UNIVERSIDADE FEDERAL DO PARÁ PRÓ-REITORIA DE PESQUISA E PÓS-GRADUAÇÃO DIRETORIA DE PESQUISA PROGRAMA INSTITUCIONAL DE BOLSAS DE INICIAÇÃO CIENTÍFICA

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1 UNIVERSIDADE FEDERAL DO PARÁ PRÓ-REITORIA DE PESQUISA E PÓS-GRADUAÇÃO DIRETORIA DE PESQUISA PROGRAMA INSTITUCIONAL DE BOLSAS DE INICIAÇÃO CIENTÍFICA PIBIC: CNPq, CNPq/AF, UFPA, UFPA/AF, PIBIC/INTERIOR, PARD, PIAD, PIBIT, PADRC E FAPESPA RELATÓRIO TÉCNICO - CIENTÍFICO Período: Setembro/2016 a Agosto/2017 (X) PARCIAL ( ) FINAL IDENTIFICAÇÃO DO PROJETO Título do Projeto de Pesquisa: Gravidade e Cosmologia Modificadas Nome do Orientador: Manuel Eleutério Rodrigues Titulação do Orientador: Doutor Faculdade: Faculdade de Ciências Exatas e Tecnologia (FACET) Instituto/Núcleo: Universidade Federal do Pará (UFPA) /Campus de Abaetetuba Laboratório: Título do Plano de Trabalho: Introdução à Sistemas Dinâmicos Hamiltonianos Nome do Bolsista: Luciano José Barbosa Quaresma Tipo de Bolsa: ( ) PIBIC/ CNPq ( ) PIBIC/CNPq AF ( ) PIBIC /CNPq- Cota do pesquisador ( ) PIBIC/UFPA ( ) PIBIC/UFPA AF ( ) PIBIC/ INTERIOR ( ) PIBIC/PARD (X) PIBIC/PADRC ( ) PIBIC/FAPESPA ( ) PIBIC/ PIAD ( ) PIBIC/PIBIT

2 INTRODUÇÃO Os Sistemas Dinâmicos estão presentes em diversos campos, não apenas da Física como também da Biologia, da Química e da Engenharia. Por conta disso, este projeto objetiva o estudo do assunto com foco no caso específico de Sistemas Dinâmicos Hamiltonianos. Para tanto serão a formulação Hamiltoniana e, inicialmente, sistemas dinâmicos lineares, os quais são casos mais simples e apropriados para o início do estudo. Posteriormente serão estudados sistemas dinâmicos não-lineares e as complicações introduzidas por não-linearidades, como bifurcações e caos. Desta forma, o projeto visa o entendimento sobre o tema, a fim de possibilitar estudos mais avançados. JUSTIFICATIVA O estudo de sistemas dinâmicos leva ao entendimento dos mais variados fenômenos físicos, desde circuitos elétricos e movimentos planetários, até a existência de fractais e movimentos caóticos. Além disso, os sistemas dinâmicos hamiltonianos, um caso específico, são utilizados no estudo de acreção esférica de matéria por buracos negros [2], uma área emergente. OBJETIVOS Introduzir a noção de um Sistema Dinâmico. Introduzir conceitos de simetrias em sistemas mecânicos clássicos. Introduzir sistemas dinâmicos. Definir sistemas dinâmicos hamiltonianos. Introduzir a análise de sistemas dinâmicos hamiltonianos. MATERIAIS E MÉTODOS Este projeto de iniciação científica consiste no estudo exploratório sobre Sistemas Dinâmicos Hamiltonianos. Para este fim, foi utilizado, principalmente, o livro Classical Mechanics, de Walter Greiner [1], principalmente as partes V, VI e VII. Com isso, os conceitos básicos necessários para o tema, como coordenadas generalizadas e a equação de Lagrange, e o tema deste trabalho foram abordados, obedecendo as propostas deste projeto. RESULTADOS Os resultados deste projeto são, devido aos seus objetivos, os tópicos estudados. Desta forma, segue uma síntese dos assuntos abordados, de acordo com o cronograma. São eles: Equações de Hamilton, Coordenadas Cíclicas (as quais indicam a simetria dos sistemas) e as definições de Sistemas Dinâmicos e Sistemas Dinâmicos Lineares. 1) Conceitos Preliminares A formulação da mecânica feita por Sir Willian Rowan Hamilton tem uma importância extraordinária para a evolução dos estudos nesta área. Ainda assim, esta formulação tem, é claro, precursores importantes, pois ela se baseia na mecânica de Sir Isaac Newton e na formulação de Joseph Louis Lagrange. Por este motivo, seguem algumas definições básicas necessárias para a compreensão da mecânica hamiltoniana. 1. Vínculos Em muitos sistemas mecânicos existem condições restritivas, os chamados vínculos. Por exemplo, os vínculos que especificam que um gás não pode atravessar a parede de seu

