Lab. Eletrônica: Oscilador senoidal usando amplificador operacional

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1 Lab. Eletrônica: Oscilador senoidal usando amplificador operacional Prof. Marcos Augusto Stemmer 27 de abril de 206 Introdução teórica: Fasores Circuitos contendo capacitores ou indutores são resolvidos usando equações diferenciais. A relação entre tensão e corrente em um capacitor é dada por: i C (t) C dv C Considere o exemplo do circuito a seguir: Neste circuito pode-se estabelecer a seguinte equação () diferencial: Figura : Circuito com fonte de tensão, resistência e capacitor Usando a eq() para substituir i C (t): v C (t) + Ri C (t) v i (t) (2) v C (t) + RC dv C(t) v i (t) (3) Tratando-se de equações diferenciais lineares deste tipo, pode-se saber que se o sinal de entrada v i (t) for uma onda senoidal de frequência angular ω, todas as correntes e as tensões neste circuito também terão forma senoidal de frequência ω. Cada corrente ou tensão senoidal deste tipo terá dois parâmetros a determinar: a amplitude e a fase. Uma forma conveniente de representar a amplitude a a fase é usando números complexos. A frequência angular ω, medida em radianos por segundo, é igual a frequência f em Herz multiplicada por 2π. Herz é o mesmo que ciclos por segundo. ω 2πf (4) Considerando que o sinal de entrada v i (t) é uma senoidal dada por: v i (t) A i cos(ωt) + B i cos(ωt) (5) Esta função do tempo pode ser obtida a partir do fasor complexo V i : v i (t) R( 2V i e jωt ) (6)

2 A operação R(z) pega a parte real de um número complexo z. O fasor complexo V i pode ser decomposto na sua parte real e imaginária: A função e jωt pode ser decomposta usando a identidade de Euler: Substituindo (7) e (8) na equação (6): V i E i + jf i (7) e jωt cos(ωt) + j sin(ωt) (8) v i (t) R[ 2(E i + jf i )(cos(ωt) + j sin(ωt))] (9) Efetundo estas operações e pegando apena a parte real: Comparando (9) com () vemos que v i (t) 2E i cos(ωt) 2F i sin(ωt) (0) A i 2E i B i 2F i () Sabe-se a priori que a solução v C (t) também é uma senoidal com a mesma frequência: v C (t) R( 2V C e jωt ) (2) Substituindo (5) e () em (3) podemos estabelecer uma equação para determinar o valor dos fasores: R( 2V C e jωt ) + RC d [R( 2V C e jωt )] R( 2V i e jωt ) (3) Efetuando a derivada e eliminando o fator 2 presente em todos os termos: R(V C e jωt ) + RCjR(V C ωe jωt ) R(V i e jωt ) (4) Se esta equação for válida para todo o valor complexo, tambem será válida para a parte real: V C e jωt + jωcrv C e jωt V i e jωt (5) Esta equação é uma identidade válida para todos os valores de t quando os coeficientes complexos satifizerem a equação: V C + jωcrv C V i (6) Desta forma pode-se obter o fasor V C : V C V i + jωcr (7) A relação dos fasores V C /V i é a função de tranferência deste circuito: A v V C V i + jωcr (8) Pode-se usar o valor do fasor V C para obter a função do tempo v C (t) de acordo com a equação (). As equações com fasores podem ser estabelecidas diretamente a partir do circuito, observando que a derivada na função do tempo é substituida pela multiplicação por jω na equação fasorial. As relações tensão-corrente dos componetes em função do tempo: São substituidas por v R (t) Ri R (t) v L (t) L di L(t) i C (t) C dv C(t) (9) V R RI R V L jωli L I C jωcv C (20) 2

3 . Exemplo numérico Considere que no circuito da figura os componentes tem os seguintes valores: R 5kΩ C µf ω 400rad/s v i (t) 0 cos(ωt) (2) Determine a tensão no capacitor v C (t) como uma função do tempo. Solução Inicialmente detrmina-se o fasor V i associado à tensão en função do tempo v i (t): O fasor V C pode ser obtido de acordo com o resultado (6): V i j0 (22) V C V i + jωcr j j2 (23) V C E C + jf C 2( j2) (24) Com o fasor obtem-se a função do tempo: v C (t) 2E C cos(ωt) 2F C sin(ωt) (25) Com os valores numéricos fica assim: v C (t) 2 cos((400rad/s)t) + 4 sin((400rad/s)t) (26) 2 Oscilador Senoidal Usando a teoria de fasores vamos projetar e construir um oscilador de onda senoidal usando um aplificador operacional e alguns capacitores e resistores. 2. Função de Transferncia Considere que no circuito a seguir, o sinal de entrada é uma função senoidal com frequência variável ω. A malha com 2 capacitores deve ter uma função de transferência com denominador de segundo grau. Figura 2: Circuito com Função de transferência passa-banda O aplificador operacional está configurado como um amplificador não inversor com ganho K: K V o V 3 + R 3 R 4 (27) 3

