MODELAGEM MATEMÁTICA DE SISTEMAS PNEUMÁTICOS

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1 Modelagem Matemática de Sistemas Pneumáticos MODELAGEM MATEMÁTICA DE SISTEMAS PNEUMÁTICOS INTRODUÇÃO Os sistemas pneumáticos são sistemas fluidos que usam principalmente o ar como meio para a transmissão de sinais e de potência. Assim como os sistemas hidráulicos, também os sistemas pneumáticos são largamente empregados na automação industrial, sendo que vários tipos de controladores pneumáticos são encontrados em sistemas de controle. A fig. ilustra um exemplo de utilização do ar: uma garra mecânica, onde A e B são os dedos e o pino C está fixado à haste do pistão pneumático. Quando o pistão move-se para cima, a garra segura a peça a ser trabalhada; quando o pistão move-se para baixo, a garra solta a peça. Fig. Devido à compressibilidade do ar, que é o fluido de trabalho mais utilizado, o estudo dos sistemas pneumáticos é mais complicado do que o dos sistemas hidráulicos. Em nosso estudo, inicialmente faremos uma revisão das propriedades físicas e termodinâmicas do ar, o qual, em geral, será considerado como um gás perfeito. Em seguida, serão apresentadas, a título de ilustração, as modelagens matemáticas de dois sistemas pneumáticos: o escoamento de ar em um sistema simples constando apenas de uma tubulação, uma válvula e um reservatório de ar, e um sistema compreendendo uma mola de ar. PROPRIEDADES FÍSICAS DO AR O ar seco, que é o ar desprovido de umidade, é o mais indicado para uso em sistemas pneumáticos, principalmente por questões de custo e disponibilidade. Na prática, são colocados desumidificadores e filtros na linha de ar comprimido para obter o ar seco no circuito pneumático. A composição volumétrica do ar seco, ao nível do mar, é dada aproximadamente por

2 Modelagem Matemática de Sistemas Pneumáticos N : 78 % O : % CO, gases raros, etc.: % O ar seco apresenta as seguintes propriedades físicas: -> Peso molecular: 9,0 g/gmol -> Constante do gás: R ar 87 N.m/g K -> Calor específico: c p 0,40 cal/g K (a pressão constante) c v 0,7 cal/g K (a volume constante) -> Razão entre calores específicos: c p /c v,4 (considerando o ar como gás perfeito, o que é muito comum na modelagem matemática, passa a ser chamado de expoente adiabático) -> Massa específica: ρ,93 g/m 3 -> olume específico: v /ρ 0,7734 m 3 /g -> Peso específico: γ ρg,68 N/m 3 Obs.: () As propriedades acima são as obtidas nas condições normais de temperatura e pressão (CNTP), que são: P,033 x 0 5 Pa T 0 0 C 73 K () Conversão de unidades: K 0 C + 73 N.m J,389 x 0-4 cal Kcal 486 J 3 LEI DOS GASES PERFEITOS Conforme já mencionamos, é muito comum considerar o ar como gás perfeito, o qual obedece à expressão P P ( ) T T onde T i, P i e i, i,, são, respectivamente: temperatura absoluta [K], pressão absoluta [Pa] e volume [m 3 ] no estado i. Da eq. () podemos obter:

3 Modelagem Matemática de Sistemas Pneumáticos 3 P ( ) T cons tan te Em baixas pressões e temperaturas suficientemente altas, todos os gases se comportam de modo a obedecer a equação ( 3) P mrt onde R é uma constante que depende do gás [N.m/g.K] m é a massa de gás [g] Dividindo a eq. (3) por m: ( 4) P m RT e levando em conta que o volume específico é definido como (5) /m v Podemos rescrever a eq. (3) como (6) Pv RT 4 PRIMEIRA LEI DA TERMODINÂMICA Se for fornecido calor a um gás, parte dessa energia térmica é usada para aumentar a energia interna do gás (através do aumento de sua temperatura) e parte é usada para produzir trabalho (como uma expansão de volume). Matematicamente: (7) Q U U + W onde Q é a quantidade de calor fornecido [cal] U e U são as energias internas nos estados e, respectivamente [cal] W é o trabalho mecânico realizado, também em [cal], logo devemos levar em conta que N.m J,389 x 0-4 cal 5 PROCESSOS TERMODINÂMICOS Um sistema pneumático pode evoluir de um estado inicial para um estado final, o que constitui um processo termodinâmico. Podemos ter vários tipos de processos, conforme uma das propriedades permaneça constante durante o mesmo. Assim, podemos ter: () Processo Isométrico (volume constante) Nesse caso, constante, de modo que a eq. () fica

