TERMODINÂMICA 3 INTRODUÇÃO AO 2º PRINCÍPIO DA TERMODINÂMICA

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1 3 INRODUÇÃO AO º PRINCÍPIO DA ERMODINÂMICA

2 3. O ciclo de Carnot (84). ERMODINÂMICA Investigou os princípios que governam a transformação de energia térmica, calor em energia mecânica, trabalho. Baseou seus estudos numa transformação cíclica de um sistema que agora é chamado ciclo de Carnot. O ciclo de Carnot consiste de 4 etapas reversíveis e, portanto, é um ciclo reversível. Um sistema é sujeito consecutivamente às seguintes transformações de estado reversíveis. Etapa : Expansão isotérmica Etapa : Expansão adiabática Etapa 3: Compressão isotérmica Etapa 4: compressão adiabática

3 Fig Ciclo de Carnot num diagrama p-v.

4 Como a massa do sistema é fixa, o estado pode ser descrito por duas das três variáveis, p, V. Um sistema desse tipo, que produz apenas efeitos de calor e trabalho nas vizinhanças, é chamado máquina térmica. Para o ciclo: U W ci 0 ci ci W ci ( 3.) ou A soma das expressões do º princípio para as 4 etapas fornece: W ci ci W + W + + W 3 + W 4 ( 3.) ( 3.3)

5 Etapa Estado inicial Estado final Expressão do º Princípio., p, V, p, V U W, p, V, p 3, V 3 U - W 3, p 3, V 3, p 4, V 4 U 3 W 3 4, p 4, V 4, p, V U 4 - W 4 Combinando as equações (3.) e (3.3) temos: W + ciclo ( 3.4) Se W ci é +, então o W foi produzido às custas da energia térmica das vizinhanças. O sistema não sofre nenhuma transformação líquida no ciclo, isto é, volta ao estado inicial.

6 Lord Kelvin (854); º Princípio: É impossível realizar um perpetuum móbile de º espécie, ou seja, uma máquina que, operando em ciclos, tenha como único efeito a produção de W à custa do calor de uma única fonte térmica. Nesse caso W ci, então W ci é -, ou na melhor das hipóteses zero, isto é, W ci 0. É impossível para um sistema operando num ciclo e acoplado a um único reservatório de calor produzir uma quantidade + de W nas vizinhanças.

7 Fig Gás ideal sujeito a um ciclo de Carnot

8 Onde > W líquido 0 e + Conclusão: ) As diversas formas de trabalho são interconvertíveis sem restrição mediante máquinas adequadas. ) W converte-se espontaneamente em calor, sem restrição. Isto é, o W recebido para o sistema é igual ao calor fornecido ao meio externo. Ex.: Os corpos atritados (sistema) consomem W e deve ser fornecido calor ao meio externo para que a temperatura dos corpos retorne ao valor inicial, cumprindo um ciclo.

9 3) A conversão contínua de calor em trabalho está sujeita a sérias limitações, pois só é possível mediante máquinas térmicas que funcionem com reservatórios de calor de diferentes temperaturas. Mesmo assim, apenas uma fração de calor recebida da fonte quente pode ser convertida em W, enquanto o restante passa intacto à fonte fria. (Princípio da Degradação da energia: embora se convertam sempre seguindo quantidades equivalentes) ( cal 4,840 joules), trabalho e calor são formas de energia qualitativamente distintas, pois, devido às restrições apontadas, calor é uma forma menos útil de energia ou uma forma degradada de energia em relação ao trabalho).

10 Propriedades do ciclo de Carnot: Reversível Numa transformação cíclica a reversibilidade exige que depois do ciclo ter se completado num sentido e no sentido oposto, as vizinhanças sejam restauradas à sua condição inicial. Para uma máquina reversível: Ciclo direto: W ci,, W ci + Ciclo reverso: - W ci, -, - W + ciclo ( )

11 3. Rendimento de máquinas térmicas A experiência mostra que a conversão contínua de calor em trabalho só é possível mediante máquinas térmicas. Máquina térmica: é o nome que se dá a um sistema submetido a transformações cíclicas sucessivas, em cada uma fonte quente de temperatura, é parcialmente convertida em W, enquanto o restante, q, é transferido a uma fonte fria.

