Gil de Oliveira Neto

Transcrição

1 Gil de Oliveira Neto

2 1. Motivações; 2. Relatividade Geral Quântica; 3. Cosmologia Quântica; 4. Um Modelo para o Início do Universo; 5. Conclusões.

3 1. Relatividade Geral Clássica; 2. Cosmologia Moderna; 3. Nascimento do Universo;

4 1.1 - Relatividade Geral Clássica Gravitação=Deformação do Espaço-Tempo A matéria diz como o espaço-tempo irá se curvar e o espaço-tempo diz como corpos ou partículas irão se movimentar nesta deformação. Lentes Gravitacionais Buraco de Minhoca Buraco Negro

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13 1.2 - Cosmologia Moderna A interação mais importante para descrever o Universo em larga escala é a gravitacional. Com a formulação da Relatividade Geral os modelos cosmológicos são baseados nessa teoria.

14 1.3 - Nascimento do Universo O Modelo mais aceito para o nascimento do Universo é o chamado Big Bang. O Big Bang foi uma grande explosão que aconteceu a aproximadamente 13,7bilhões de anos. Dela se originaram a matéria, o espaço e o tempo. O Big Bang é uma singularidade do espaçotempo.

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18 2. Relatividade Geral Quântica 1. Motivações e Domínio de Validade 2. Formalismo ADM 3. Quantização de Dirac

19 2.1 Motivações e Domínio de Validade Para resolver o problema das singularidades, uma alternativa é a quantização da Relatividade Geral. O domínio de validade dessa teoria é: 1. escala de distâncias cm; 2. escala de energias ev; 3. escala de tempos s

20 2.2 Formalismo ADM Foi desenvolvido para obter-se uma formulação Hamiltoniana da Relatividade Geral. A Relatividade Geral é uma teoria com vínculos. Das componentes do tensor métrico g αβ obtemos as variáveis dinâmicas da teoria. Nesse formalismo separamos a métrica em 3 partes: (i) 6 componentes independentes das métricas, simétricas h ij, de hipersuperfícies 3D; (ii) função lapso N; (iii) vetor deslocamento N i. Os h ij representam as variáveis dinâmicas da teoria.

21 O espaço-tempo 4D é formado pela evolução de seções espaciais com métricas h ij.

22 Vamos reescrever a métrica g αβ em função de N i, N e h ij A Hamiltoniana da teoria é dada por,

23 2.3 Quântização de Dirac Quantização da Relatividade Geral Relatividade Geral: teoria vinculada Formalismo de Dirac; transformar vínculos em operadores e impormos tais vínculos como condições a serem satisfeitas pela função-de-onda do sistema.

24 Aplicando o formalismo de Dirac para a RG: Introduzimos a função-de-onda

25 Superhamiltoniana e supermomentum Vínculos para Relatividade Geral

26 Substituindo o operador, na superhamiltoniana e no supermomentum, temos, A primeira é equação de Wheeler-DeWitt a qual descreve a dinâmica da função de onda.

27 3. Cosmologia Quântica Aplicação do formalismo de Relatividade Geral Quântica para o estudo do Universo. Solução do problema da singularidade inicial ou Big Bang. Podemos mencionar dois exemplos de como resolver esse problema. (i) Resolvendo-se a equação de Wheeler-DeWitt para modelos simples de universo observa-se que o valor esperado do tamanho do universo nunca é zero.

28 (ii) Podemos, também, calcular a evolução do estado inicial para o final do universo via integral de caminhos. Em alguns modelos observa-se que existem caminhos que correspondem a métricas com assinatura inicialmente Euclideanas e posteriormente Minkowskianas que explicam de forma não singular o aparecimento do Universo do nada. Nesses modelos o Universo teve origem no equivalente quadri-dimensional do pólo Sul de uma esfera bidimensional.