4 Modelagem Matemática de Sistemas Pneumáticos 4 P ( 8) P T T ou seja, as pressões são diretamente proporcionais às temperaturas. Como constante, não há trabalho mecânico, de modo que podemos substituir na eq. (7) para obter (9) Q v mc v (T T ) U U ou seja, o calor fornecido é todo convertido no aumento da energia interna do gás. () Processo Isobárico (pressão constante) Nesse caso, P P constante, de modo que a eq. () fica T ( 0) T isto é, os volumes são diretamente proporcionais às temperaturas. Parte do calor fornecido, Q p, dado por () Q p mc p (T T ) transforma-se em trabalho mecânico ( ) W Pd P( ) Usando a eq. (3): (3) W mr(t T ) Por outro lado, uma outra parte do Q p serve para aumentar a energia interna do gás. Levando na eq. (7) (atenção nas unidades!): mc p (T T ) U U + mr(t T ) (4) U U m(c p R)(T T ) (3) Processo Isotérmico (temperatura constante) Nesse caso, T T constante, de modo que a eq. () fica (5) P P

5 Modelagem Matemática de Sistemas Pneumáticos 5 Aqui, o calor fornecido, Q t, é totalmente transformado em trabalho, pois, como não há variação de temperatura, U U 0: Levando na eq. (7): (6) W d Pd mrt mrt Q t mrt ln d mrt ln (4) Processo Adiabático Reversível (Isentrópico) Nesse caso, por ser o processo adiabático, temos Q 0. Levando na eq. (7): (8) U U W Por outro lado, por ser o processo isentrópico, temos (9) P constante P P onde é o expoente adiabático, dado, para um gás perfeito, por (0) c p /c v logo, o trabalho W será dado por W P Pd const P d const[ ] + + P P const( ) () W P P A variação da energia interna é dada por U - U mc v (T - T ) ou () U - U mc v (T - T ) Levando as eqs. () e () na eq. (8): mc (T T ) v P P

6 Modelagem Matemática de Sistemas Pneumáticos 6 Entretanto, c p - c v R e c p /c v donde tiramos - c p /c v - (c p - c v )/c v R/c v o que permite escrever a equação anterior como (3) Obs.: mr(t - T ) P - P ) a compressão e a expansão do ar em um cilindro pneumático são, aproximadamente, isentrópicas. (5) Processo Politrópico É o mais geral, sendo representado pela equação (4) P n constante onde, agora, n é chamado de expoente politrópico. O processo politrópico pode ser particularizado para os casos () a (4), atribuindo valores diferentes para n: n 0 n n n processo isobárico processo isotérmico processo isentrópico processo isométrico 6 ELEMENTOS BÁSICOS DO SISTEMA PNEUMÁTICO Os elementos básicos do sistema pneumático são representados pelas propriedades abaixo, as quais já foram definidas para o sistema hidráulico: - RESISTÊNCIA: (5) R d P N [ m ] [N.s/m 5 ] dq 3 m / s - CAPACITÂNCIA: (6) d C [ dp 3 m N / m ] [m 5 /N] As propriedades acima foram definidas em termos volumétricos. É conveniente, aqui, redefini-las em termos mássicos:

7 Modelagem Matemática de Sistemas Pneumáticos 7 - RESISTÊNCIA MÁSSICA: (7) R d P dq N.s g.m onde q dm/dt é a vazão mássica de gás, em [g/s]. - CAPACITÂNCIA MÁSSICA: (8) dm g m C [ ] dp N onde dm é a variação na massa de gás existente no interior do reservatório. Exemplo Ilustrativo: Cálculo da capacitância C de um vaso de pressão contendo ar, considerado como um gás perfeito. Como m ρ, diferenciando, obtemos dm ρd + dρ. Entretanto, o vaso de pressão é considerado rígido, de modo que d 0, logo dm dρ. Portanto, a eq. (8) pode ser escrita como (9) C dρ g m [ ] dp N onde é o volume do vaso [m 3 ] ρ é a massa específica do ar [g/m 3 ] Assumindo o ar como um gás perfeito, podemos escrever, a partir da eq. (6): Pv R ar T ou, como v /ρ, (30) P/ρ R ar T Considerando o caso mais geral de um processo politrópico, dado pela eq. (4): ou, em termos de v: P n constante Pv n constante ou, ainda, em termos de ρ: (3) P constante ρ n Diferenciando: (3) dp constante n ρ (n-) dρ Da eq. (3) obtemos constante P/ρ n que, levada na eq. (3), nos dá

8 Modelagem Matemática de Sistemas Pneumáticos 8 Levando em conta a eq. (30): p dp nρ n ρ dρ ρ dp np dρ dp nr ar (n ) T dρ e, finalmente, tendo em vista a eq. (9): (33) C nr ar T Na prática, podemos considerar como sendo um processo isotérmico o que o ar sofre em um sistema pneumático, ou seja, podemos supor n, logo: (34) C R T ar 7 MODELAGEM MATEMÁTICA DO ESCOAMENTO DE AR EM TUBULAÇÃO E ASO DE PRESSÃO Seja o sistema pneumático da fig., constituído por uma tubulação e um vaso de pressão: Fig. onde P é a pressão no ponto de operação. Uma variação P i na pressão a montante da resistência R provocará uma vazão mássica para o interior do vaso, produzindo uma variação P o na pressão interna do mesmo. Por outro lado, a resistência mássica R não é constante, de acordo com a eq. (7): (7) R d P dq Para linearizar o modelo, tomemos, como aproximação, um valor médio para R:

