Teste 2 / Exame parte-ii FES MEFT

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1 Teste / Exame parte-ii FES MEFT 7 de Junho de 04, h30 Duração: h30 Prof. Responsável: Eduardo V. Castro Atenção: É permitido o uso de calculadora, mas não de outros dispositivos com esta aplicação (telemóveis, etc). Não são permitidos formulários. No nal do teste poderá encontrar um conjunto de fórmulas que podem ser úteis. Deve indicar os cálculos intermédios que realiza ao resolver cada questão. Resolver cada grupo numa folha separada (mas não separar/desagrafar). Note que a cotação máxima de cada teste/parte do exame é 0 valores.. [4.0 val] Considere uma rede cúbica simples com parâmetro de rede a. (a) [.0 val] Escolha os vectores primitivos e diga o que entende por rede. a = a(, 0, 0) a = a(0,, 0) a 3 = a(0, 0, ) Rede: R = n a + n a + n 3 a 3 com n i Z. (b) [.0 val] Obtenha os vectores primitivos da rede recíproca e identique essa rede. b = πa a 3 a (a a 3 ), b = πa 3 a a (a a 3 ), b 3 = πa a a (a a 3 ) b = π a b = π a b3 = π a (, 0, 0) (0,, 0) (0, 0, ) Rede cúbica. (c) [.0 val] Na aproximação harmónica a interacção entre dois átomos localizados nos pontos da rede é substituída pelo efeito de uma mola efectiva. Considerando apenas interacção entre vizinhos mais próximos, e designando por a constante da mola efectiva, obtenha a relação de dispersão para modos normais de vibração da rede cúbica.

2 Os modos normais de vibração podem ser obtidos da seguinte forma:. Perturbar ligeiramente as posições de equilíbrio, R R + δ R;. Derivar equações de movimento para as perturbações {δ R}; 3. Procurar soluções do tipo modo normal δ R = Ae i(ωt k R). Comecemos por calcular a força segundo o eixo dos xx que actua no átomo da posição R, ou seja, mδr x. Sabendo que se trata de uma aproximação harmónica a primeiros vizinhos, e que o sistema tem simetria cúbica, a força segundo x surge apenas se deslocarmos em x o átomo em R, ou os seus vizinhos em R a ou R+a. Todas as outras perturbações de todos os outros átomos não afectam a força segundo x que actua em R, ou pelo menos não o fazem em primeira ordem. Obtemos então a equação de movimento, m δr x = δr x + δ( R a ) x + δ( R + a ) x. Analogamente (ou evocando a simetria cúbica) obtêm-se as equações de movimento para δr y e δr z, mδr y = δr y + δ( R a ) y + δ( R + a ) y mδr z = δr z + δ( R a 3 ) z + δ( R + a 3 ) z. Procurando soluções do tipo modo normal obtêm-se três modos por cada vector de onda k. ω = kx a ω = ky a ω 3 = kz a. (d) [.0 val] Represente o resultado obtido perto do centro da ª zona de Brillouin, Γ = (0, 0, 0). Por exemplo:, 3. [3.0 val] No modelo dos electrões quase livres o potencial periódico da rede V (r) é tratado perturbativamente (ver formulário). (a) [.0 val] Considere um sistema D com potencial periódico V (x) = V 0 cos(πx/a), sendo a o parâmetro da rede. Determine o hiato de energia induzido pelo potencial entre a primeira kx

