Parênteses de Poisson e Teorema de Liouville. Marina E. Wosniack 23 de abril de 2012

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1 Parênteses de Poisson e Teorema de Liouville Marina E. Wosniack 23 de abril de 2012

2 Conteúdo Introdução; Parênteses de Poisson Parênteses de Poisson - Representação de Heisenberg Teorema de Liouville Teorema de Liouville e Mecânica Estatística

3 Introdução Parênteses de Poisson - Utilidade na identificação de transformações canônicas e constantes de movimento; Teorema de Liouville - Aplicações em mecânica estatística, conservação de volumes por transformações canônicas.

4 Parênteses de Poisson - Definição Variável dinâmica: F = F (q i,p i,t) Derivada temporal de F: df dt = n i=1 F dq i q i dt + F dp i p i dt + F t chegamos a: q i = H p i p i = H q i df dt = n i=1 F q i H p i F p i H q i + F t

5 Parênteses de Poisson - Definição df dt = n i=1 F q i H p i F p i H q i + F t Definimos o Parênteses de Poisson entre F e H como: [F, H] = n i=1 F q i H p i F p i H q i e podemos escrever a derivada temporal de F como:. df dt =[F, H]+ F t

6 Parênteses de Poisson - Definição De forma geral, para duas variáveis dinâmicas F e G: [F, G] = n i=1 F G F G q i p i p i q i. Propriedades: 1) Anti-Simetria: 2) Distributiva (Soma): 3) Distributiva (Produto): [F, G] = [G, F ] [F, F] =0 [F, G + J] =[F, G]+[F, J] [F, GJ] =[F, G]J + G[F, J]

7 Parênteses de Poisson -Propriedades Teorema: O Parênteses de Poisson é invariante sob transformações canônicas, isto é: [F, G] (q,p) =[F, G] (Q,P ) Além disso, os momentos conjugados devem satisfazer: [q k,q i ]=0 [p k,p i ]=0 [q k,p i ]=δ k,i = [p i,q k ] forma de testar se as variáveis são canônicas!

8 Parênteses de Poisson - Exemplo 1 Mostrar que a transformação abaixo é canônica: sin p Q =ln, P = q cot p q Confirmar se Q, P satisfazem [Q, P ]=1 calculando Q q P p Q p P q Útil para conferir se a sua transformação está correta!

9 Parênteses de Poisson - Propriedades Reescrevendo as equações canônicas em termos dos Parênteses de Poisson: p i =[p i,h] q i =[q i,h] Determinando as constantes de movimento: df dt =[F, H]+ F t se [F, H] =0 e F = F (t), então: df dt =0 e F será uma constante de movimento.

10 Parênteses de Poisson - Exemplo 2 Potencial Central: H = p2 r 2m + Constante de movimento 1: dh dt p2 θ 2mr 2 + V (r) =[H, H]+ H t mas [H, H] =0 e H = H(t) logo H = cte. Constante de movimento 2: [p θ,h]= pθ r H p θ H p r p r r [p θ,h]=0 logo p θ = cte. dp θ dt =[p θ,h]+ p θ t pθ H + p θ H θ p θ p θ θ.

11 Parênteses de Poisson - Propriedades A identidade de Jacobi: [A, [B,C]] + [C, [B,A]] + [B,[C, A]] = 0 Considerando C=H: [A, [B,H]] + [H, [B,A]] + [B,[H, A]] = 0 em particular, se [B,H] =0 e [H, A] =0, então: [H, [A, B]] = 0 Forma prática de encontrar constantes de movimento!

12 Parênteses de Poisson - Exemplo 3 Projétil se move no plano xy com H = p2 x + p 2 y 2m + mgy Mostrar que são constantes de movimento: F = y tp y m gt2 2 G = x tp x m E identificar novas constantes de movimento através da identidade de Jacobi. 1) Confirmar que F, G são constantes de movimento: df dt =[F, H]+ F t

13 Parênteses de Poisson - Exemplo 3 [F, H] =[y tp y /m gt 2 /2, (p 2 x + p 2 y)/2m + mgy] [F, H] =[y, (p 2 x + p 2 y)/2m]+[y, mgy] t/m[p y, (p 2 x + p 2 y)/2m] t/m[p y, mgy] [F, H] =[y, p 2 y/2m] t/m[p y, mgy] lembrar que [p y,y]= [y, p y ]= 1 [F, H] =1/2m[y, p y ]p y +1/2mp y [y, p y ]+gt[y, p y ] [F, H] =p y /m + gt F t = p y/m gt df dt =[F, H]+ F t =0 F = cte Para G o desenvolvimento é bastante similar.