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30 Para entendermos melhor como o Universo surgiu do nada com um certo tamanho diferente de zero, devemos considerar o fenômeno do tunelamento quântico. Nesse fenômeno uma partícula esta sujeita a um potencial que aprisiona ela em uma certa região. Se a partícula é quântica ela pode escapar atravessando a barreira imposta pelo potencial. Assim, inicialmente tínhamos uma configuração de energia zero e tamanho zero, que atravessou uma barreira de potencial e deu origem ao Universo com um tamanho inicial diferente de zero.

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32 4 Um Modelo para o Início do Universo. 4.1 O Modelo Clássico. 4.2 A Quântização do Modelo. 4.3 Probabilidade de Tunelamento.

33 4.1 O Modelo Clássico. O Ansatz para a métrica é, ds 2 N( t) 2 dt 2 a( t) 2 2 dr 1 kr onde k=1, no presente modelo. As sessões espaciais são fechadas (S 3 ). 2 r 2 d 2, 1

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35 O conteúdo de matéria é dado por um fluído perfeito radiatívo, além de uma constante cosmológica positiva Λ. Usamos o sistema de unidades em que c=g=ħ=1. Usando o formalismo ADM nós obtemos o seguinte hamiltoniano total,

36 Resolvendo as equações de Hamilton e o vínculo acima, obtemos os seguintes comportamentos para o fator de escala, dependendo da energia inicial do sistema. Podemos ver isso na figura asseguir aonde consideramos o caso em que Λ=0.1. Logo, V0=270 e a0=3.87.

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38 4.2- A Quântização do Modelo 12 Seguindo o formalismo de Dirac, nós obtemos a equação de Wheeler-de Witt, a partir da eq. (2). a, t 2 3a a a, t i a, t a 2 A eq. (3) só pode ser resolvida por métodos analíticos aproximados ou métodos numéricos. Aqui, nós iremos resolvê-la numericamente. t

39 Fornecemos a função de onda inicial na forma, C E (3/4) a exp(-4 E a 2 ), onde C é a constante de normalização e E é a energia média da função de onda inicial. Essa energia é devida a radiação. Vamos considerar um exemplo em que Λ=0.1 e o infinito na direção a esta localizado em a=17.3. Veremos uma sequência de ψ(a,t ) 2 s em 10 instantes de tempo diferentes para o caso de Em = 260. Como mostra a figura asseguir, neste caso, teremos ace = 3.48 e acd = 4.23.

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51 4.3 Probabilidade de Tunelamento. Nós vamos calcular, agora, a probabilidade de tunelamento (PT) em relação à E. A PT é definida como, acd 30 ψ(a,t ) 2 da, aonde alteramos o valor do infinito para a=30. Para calcular PT como uma função de E, fixamos Λ=0.01. Nesse caso, o valor máximo da barreira de potencial será em 225.

52 Usaremos 47 valores distintos de E. Desde E = 0.5 até 224. Consideramos o ψ(a,t ) obtido no último passo temporal. Vemos asseguir o gráfico Log(PT) X E, com os pontos obtidos numéricamente. O uso do Log(PT) é devido ao fato que alguns valores de PT são muito pequenos.

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54 Como podemos ver da figura, a PT cresce com a energia. O tunelamento a partir do nada acontece quando E=0, o que significa que não existe mais radiação. Podemos, ainda, calcular o tempo τ que o Universo leva para surgir. Isso quer dizer, o tempo que ele leva para tunelar. No presente caso, τ = 2 ace (1/PT). Τ cresce com a diminuição de E. Como exemplo, calculamos τ usando os dados do exemplo acima. Para E=224, τ=4.9132x10 3 e para E=0.5, τ = x10 44.

55 5- Conclusões. A Relatividade Geral aplicada a cosmologia prevê o início do Universo na singularidade do Big Bang. A quântização da Relatividade Geral resolve o problema das singularidades. Vários modelos em Cosmologia Quântica eliminam a singularidade do Big Bang. Através do tunelamento quântico podemos entender como o Universo surgiu do nada com um certo tamanho diferente de zero.