Física de Semicondutores. Aula 10 Defeitos Aproximação de massa efetiva

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1 Física de Semicondutores Aula 10 Defeitos Aproximação de massa efetiva

2 Aula anterior: Cálculo dos níveis de energia de impurezas rasas H U r E r 0 onde H 0 é o Hamiltoniano de um elétron no potencial do cristal e U é a energia potencial do elétron no potencial coulombiano blindado U e V s Usando a constante dielétrica como aproximação para o efeito de blindagem do potencial pelos outros elétrons: e 1 V s 4 0 r O efeito do potencial cristalino é representado usando para o elétron a massa efetiva m*, diferente da massa de um elétron no vácuo: e Cr EC r 2 m* 4 0

3 O problema de cálculo dos níveis de energia eletrônicos introduzidos pela impureza (defeito) raso passa a ser então a ser análogo ao átomo de H. As energias são: onde m* E E 0 E E C E Hn, 2 2 Dn, C Hn, m ,6 ev n é o fundo da banda de condução e são as auto-energias do hidrogênio. Concordância com o que é encontrado na prática é muito boa, para um grande número de impurezas e defeitos. Estes são então denominados defeitos rasos.

4 Aproximação de massa efetiva (aproximação da função envelope) A função de onda do elétron doador, H U r E r 0 r, não tem a forma de uma função de Bloch, já que o defeito quebra a periodicidade translacional. Nesse caso, é conveniente usar as funções de Wannier, definidas por: A relação inversa, ou seja, as funções de Bloch nk (r) em termos das funções de Wannier a n (r;r i ) é: As funções de Bloch são indexadas pelos vetores de onda na rede recíproca, as funções de Wannier são indexadas pelos vetores da rede real R i. Funções de Bloch: boas para representar estados estendidos no cristal; Funções de Wannier: boas para representar estados localizados.

5 Propriedades das funções de Wannier As a n (r;r i ) são funções de (r R i ) apenas; As a n (r R i ), onde R i varia sobre todos os vetores da rede real, formam um conjunto completo ortonormal de funções (uma base para o espaço de funções); São auto-funções do operador vetor da rede R op : O operador vetor da rede R op atuando sobre a função de onda produz (demonstração no livro do Yu-Cardona)

6 Os operadores vetor da rede real e vetor da rede recíproca são operadores conjugados: O Hamiltoniano do nosso problema é e H U r E r 0 A função de onda pode ser expandida na base das funções de Wannier: Os coeficientes C n (R i ), as amplitudes das funções de Wannier, são as chamadas funções de onda envelope. Aproximação: supor que o potencial U(r) varia lentamente em uma célula unitária. Assim: U ( r ) U R

7 Chamando os autovalores de H 0 de W n (k), a eq. de Schrödinger fica: W k U RC R E C R n n No caso em que a banda de condução do semicondutor tem o ponto de mínimo localizado no centro da zona de Brillouin e é isotrópico, nãodegenerado e parabólico: 2 2 k Wn k Ec0 2 m* n onde 1 1 m* E k k Colocando k na forma de operador, k i R 2 U R C R EE 0 C R 2 2 m* R c

8 Esta equação, usando o potencial UR 4 2 e 1 0 R, é a eq. de Schrödinger para um átomo de hidrogênio onde o elétron tem massa m* e o potencial coulombiano está modificado pela constante dielétrica. Esta é a chamada aproximação de massa efetiva ou aproximação da função envelope. A solução nos fornece, além dos auto-valores da energia, as funções envelope C(R). Para obter a função de onda eletrônica (r) temos de multiplicar as funções envelope pelas funções de Wannier. Usando temos:

9 Vamos supor que a soma sobre k pode ser restrita a um conjunto pequeno de valores, próximos do mínimo da banda de condução. Isto é uma boa aproximação para situações em que a extensão espacial da função de onda do elétron doador é grande comparada com o tamanho da célula unitária. Neste caso, u (k) ~ u (0) e É interessante comparar este resultado com a função de onda apropriada para um elétron de condução, que pode ser obtida multiplicando-se u 0 (r) por uma onda plana. A função de onda para o elétron doador é obtida multiplicando-se u 0 (r) pela função envelope, que é localizada em torno do defeito.

10 Exemplo de função envelope (Yu e Cardona, Physical Properties )

11 Doadores associados com bandas de condução anisotrópicas Exemplos: Si, Ge, GaP, Problemas em usar o modelo de massa efetiva: anisotropia da banda, m* constante; mínimos degenerados Podemos tomar a massa efetiva como um tensor de segunda ordem: No caso do Si: m * i, j 2 2 E kik j 1 A eq. de onda será: que é a equação de um átomo de hidrogênio elíptico.

12 A solução desta equação em geral exige métodos numéricos. Bons resultados são obtidos usando métodos variacionais. Normalmente é necessário incluir, como perturbação, a interação com os outros vales (degenerados) da banda de condução (acoplamento valeórbita). Cálculo de níveis de energia aceitadores Mais complicado ainda pois banda de valência degenerada próximo do centro da zona de Brillouin; bandas de valência são anisotrópicas. não é possível definir um tensor de massa efetiva simples Diversos métodos de cálculo, todos numéricos Parâmetros das bandas de valência (massa efetiva por exemplo) são mais convenientemente expressos em termos dos parâmetros de Luttinger i

13 Hamiltoniano de Luttinger para a banda de valência de semicondutores com estruturas blenda de zinco ou diamante: (eq. 2.70, Yu e Cardona 2005) Os parâmetros de Luttinger i são dados por e

14 Parâmetros de Luttinger determinados para vários semicondutores (Yu e Cardona 2005)

15 Centros profundos Centros (defeitos, impurezas) para os quais as funções de onda são significativamente localizadas não são bem descritos pela aproximação de massa efetiva. As funções de onda eletrônicas associadas a estes centros tem de ser construídas superpondo-se funções de Bloch de várias bandas, para vários valores de k. Para calcular os níveis de energia associados a centros profundos é necessário conhecer o potencial associado ao defeito, para então resolver a equação de Schrödinger. Problema complicado pois necessário introduzir a interação entre os elétrons (localizados) da impureza e os elétrons (em estados estendidos) do material; em geral ocorre deslocamento de átomos em torno do defeito, uma relaxação da rede, modificando o potencial local.

16 Alguns defeitos (e.g. centros D-X em GaAs, AlGaAs) podem existir em duas configurações: defeito raso ou defeito profundo (quando associado a uma deformação da rede cristalina). Exemplo de deformação da rede cristalina em torno de uma vacância (Yu e Cardona 2005)