4 A função de transferência de V até V 3 pode ser obtida estabelecendo equações de tensões nos nós: jωc (V 2 V ) + V 2 + V 2 V 3 0 R (28) V 3 V 2 + jωc 2 V 3 0 (29) Usando a eq (29) obtem-se V 3 : Pode-se substutuir a eq(30) na eq(28) V 3 V 2 + jωc 2 (30) V 2 [(jωc R + + R )( + jωc 2 ) ] jωc R ( + jωc 2 )V (3) Resolvendo para obter V 2 : Reagrupando o denominador: V 2 jωc R ( + jωc 2 )V (jωc R + + R )( + jωc 2 ) (32) V 2 jωc R ( + jωc 2 )V (jω) 2 C R C 2 + jω(c R + C 2 R + C 2 ) + R (33) Usando a eq(30) chega-se em V 3 : V 3 jωc R V (jω) 2 C R C 2 + jω(c R + C 2 R + C 2 ) + R (34) O ganho total é obtido multiplicando pelo ganho K do amplificador não inversor: A v (ω) V o V jωc R K (jω) 2 C R C 2 + jω(c R + C 2 R + C 2 ) + R (35) Um caso particular interessante ocorre quando os dois capacitores tem o mesmo valor: C C 2 C e a as resistências R e são iguais: R R. Neste caso a função de transferência simpifica-se ficando assim: A v (ω) V o V (jωcr)k (jωcr) 2 + 3(jωCR) + (36) Observe que é conveniente manter junto o termo adimensional (jωcr). Esta é uma função de transferência tipo passa-banda que tem um zero na origem e dois polos reais. Para (jωcr) << a defasagem é próxima de +90 o e o ganho é muito pequeno. Para (jωcr) >> a defasagem é próxima de 90 o e o ganho é muito pequeno. Em frequências intermediárias, com (jωcr) próximo de, o ganho é máximo e a defasagem passa por zero. 4

5 2.2 Condição de Oscilação O circuito de filtro passa-banda mostrado na figura 2 pode ser transformado em um oscilador senoidal substituindo o sinal de entrada V pelo sinal de saída V o, fazendo uma realimentação da saída para a entrada como mostra a figura a seguir: Vimos que o ganho de malha aberta A v (ω) Figura 3: Oscilador senoidal deste circuito é dado pela equação (36). Se nesta configuração existir uma frequência ω osc e um ganho K osc que faz com que o ganho de malha aberta A v (ω) seja, este circuito realimentado irá gerar um sinal de saída V o com a amplitue e fase necessária para sevir como sinal de entrada V que produz este mesmo sinal V o. Desta forma o circuito poderá ter uma oscilação auto sustentada. Genericamente pode-se dizer que a condição de oscilação é a seguinte: A v (ω osc ) (37) Quando esta condição é estabelecida, a frequência genérica ω passa a ser a frequência de oscilação ω osc. Por ser uma equação complexa, a condição de oscilação vale por duas equações, fixando duas variáveis: a frequência ω, que passa a ser ω osc e o ganho K que passa a ser K osc. No caso particular da função de tranferência da eq (36), a condição de oscilação fica assim: V o V Multiplicando pelo termo do denominador: A parte real permite determinar ω osc : (jω osc CR)K osc (jω osc CR) 2 + 3(jω osc CR) + (38) (jω osc CR)K osc (jω osc CR) 2 + 3(jω osc CR) + (39) 0 (ω osc CR) 2 + (40) Portanto ω osc CR Usando a parte imaginária determina-se K osc : (4) Conclui-se que (jω osc CR)K osc 3(jω osc CR) (42) K osc 3 + R 3 R 4 (43) A condição K osc 3 significa que se K < 3 o circuito não oscila, porque qualquer oscilação tende a diminuir até se praticamente se extinguir. Se K > 3 a oscilação é crescente. Na prática isto significa que a amplitude vai aumentar até que os transistores do amplificador começem a saturar. O resultado é uma forma de onda senoidal distorcida (achatada). Com K 3 temos uma oscilação senoidal de amplitude constante. 5

6 2.3 Controle automático de ganho Foi visto que idealmente este oscilador deve ter ganho K 3 para que haja uma oscilação senoidal sustentada sem distorção. Na prática, por causa das incertezas e variações dos valores dos componentes, não se consegue contruir um amplificador que tenha sempre um ganho exatamente igual a tres. Para poder garantir que o oscilador vai oscilar é necessário fazer com que o ganho seja um pouco maior que 3. Isto faz com que a forma de onda fique distorcida, devido a daturação do amplificador. Com o acrescimo de dois diodos e um resistor pode-se incluir um controle automático de ganho no circuito do oscilador, como mostra a figura (4). O circuito de Controle automático de ganho faz com que o amplificador tenha ganho um pouco maior que 3 pra pequenas amplitudes e menor que 3 para grandes amplitutes. Quando a amplitude da oscilação é pequena, os diodos não chegam ao Figura 4: Oscilador senoidal com controle automático de ganho limiar de condução, de modo que o resistor R 5 fica sem efeito. Nesta situação o ganho deve ser um pouco maior que 3. Para amplitudes maiores, os diodos conduzem e o resistor R 5 aparece em paralelo com R 3, reduzindo o ganho efetivo do circuio. Para escolher um valor conveniente de R 5, deve-se começar escolhendo R 3 e R 4 de modo que R 3 seja um pouco maior que 2R 4. Considera-se que V D é a tensão de condução direta dos diodos. Estabelecendo uma equação das correntes saindo do nó V A, temos o seguinte: V A + V A V o + V A + V D V o 0 (44) R 4 R 3 R 5 Na condição de oscilação deseja-se que V o 3V A. Então vamos substituir V o por 3V A na eq(44): V A + V A 3V A + V A + V D 3V A 0 (45) R 4 R 3 R 5 Escolhe-se uma amplitude desejada para V A e resolve-se a eq (45) para obter R5: R 5 2V A V D V A R4 2V A R 3 (46) Quando R 5 é muito maior que R 3, esta forma de calcular R 5 é fica instável. Use-a apenas para ter uma idéia preliminar do valor de R 5. Alguns testes com diferentes valores para R 5 podem dar melhor resultado. 6