Não Extensiva 202/0 CBPF 3 Verifique os seguintes limites: lim x q y = x + y q lim x q y = x y q e as seguintes propriedades: x q = x q x q 0 = 0 q Questão 5 q-exponencial II (a) Considere a seguinte equação diferencial: f (x) = [f(x)] q com q R e f(0) = Mostre que a solução desta equação diferencial é [ + ( q)x] /( q) q f(x) = exp q (x) = exp(x) q =. (b) Considerando a q-exponencial como uma função real positiva, mostre que seu domínio é dado por ( ), q > ( q ) domexp q = q,+ q < (,+ ) q =. (c) Seja o conjunto R q = {x R : +( q)x > 0}. Mostre que domexp q = R q e conclua que exp q é uma bijeção entre R q e R +. (d) Mostre que a q-exponencial é uma função crescente para qualquer q R. (e) Construa o gráfico da q-exponencial em escalas linear-linear, log-linear, log-log e q-log-linear. (f) Verifique que há convergência não uniforme nos limites a seguir: lim lim q x ex q = = lim lim x q ex q = lim lim q x ex q = 0 lim lim x q ex q = Questão 6 q-logaritmo II (a) Do item (c) da questão anterior, conclua que a q-exponencial possui uma função inversa, a qual será chamada, naturalmente, de q-logaritmo. (b) Verifique que o q-logaritmo pode ser escrito da seguinte forma: ln q x = x t q dt.

4 Lista Mecânica Estatística Não Extensiva 202/0 CBPF 4 (c) Mostre que o q-logaritmo é uma função crescente para qualquer q R. (d) Dado q 0 e x R +, mostre que ln q x x. (e) Construa o gráfico do q-logaritmo. (f) Mostre que ( ) ln q = x q ln q x = ln 2 q x. x (g) Dado q, verifique o limite: lim x ln qx = 0. x 0+ Questão 7 Normalização da q-gaussiana Considere a seguinte distribuição gaussiana: G β (x) = Ae βx2 Impondo que esta distribuição seja normalizada, concluiremos que a constante A é dada por: G β (x) dx = A = β π Define-se a q-gaussiana como sendo uma função G q,β : X R R, tal que G q,β (x) = β C q exp q ( βx 2 ), onde β > 0 e C q, análogo ao caso gaussiano, é uma constante tal que X (a) Mostre que X = G q,β (x)dx =. (,+ ) se q ( ), se q <. q q (b) Verifique que a constante de normalização C q é dada por: 2 ( )[ ( )] π 3 q (3 q) q Γ Γ se q < q 2( q) C q = π se q = ( )[ ( )] π 3 q Γ Γ se < q < 3. q 2(q ) q

5 Lista Mecânica Estatística Não Extensiva 202/0 CBPF 5 (c) Construa o gráfico da q-gaussiana em escalas linear-linear, log-linear, log-log e q-log-(linear) 2. Questão 8 q-exponencial Complexa A q-exponencial pode ser estendida a um subconjunto do corpo dos números complexos. Neste caso, ela é definida como sendo una função exp q : X C C, tal que v.p.[ + ( q)z] /( q) q exp q (z) = exp(z) q =, onde v.p. indica que deve ser considerado só o valor principal da expressão que lhe segue. (a) Mostre que X = C se q e X = C {/(q )} se q >. (b) Mostre que [exp q (ix)] = exp q ( ix). (c) Dados q e x R, mostre que ( ) exp q (ix) = [+( q) 2 x 2 ] /[2( q)] exp i q arctan(( q)x). (d) Dado q (,3), mostre que + exp q (ix) 2 dx < +. Questão 9 Funções trigonométricas generalizadas Sejam o q-seno e q-cosseno definidos como sendo funções sen q,cos q : R R tais que sen q x = Im(exp q (ix)) e cos q x = Re(exp q (ix)) Definidos o q-seno e q-cosseno, pode-se definir a q-tangente como sendo uma função tan q : R R tal que tan q x = sen qx cos q x. (a) Dado q, mostre que ( ) tan q x = tan q arctan(( q)x). (b) Generalize a identidade trigonométrica sen 2 x+cos 2 x = e obtenha: sen 2 qx + cos 2 qx = e ix q e ix q = exp q ( ( q)x 2 ) (c) Verifique que se tem lim x ± sen qx = lim x ± cos qx = 0 quando q >.