3 recipiente ou o que especifica a distância constante entre pontos individuais em corpos rígidos. Os vínculos podem ser classificados em holonômicos e não-holonômicos de acordo com a possibilidade ou impossibilidade, respectivamente, de representa-los na forma f k (r 1, r 2,,t )=0,k=1,2,,s. Um exemplo de vínculo holonômico está ligado ao comprimento l de um pêndulo. Neste caso, o vínculo f é x 2 + y 2 l 2, de forma que x 2 + y 2 l 2 =0 Esta é uma relação que ajuda a eliminar coordenadas dependentes umas das outras, como são os vínculos deste tipo. Um vínculo não-holonômico pode ser visto em um sistema de moléculas de gás dentro de uma esfera de raio R, onde as coordenadas das moléculas devem obedecer ao vínculo r i R, que não pode ser escrito na forma de f. Nota-se que, no caso do pêndulo, é possível encontrar um sistema de coordenadas, r e θ, no qual o vínculo não aparece explicitamente e deixa o sistema mais simples de se resolver. A extensão deste conceito leva a coordenadas generalizadas, como será visto no decorrer deste trabalho. Os vínculos podem, ainda, ser classificados quanto à dependência temporal em reonômico e escleronômico, caso t apareça ou não explicitamente no vínculo, respectivamente. 2. Coordenadas Generalizadas Se considerarmos um sistema mecânico com n partículas, teremos três graus de liberdade por partícula e, logo, 3 n graus de liberdade no sistema. Considerando a existência de s vínculos, os graus de liberdade se reduzem à 3 n s. Neste caso existem s coordenadas dependentes e, caso sejam holonômicos, os vínculos podem ser utilizados para eliminá-las. Assim, podemos transformar as 3 n coordenadas para 3 n s coordenadas generalizadas, q 1,q 2,,q 3n s, as quais implicitamente incorporam os vínculos e são independentes umas das outras, como no caso do pêndulo. Com isso, as n coordenadas r i originais são representadas como funções das coordenadas generalizadas, isto é r i =r i (q 1,q 2,,q 3 n s, t) Além de comprimentos, podem ser utilizadas como coordenadas generalizadas ângulos, momentos, energias, entre outros. Além disso, as diversas grandezas físicas originadas da posição também podem ser representadas em termos das coordenadas generalizadas. Por exemplo, a velocidade é, em termos da velocidade generalizada q j, ŕ i = i=1 r i q q j + r i j t,onde q = d q j j dt O trabalho também pode ser expresso em termos da força generalizada Q j, dw = Q j d q j,ondeq j = F i r i j=1 i q j