12 Fig. 3.. Máquina érmica

13 ambém motor de combustão interna (sentido mais amplo) a combustão numa câmara produz gases, a alta e alta p (fonte quente), que se expandem contra os êmbolos de um motor alternativo ou contra as pás de uma turbina e são expulsos na atmosfera (fonte fria). O rendimento ε de uma máquina térmica é definido como a relação entre o W produzido e a quantidade de calor extraída do reservatório a temperatura mais alta: mas, como ε W w ε + + ( 3.5) ( 3.6)

14 Rendimento: é a fração de calor extraída do reservatório a temperatura mais alta e que é convertida em trabalho no processo cíclico. θ ε θ θ ( 3.7) Onde θ é a temperatura de fonte quente. A fórmula de Carnot, equação (3.7), que relaciona o rendimento de uma máquina reversível com as temperaturas das fontes, é provavelmente, a fórmula mais comentada de toda a termodinâmica.

15 3.3 Ciclo de Carnot com o gás ideal Etapa nº Caso geral Gás ideal U W U - W 3 U 3 W 3 4 U 4 - W R V ln V C V dt W R V ln V C V dt W4 4 3

16 Fig Gás ideal sujeito a um ciclo de Carnot

17 A quantidade total de trabalho produzido num ciclo é a soma das quantidades individuais: W V + V R 4 ln C V d R ln C V dt V V3 logo W R V ln V R V ln V 3 4 ( 3.8) onde o sinal do º termo foi trocado invertendo-se o argumento do logaritmo.

18 A equação (3.8) pode ser simplificada lembrando que os volumes V e V 3 são ligados por uma transformação adiabática reversível, o mesmo é verdade para V 4 e V. Pelas equações 4 3 V V V V γ γ γ γ 4 3 V V V V γ γ γ γ Repetindo: Dividindo a º equação pela º equação obtemos: V V V V V V V V ou γ γ

19 colocando esse resultado na equação (3.8): W V V ( ) ln ( 3.9) R Da equação para a etapa no ciclo, temos R V ln V e o rendimento é dado por ε W ( 3.0)

20 A equação (3.9) mostra que o trabalho total produzido depende da diferença de temperatura entre os dois reservatórios e a relação volume V /V (o fator de compressão). O rendimento é função apenas de duas temperaturas. É evidente, a partir da equação (3.0), que para o rendimento ser um, ou o reservatório frio precisaria estar a temperatura 0, ou o reservatório quente precisaria estar a temperatura igual a infinito. Nenhuma das duas situações é fisicamente realizável.

21 3.4 O Refrigerador de Carnot Ciclo W Direto Reverso (Refrigerador) Eficiência η W ( + ) ( 3.) Pois, W +. ambém como η ( 3.), obtemos

22 A medida que, temperatura dentro do recipiente frio, torna-se menor, a eficiência cai rapidamente, isso acontece porque o numerador da equação (3.) diminui e o denominador aumenta. A quantidade de trabalho que precisa ser gasta para manter uma temperatura baixa havendo um determinado escoamento de calor para dentro do recipiente, aumenta rapidamente quando a temperatura do recipiente diminui.

23 3.5 Definição de Entropia ERMODINÂMICA Uma das características das propriedades de estado de um sistema é que a soma das variações dessas propriedades num ciclo seja nula. Por exemplo a soma das variações da energia de um sistema num ciclo é dada por du 0. Do segundo princípio precisamos encontrar alguma nova quantidade cuja soma das variações num ciclo seja nula. Vimos que: θ + e ε - θ ε

24 Subtraindo essas duas expressões chegamos ao resultado θ + θ 0 que pode ser rearranjado na forma θ + θ 0 ( 3.3) O membro da equação (3.3) é simplesmente a soma ao longo do ciclo da quantidade /θ. Poderia ser escrito como a integral cíclica da quantidade diferencial d 0 θ ( cíclos reversíveis) ( 3.4)

25 Como a soma ao longo do ciclo da quantidade d/θ é zero, esta quantidade é a diferencial de alguma propriedade de estado; esta propriedade é chamada de entropia do sistema, e a ela damos o símbolo S. A equação que define a entropia é, portanto: ds d rev ( 3.4) onde o índice rev foi usado para indicar a restrição a ciclos reversíveis. O símbolo θ para a temperatura termodinâmica foi substituído por que é mais comum. Note-se que embora drev não seja a diferencial de uma propriedade de estado, d rev / o é, isto é, d rev / é uma diferencial exata.