14 Parênteses de Poisson - Exemplo 3 2) Novas constantes de movimento: [F, G] =0 constante de movimento trivial Como, também serão constantes de movimento: H = H(t) H [F, H] =p y /m gt [G, H] =p x /m

15 A Representação de Heisenberg A equação de movimento de Heisenberg: d dt A = 1 [A, H]+ A i t df dt =[F, H]+ F t Comutador entre dois observáveis: [A, B] =AB BA Satisfaz às mesmas propriedades do parênteses de Poisson! Dirac estabeleceu que: [, ] class 1 i [, ] quant

16 A Representação de Heisenberg Em particular: [, ] class 1 i [, ] quant [x i,p j ] class = δ i,j [x i,p j ] quant = iδ i,j A mecânica clássica pode ser derivada a partir da mecânica quântica, mas o contrário não é válido.

17 Teorema de Liouville - Definição p T.C. P R R Ω q Ω Q Pode-se mostrar que o volume igual ao volume Ω da região R é da região R. Ou seja, o volume de qualquer região no espaço de fase é invariante sob transformações canônicas. Ω Demonstração no livro Mecânica Analítica, do Prof. Nivaldo Lemos.

18 Teorema de Liouville - Definição p Equações de Hamilton R t Ω t R 0 Ω Em particular, a evolução temporal proporcionada pelo Hamiltoniano é uma transformação canônica, logo,. Ω=Ω t Teorema de Liouville: A evolução temporal preserva volumes. q

19 Teorema de Liouville - Exemplo 1 Partícula de massa m sujeita à ação da gravidade. Deseja-se explicitar no diagrama de fases pxq a evolução temporal de quatro trajetórias devidas a quatro condições iniciais distintas: m g x x 0 =0,p 0 =0 x 0 = X, p 0 =0 x 0 = X, p 0 = P x 0 =0,p 0 = P 1) Escrevendo as energias cinética e potencial da partícula: T = 1 2 mẋ2 U = mgx 2) Identificando p = mẋ, a Hamiltoniana do exemplo fica: H = T + U = p2 2m mgx

20 Teorema de Liouville - Exemplo 1 3) Aplicando a conservação da energia H = H(t) H = cte x = Ap 2 + cte equação da parábola! 4) Para traçar as órbitas no espaço pxq, utilizam-se as equações de movimento: ẋ = H p = p ṗ = H m x = mg x = x 0 + p 0 m t gt2 p = p 0 + mgt

21 Teorema de Liouville - Exemplo 1 x = x 0 + p 0 m t gt2 p A1 D1 B1 C1 Retângulo ABCD evoluiu para o paralelogramo A1B1C1D1, porém a área após a evolução temporal permanece a mesma. A D C B x

22 Teorema de Liouville e a Mecânica Estatística gás (p,t,v) O gás contido no recipiente corresponde ao estado macroscópico do sistema, caracterizado por p,t,v. Um estado macroscópico possui um grande número de estados microscópicos associados. ρ(q, p, t) densidade de microestados número de estados no elemento de volume: ρ(q, p, t)dv = ρ(q, p, t)d n qd n p

23 Teorema de Liouville e a Mecânica Estatística H tʼ Devido à unicidade das equações de Hamilton, o número de microestados em t é o mesmo do em t. t O volume também será conservado pela evolução temporal (resultado anterior). N = ρ(q, p, t)d n qd n p constante!

24 Teorema de Liouville e a Mecânica Estatística d dt ρ(p, q, t) =0 ou, como d dt ρ é uma variável dinâmica: ρ =[ρ, H]+ ρ t =0 Para sistema em equilíbrio, não deve ter dependência temporal na densidade de microestados, e: [ρ, H] =0

25 Teorema de Liouville e a Mecânica Estatística Da propriedade dos parênteses de Poisson [A, f(a)] = 0 devemos ter que [ρ(h),h]=0. O ensemble microcanônico é definido como: ρ = cte, ρ =0, H = E H = E Ou seja, para uma energia fixa E, não há microestados mais favoráveis do que outros! Postulado das iguais probabilidades a priori/hipótese Microcanônica.

26 Referências Goldstein, Classical Mechanics Nivaldo Lemos, Mecânica Analítica Sakurai, Modern Quantum Mechanics