9 Modelagem Matemática de Sistemas Pneumáticos 9 (35) R P P i 0 q 0 P i P q 0 Além disso, a capacitância mássica é dada pela eq. (8): C dm dp o onde o índice "0" se refere às condições no interior do vaso. Multiplicando ambos os lados da equação acima por dp o /dt: dpo dm C q dt dt Levando em conta a eq. (35): dpo Pi Po C dt R ou, ordenando: (36) Po RC + Po Pi dt que é o modelo matemático desse sistema pneumático. O valor de C, se considerarmos um processo isotérmico, poderá ser obtido através da eq. (34). Na eq. (36), RC é a constante de tempo do sistema. Notemos que esse sistema pneumático é análogo ao circuito elétrico RC paralelo (mesma EDOL) da fig. 3: Fig. 3 cujo modelo matemático é dado pela EDOL (37) deo RC + eo ei dt Comparando as eqs. (36) e (37), podemos estabelecer a seguinte analogia eletro-pneumática: Sistema Pneumático RC R C P i P o Circuito Elétrico RC Paralelo R C e i e o

10 Modelagem Matemática de Sistemas Pneumáticos 0 8 MODELAGEM MATEMÁTICA DE UMA MOLA DE AR Como outro exemplo de modelagem de sistema pneumático, consideremos um cilindro pneumático no qual o ar desempenha um papel de "mola", fornecendo uma força restauradora ao sistema. A fig. 4 ilustra uma mola de ar que trabalha em conjunto com uma massa, formando um sistema híbrido do tipo pneumáticomecânico. Fig. 4 Um deslocamento x dado à massa m no sentido positivo (para a direita) provoca uma compressão no ar contido na câmara e uma depressão no ar contido na câmara, fazendo com que surja uma força restauradora (P - P )A para a esquerda, onde P i é a pressão na câmara i e A é a área do pistão, cuja massa é considerada desprezível na presença da massa principal m. Aplicando a a Lei de Newton: ou.. P )A m x ( P.. m (38) x+ (P P )A 0 amos exprimir as pressões em termos de x. Para isso, consideremos, na fig. 4, que as distâncias d correspondam à situação de equilíbrio estático (ponto de operação, denotado pelo índice "o"). Como as massas no interior das câmaras se conservam, podemos escrever m ρ A(d + x) ρ o Ad donde tiramos (39) ρ ρ m ρ A(d - x) ρ o Ad ρ od ρ o d + x ρ od ρ o d x + x / d x / d Por outro lado, se considerarmos o processo como isentrópico, podemos usar a eq. (9): (9) P constante P P Em termos das massas específicas: P ρ - P o ρ o - de modo que P ρ - P o ρ o -

11 Modelagem Matemática de Sistemas Pneumáticos (40) ρ ρ P ρ P P o o o P ρ o Elevando as eqs. (39) à potência e levando em conta as eqs. (40), chegamos a (4) P P Po ( + Po ( ) x / d ) x / d Substituindo na eq. (38), obtemos o modelo matemático (4).. m x+ APo ( ) x / d ( + ) x / d 0 que é uma equação diferencial não linear de a ordem, homogênea. EXERCÍCIOS Com referência ao sistema pneumático da fig., considere que o mesmo se encontre em regime permanente para t < 0, quando a pressão é dada por _ P 5x0 5 N / m. No instante t0, a pressão na entrada varia subitamente de P para P + Pi onde P i é um degrau de magnitude x 0 4 N/m. Essa variação faz com que o ar escoe para dentro do vaso, acarretando uma variação na pressão do ar no seu interior de P para P + Pi. A vazão inicial de ar é q(0) 0-4 g/s. Considerando o processo isotérmico à temperatura T 93 K e que o vaso tenha um volume de 0, m 3, pedem-se: () constante de tempo do sistema; () resposta no tempo, P 0 (t). Resp.: () 38 s; P 0 (t) x0 4 ( - e -0,004t )

12 Modelagem Matemática de Sistemas Pneumáticos Seja o sistema pneumático da figura, no qual as grandezas representadas em maiúsculas e com uma barra em cima são valores em regime permanente. Uma pequena variação P i na pressão de entrada faz com que o fole sofra um pequeno deslocamento x. Considerando x(t) como saída e P i (t) como entrada, obter a função de transferência para o sistema. 3 Considere o sistema pneumático da figura. Para t < 0, a válvula de entrada está fechada, a válvula de saída (que é idêntica à de entrada) está totalmente aberta e a pressão p no interior do vaso é igual à pressão atmosférica. No instante t 0, a válvula de entrada é totalmente aberta. A tubulação de entrada está conectada a uma fonte de pressão que fornece ar a uma pressão constante manométrica p 0,5 x 0 5 N/m. Considerando o processo isotérmico, determinar a pressão p no interior do vaso depois que a válvula de entrada for totalmente aberta.