26 3.6 Demonstração Geral ERMODINÂMICA Consideramos uma máquina de Carnot. Então num ciclo: W ( ) d 3.5 e mostramos que para uma máquina de Carnot d ( ) (Por definição do ciclo de Carnot, é um reversível). Consideremos outra máquina E. Então num ciclo, pelo princípio, W' d' 3.7 ( )

27 admitamos, entretanto, que para essa máquina, d' > 0 ( 3.8) Essa máquina pode executar um ciclo tão complicado quanto desejarmos, pode ter muitos reservatórios de calor e pode usar qualquer substância como substância de trabalho. As duas máquinas podem ser acopladas para fazer uma máquina cíclica composta. O W produzido para máquina composta no seu ciclo é Wc W + W, o qual, para equação (3.5) e (3.7), é igual a Wc ( d + d' ) dc ( ) 3.9 onde dc d + d

28 Se adicionarmos as equações (3.6) e (3.8), obtemos ( d + d' ) > 0 dc > ( ) Agora, ajustamos a direção de operação e o tamanho da máquina de Carnot, de tal modo que a máquina composta não produza trabalho; o trabalho necessário para operar E é suprido pela máquina de Carnot, ou vice versa. Então, Wc 0, e a equação (3.9) torna-se ( ) dc 0 3.

29 Sob que condições as equações (3.0) e (3.) serão compatíveis? Como cada uma das integrais cíclicas pode ser considerada como uma soma de termos, escrevemos as equações (3.0) e (3.) nas formas , (3.) > ( 3.3)

30 Para satisfazer a desigualdade (3.3), podemos fazer com que os termos positivos predominem se dividirmos os termos positivos na equação (3.) por números pequenos e os termos negativos por números grandes. Entretanto, isso significa que estamos associando valores positivos de com temperaturas baixas e valores negativos com temperaturas altas. Isso implica que o calor está sendo extraído de reservatórios a temperaturas baixas e está sendo rejeitado para os reservatórios a temperaturas mais altas. A máquina composta é, conseqüentemente, impossível e a nossa hipótese, equação (3.8), não é correta. Segue que para a máquina E, d' ( )

31 Podemos distinguir dois casos: Caso I: A máquina E é reversível ERMODINÂMICA Excluímos a possibilidade expressa pela equação (3.8), se admitirmos que para E d' < 0, então podemos reverter o funcionamento desta máquina, o que troca todos os sinais (mas não a grandeza) dos (s). Então temos d' > 0,

32 e a demonstração é como a anterior. Isto nos leva a conclusão de que para qualquer sistema d rev ( todos os ciclos reversívei ) 0 s Portanto, cada sistema tem uma propriedade de estado S (a entropia), tal que ds d rev ( 3.6)

33 Caso II: A máquina E não é reversível. Para qualquer máquina temos apenas as possibilidades expressas para a equação (3.4). Mostramos que a igualdade vale apenas para maquinas reversíveis. Como os efeitos de calor e trabalho associados a um ciclo irreversível são diferentes daqueles associados a um ciclo reversível segue-se que o valor de d, que é nulo para o ciclo reversível será forçosamente diferente de zero para os irreversíveis. Mostramos que para qualquer máquina o valor não pode ser maior que zero. Portanto para ciclos irreversíveis temos necessariamente que d < 0 ( 3.7) ( todos os ciclos irreversíveis)

34 3.7 A desigualdade de Clausius Consideremos o seguinte ciclo: um sistema sendo transformado irreversivelmente do estado ao estado e então restaurado reversivelmente do estado ao estado. A integral cíclica é d dirr. d + rev < 0, e é menor que zero, pois o ciclo é irreversível. Usando a definição de ds, esta relação torna-se d d irr. irr. + ds ds < 0 < 0

35 Os limites de integração podem ser trocados na º integral (mas não na º) mudando o sinal ou recompondo, temos: ERMODINÂMICA ds > d irr. ( 3.8) Se a mudança do estado para o estado for infinitesimal, temos d ds > irr. ( 3.9) ou seja, a desigualdade de Clausius, que é um requisito fundamental para uma transferência irreversível. A desigualdade (3.9) nos permite decidir se alguma transformação ocorrerá ou não na natureza.

36 A desigualdade de Clausius pode se aplicada diretamente as transformações num sistema isolado, d irr. 0. A desigualdade torna-se ds > 0 (3.30) A condição para uma transformação real num sistema isolado é que ds seja + : a entropia cresce. Propriedades fundamentais da entropia. ) A entropia de um sistema isolado é aumentada para qualquer transformação natural que ocorre no seu interior. ) A entropia de um sistema isolado tem um valor máximo no equilíbrio. Clausius exprime os dois princípios da termodinâmica no famoso aforismo: a energia do universo é constante e a entropia tende a um máximo.