4 3. Equação de Lagrange Quando um sistema tem vínculos holonômicos, as coordenadas dependentes podem ser eliminadas, como já foi exposto, pela utilização de coordenadas generalizadas. Caso os vínculos não sejam holonômicos, não há um método geral para o tratamento do problema e, portanto, este trabalho se restringe ao caso holonômico. Utilizando a Energia Cinética e o Potencial em termos das coordenadas generalizadas, de forma que Q j = V 1 et q = j i 2 m 2 i ŕ i Podemos definir a função Lagrangeana L=T V E as equações de Lagrange são da forma d dt L L =0 q j q j Contanto que V dependa apenas das posições ou das velocidades de forma que Q j = V q j + d dt V q j Neste formalismo a quantidade central é a Lagrangeana, pois, uma vez especificada, é possível utilizar as equações de Lagrange para determinar a dinâmica do sistema. Na mecânica Newtoniana, o foco central é a força, a qual deve ser especificada para cada problema para que se obtenha a dinâmica do sistema a partir da 2ª Lei de Newton. É claro que ambos os métodos são equivalentes, mas o formalismo lagrangeano utiliza uma equação que não é vetorial, como na mecânica de Newton. 2) Formulação Hamiltoniana Além do formalismo de vetorial de Newton e do formalismo lagrangeano, há também o formalismo Hamiltoniano, na qual a quantidade central é a função Hamiltoniana. Este formalismo foi fundamental para a transição da mecânica clássica para a mecânica quântica e tem uma vantagem a mais, se comparado ao formalismo lagrangeano como será discutido a seguir. 1. Equações de Hamilton A função Hamiltoniana é definida como uma transformada de Legendre da função Lagrangeana. Uma transformada de Legendre de uma função f (x, y) para uma função g(x,u) pode ser feita se u= f y

5 Neste caso, g( x,u)=uy f (x, y) Onde y deve ser obtida da equação u= f / y. A Lagrangeana é uma função de q i, q i e t, mas o momento generalizado, que é o termo na derivada temporal nas equações de Lagrange, é p i = L q i O que pode ser utilizado como uma nova variável através de uma transformada de Legendre. Assim, H (q i, p i,t )= i p i q i L(q i, q i,t) Com algumas manipulações, Sir William Rowan Hamilton obteve as seguintes equações, que levam o seu nome, q i = H p i ṕ i = H q i H t = L t Sendo as duas primeiras mais importantes, pois é a partir delas que podemos obter a dinâmica dos sistemas. Diferente das equações de Lagrange, as de Hamilton são 2 n equações, no entanto, além de não serem vetoriais, elas também são equações diferenciais de primeira ordem, enquanto que as de Lagrange são de segunda ordem. 2. Coordenadas Cíclicas Da análise das equações de Hamilton, podemos perceber, muitas vezes, simetrias em diversos sistemas, as quais representam conservações de algumas grandezas. Por exemplo, os planetas se movem em órbitas nas quais o memento é conservado. Isto ocorre sempre que uma coordenada é dita cíclica, isto é, quando H q i =0 A existência de coordenadas cíclicas em uma Hamiltoniana depende da escolha do sistema de coordenadas adotado. Por exemplo, em um movimento circular em um campo de forças centrais as coordenadas cartesianas não são cíclicas, enquanto que, nas coordenadas polares, a coordenada angular é cíclica. A seguir estão duas simetrias fundamentais na análise de sistemas na mecânica de Hamilton. i. Conservação do Momento O momento é conservado sempre que H q i =0