6 Lista Mecânica Estatística Não Extensiva 202/0 CBPF 6 (d) Dado q, mostre que ( ) lim tan π qx = ±tan x ± 2(q ) (e) Construa os gráficos do q-seno, q-cosseno e q-tangente.. (f) Verifique que sen q x lim x 0 x = lim x 0 tan q x x =. Questão 0 Derivada de Jackson A derivada de Jackson é definida como: D q (x) = f (qx) f (x) qx x A expressão anterior recai na derivada convencional no limite q, isto é: lim D q(x) = q df (x) dx Mostre que a entropia S q se relaciona com a derivada de Jackson por meio de: S q = D q W p x i i= x= Compare esta relação com a relação semelhante existente entre S BG e a derivada convencional: S BG = d dx W p x i i= x= Questão Concavidade e Entropia de Renyi Sejam {p i } e {p i} dois conjuntos de probabilidades arbitrários e distintos associados a um único sistema com W estados. Um conjunto intermediário pode ser definido como: p i = λp i + ( λ)p i ( i; 0 < λ < ) Um funcional H({p i }) é côncavo se e somente se ele satisfaz: H({p i}) > λh({p i }) + ( λ)h({p i}) Mostre que tanto S BG ({p i }) quanto S q ({p i }) para q > 0 são funcionais côncavos. Verifique que S R q não é côncava para q >, onde S R q é a entropia de Renyi definida como: S R q = k [ W ] ln i= pq i q Prove que S R q é monótona crescente de S q q.

7 Lista Mecânica Estatística Não Extensiva 202/0 CBPF 7 Questão 2 Entropia S δ A entropia S δ é definida como: W S δ = +k p i (ln ) δ (δ > 0) p i i= (a) Mostre que para o caso de equiprobabilidade a expressão anterior resulta em: S δ = kln δ W (p i = W i ) (7) (b) Mostre que S δ é côncava no intervalo 0 < δ < +lnw. (c) Considere um sistema no qual a entropia de Boltzmann-Gibbs seja proporcional à área A, quer dizer, não extensiva. Determine, para este sistema, o valor do parâmetro δ de tal forma que tenhamos S δ proporcional ao volume V. Sugestão: trabalhe com as expressões equiprovaveis (3) e (7). Questão 3 Considere um sistema constituído por N = 3 partículas em contato com um reservatório térmico à temperatura T. Cada partícula pode se encontrar nos níveis energéticos ǫ =, ǫ 2 = 2 e ǫ 3 =, sendo a degenerescência de cada nível igual a g =, g 2 = 2 e g 3 = 2. Nesta questão deverão ser respondidos 5 itens para 3 situações distintas. Os 5 itens são: (i) Calcule a multiplicidade g({n i }) de uma configuração caracterizada por N = partícula no nível energético ǫ, N 2 = 2 partículas no nível ǫ 2 e nenhuma no nível ǫ 3. (ii) Calcule a função de partição (ensemble canônico) em função de e T (ou β = /kt). (iii) Calcule a energia média em função de e T, e determine o seu valor para T = 0 e para T. (iv) Qual é a probabilidade da energia do sistema ser 2? E de ser 3? (v) Calcule a entropia em função de e T, e determine o seu valor para T 0 e para T. As 3 situações distintas são: (a) Trate as partículas como partículas clássicas discerníveis. (b) Trate as partículas como bósons sem spin (indiscerníveis). (c) Trate as partículas como pseudo férmions (indiscerníveis, respeitando o princípio da exclusão mas sem spin). Para saber mais sobre o conceito de pseudo férmions faça uma busca por transição de fase spin-peierls.

8 Lista Mecânica Estatística Não Extensiva 202/0 CBPF 8 Sugestões de Referências: [] - Constantino Tsallis. Introduction to Nonextensive Statistical Mechanics: Approaching a Complex World. Springer (New York, 2009).