3 e a segunda banda. Para V 0 a ª e a ª bandas são degeneradas na fronteira da zona de Brillouin: E (0) k = E (0) k+g, com k = π a G = π a ou k = π a G = π a. Temos de usar teoria de perturbações degenerada:. Escolhemos combinação linear ψ = α k +β k + G que diagonaliza a perturbação;. Depois podemos usar teoria de perturbações não degenerada para ψ, com a correcção à energia dada pela expressão no formulário, sendo em geral suficiente a correcção de ª ordem já obtida no ponto. É necessário resolver o problema aos valores próprios Para isso precisamos dos elementos de matriz ˆV ψ = λ ψ. k ˆV k = k + G ˆV k + G = 0 k ˆV k + G = k + G ˆV k = V 0 /. ( ) ( ) ( ) 0 V0 / α α = λ V 0 / 0 β β E () k=± π a λ = ± V 0 E (0) k=± ± V 0 π hiato = V 0. a (b) [.0 val] Se o sistema D da alínea anterior for divalente, a perturbação induz um estado metálico ou isolador? Isolador. i. [.0 val] Para um sistema 3D com potencial V (x, y, z) = V 0 cos(πx/a)+v 0 cos(πy/a)+ V 0 cos(πz/a), estime o V 0 necessário (em função de, m e e a) para que o sistema divalente seja isolador. Para sistema divalente ser isolador é necessário:. Hiato de energia entre ª e ª banda;. Mínimo da ª banda (condução) acima do máximo da ª banda (valência). Espectro não perturbado : E (0) k = k m e Da forma de V (x, y.z) concluímos que o sistema é cúbico, logo a ª zona de Brillouin é um cubo. Para V 0, o máximo da ª banda ocorre nos vértices do cubo, exemplo k M = ( π a, π a, π a ), e o mínimo da ª banda no centro das faces do cubo, exemplo k m = ( π a, 0, 0). Claramente E(0) > E (0) km, sendo o sistema metálico para V 0. A perturbação V (x, y, z), que em ª ordem introduz um hiato de energia em toda a fronteira da zona, deve ser tal que E () < E () km, sendo o sistema isolador. Note-se, contudo, que a correcção de ª ordem aos estados k m é diferente da correcção de ª ordem aos estados k M. Para os primeiros a correcção é análoga à obtida na alínea (a). Contudo, sendo a ideia estimar, podemos usar a relação V 0 E (0) E (0) km, 3

4 donde se obtém V 0 π m e a. 3. [3.0 val] Um semicondutor é um isolador de banda com um hiato inferior a cerca de 4 ev. À temperatura ambiente alguns electrões são excitados termicamente da banda de valência para a de condução, passando o semicondutor a transportar corrente eléctrica. A facilidade com que se pode alterar a concentração de portadores de carga no semicondutor, quer por temperatura, quer por dopagem, ou mesmo perturbando com campos externos, está na base de grande parte dos dispositivos electrónicos sem os quais seria difícil imaginar o mundo em que vivemos. Analisemos algumas propriedades destes materiais. (a) [.0 val] Sabendo que a densidade de estados por unidade de volume para electrões livres é g(e 0) = (m e) 3/ π 3 E, mostre que a densidade de electrões na banda de condução de um semicondutor varia com a temperatura da seguinte forma: n(t ) = ( ) m 3/ e k B T 4 π e β(ec µ), sendo E c o limite inferior da banda de condução. NOTA: 0 dxx / e βx = β 3/ π/. Seja E c o mínimo da banda de condução, n(t ) = deg (E)n F (E, T ) E c com g (E) = (m e) 3/ E Ec π 3 e n F (E, T ) = e β(e µ) + E c µ k B T n F (E, T ) e β(e µ) n(t ) (m e) 3/ π 3 E c de E E c e β(e µ) = (m e) 3/ π 3 e β(ec µ) dxx / e βx 0 ( ) m 3/ e k B T e β(ec µ). = 4 π (b) [.0 val] O hiato energético no silício é cerca de. ev. Assumindo que a massa efectiva é isotrópica, aproximadamente a mesma para electrões e lacunas, e vale cerca de metade do valor da massa do electrão livre m e /, estime a concentração de electrões de condução para o silício não dopado à temperatura ambiente. m e = m h µ = E c + E v ( ) 3/ me k B T e β(ec Ev)/ n(t ) = 4 π E c E v E g =. ev n(t = 300K) m 3. 4

5 (c) [.0 val] Para o caso de um semicondutor tipo-n, esboce o gráco ln(n) vs /T para o intervalo de temperaturas desde o congelamento dos portadores nas órbitas hidrogenóides dos dadores até à temperatura ambiente. Três regiões principais:. Comportamento linear com declive E g / para T suficientemente elevada (que inclui T amb ), com µ bem no interior do hiato -- excitação térmica de electrões da banda de valência para a banda de condução;. Patamar para temperatura intermédia -- todos os dadores ionizados devido à energia térmica (dopagem extrínseca), mas essa energia térmica é insuficiente para promover dopagem intrínseca; 3. Comportamento linear com declive (E c E d ) para T suficientemente baixa (muito inferior a T amb ), sendo E d a energia típica dos estados de impureza -- excitação térmica de electrões congelados nos dadores para a banda de condução. ln(n) /T Formulário: Constantes: Distribuições de Planck: k B = J/K e = C m e = kg N a = h = kg m /s n B (ɛ, T ) = e ɛ/k BT Distribuição de Fermi Dirac: n F (ɛ, T ) = e (ɛ µ)/k BT + Teoria de perturbações independente do tempo: caso não degenerado E(k) = E 0 (k) + k ˆV k + k =k+g G 0 k ˆV k E 0 (k) E 0 (k )