6 Neste caso, a Hamiltoniana não depende explicitamente da coordenada q i e ṕ i, a derivada temporal do momento generalizado associado à esta coordenada, é nulo, o que implica na sua conservação. ii. Conservação de Energia A função Hamiltoniana tem uma importância ainda maior em sistema cujos vínculos são holonômicos e escleronômicos, pois, nestes casos, ela representa a energia total do sistema. Desta forma, H=T +V =E A energia T V, a Lagrangeana, é chamada usualmente de energia livre quando se analisa um sistema através destas funções. Com isso, sempre que a Hamiltoniana for independente do tempo, temos que dh dt =0 E a energia total do sistema é conservada. 3) Sistemas Dinâmicos Sistemas Dinâmicos representam a dinâmica de todos os pontos de um espaço que, no caso da mecânica, é o chamado espaço de fase. Este espaço pode ser construído a partir das posições e das velocidades generalizados, ou das posições e dos momentos generalizados, de cada partícula do sistema e na direção de cada um dos graus de liberdade. Desta forma, um sistema com n graus de liberdade apresenta um espaço de fase com 2 n dimensões e um vetor neste espaço tem componentes tanto de posição, quanto de velocidade (ou momento). 1. Definição Básica Um vetor no espaço de fase tem a forma X (t )=(x 1 (t ),, x 2 n (t )) T E guarda toda a informação sobre o sistema em um instante t são representados pela seguinte equação diferencial. Os Sistemas Dinâmicos X (t )=F( X (t ), t ; λ) Nela, F representa uma função das coordenadas generalizadas do espaço de fase que pode ser linear ou não. Neste trabalho parcial, o foco será apenas sobre os sistemas dinâmicos lineares, que serão discutidos no decorrer do texto. Como esta é uma equação diferencial, ela deve estar sujeita aos teoremas de existência e unicidade das soluções, logo, dada uma condição inicial X 0 = X (t 0 ), esta equação mostra uma trajetória única no espaço de fase. Os Sistemas Dinâmicos podem ser autônomos ou não-autônomos de acordo com a presença explícita, ou não, do tempo em F. Podem, ainda, ser discretos ou contínuos de acordo com a continuidade do parâmetro tempo. A constante λ que aparece na equação

7 representa a possível presença de um chamado parâmetro de controle, o qual é um valor que pode influenciar bastante na dinâmica do sistema. 2. Sistemas Lineares Os Sistemas Dinâmicos Lineares são um tipo mais simples de Sistemas Dinâmicos, pois possuem uma dinâmica previsível e são, geralmente, solúveis analiticamente, diferente de sistemas não-lineares, que, apesar de determinísticos, podem apresentar comportamentos praticamente imprevisíveis e caóticos. a ij Um sistema dinâmico linear pode ser representado na forma X (t )= AX(t) Na qual A é uma matriz quadrada de ordem 2 n=n com coeficientes constantes. Em notação matricial, esta equação equivale a [ x1 N]=[ x a11 a1 N x1 a N 1 a NN] [ N] x De onde se observa o sistema linear { x 1=a 11 x 1+ +a 1 N x N x N =a N 1 x 1 + +a NN x N Estas N equações regem a dinâmica do sistema e, dadas as condições iniciais, mostram trajetórias, comumente chamadas de órbitas, no espaço de fase. Neste tipo de sistema ainda é possível fazer uma mudança de coordenadas conveniente que desacopla todas estas equações e facilita ainda mais a sua solução. Vale notar que, em sistemas não lineares é necessário lidar diretamente com a equação X (t )=F( X (t ),t ; λ), o que traz uma série de dificuldades e exige, em geral, uma abordagem numérica auxiliada por um computador. PUBLICAÇÕES Não foram originadas publicações a partir deste projeto. CONCLUSÃO O Projeto de Iniciação Científica, como exposto neste trabalho, obedeceu ao cronograma proposto sem grandes complicações. Com isso, os princípios sobre Sistemas Dinâmicos Hamiltonianos foram estudados e uma boa base foi desenvolvida para a continuidade do estudo. REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS [1] GREINER, Walter. Classical Mechanics: Systems of Particles and Hamiltonian Dynamics. 2ª Edição. New York: Springer, p.

8 [2] Ayyesha K. Ahmed, Mustapha Azreg-Ainou, Mir Faizal and Mubasher Jamil, Cyclic and heteroclinic flows near general static spherically symmetric black holes, DIFICULDADES O Projeto de Iniciação Científica decorreu sem grandes dificuldades. PARECER DO ORIENTADOR O aluno desenvolveu satisfatoriamente o plano de trabalho de acordo com o cronograma. DATA: 24/02/2017 ASSINATURA DO ORIENTADOR ASSINATURA DO ALUNO