I. SISTEMA DE PARTÍCULAS IDÊNTICAS E SEGUNDA QUÂNTIZAÇÃO. A. Permutação de Partículas

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1 I. SISTEMA DE PARTÍCULAS IDÊNTICAS E SEGUNDA QUÂNTIZAÇÃO A. Permutação de Partículas Vamos considerar um sistema formado de 2 elétrons. Na Mecânica Quântica, surge uma nova situação quando tratar mais de uma partículas idênticas, diferentemente no caso de Mecânica Clássica. Na Mecânica Clássica, o fato de que os dois elétrons serem idênticos não gera problema especial, pois duas partículas são sempre mantém suas identidades separadamente, e podemos distinguir-las seguindo suas trajetórias, em princípio. No entanto, na Mechânica Quântica, quando as funções de ondas de duas partículas superpõem, a questão de indistinguibilidade de duas partículas traz um novo aspecto para o estado quântico do sistema composto de duas partículas como vemos em seguida. Sejam { ϕ α } uma base para o espaço de Hilbert de uma das elétrons. O sistema composto é descrito pelo conjunto de estados de produto externo destes vetores de estado da base de cada uma e, portanto, o conjunto, { ϕ α ϕ β } forma a base do espaço de Hilbert do sistema composto, onde representa o produto direto (produto externo), sendo que os primeiro e segundo elementos correspondem, respectivamente, aos espaços de Hilbert da primeira e da segunda elétron. Se as duas partículas forem distintas, os dois estados como ϕ α ϕ β, ϕ β ϕ α () obviamente devem representar estados distintos do sistema composto. Por outro lado, quando as duas partículas são idênticas, não teremos condição de associar uma dela para o espaço de Hilbert de primeira, e outra no segundo e mantendo essa associação. No sentido quântico, temos um único estado, para que podemos dizer que existe um elétron no estado α e outro no estado β. Ou seja, embora no sentido matemático, os dois vetores acima representariam dois vetores distintos no espaço de produto externo, não todas combinações lineares desses dois vetores necessariamente correspondem a situação física para um sistema de duas partículas idênticas. Mas, sim, existe apenas uma certa combinação linear que deve corresponder ao estado, em que existe um elétron no estado α e outro no estado β, sem distinguir-las. Deve haver uma redução do espaço do produto direto para descrever os estados de sistema de dois elétrons.

2 Para ver que tipo de combinação linear pode ocorrer, podemos considerar um operador P que troca o papel de duas partículas e 2 no espaço de produto externo. Por exemplo, P { ϕ α ϕ β } = ϕ β ϕ α. Obviamente temos para qualquer estados ϕ α ϕ β, portanto, P 2 { ϕ α ϕ β } = ϕ α ϕ β, P 2 =. e os autovalores são ±, com autovetores, ψ ± = 2 { ϕ α ϕ β ± ϕ β ϕ α }. Como falamos, o fato de que as duas partículas serem idênticas implica em que o estado físico corresponde ao sistema de duas partículas devem ser um dos autoestados do operador P. Isto porque, se duas partículas são idênticas, a operação P sobre um estado físico do sistema não deve altera o estado. Assim, um estado físico deve corresponder, ou para uma combinação linear símetrica, ou para uma combinação linear antisímetrica dos dois estados, Eq.(). Para obter a função de onda, podemos introduzir uma base de configuração, { r r 2 } (2) e temos ψ ± ( r, r 2 ) = ( r r 2, ψ ± ) = 2 { r ϕ α r 2 ϕ β ± r ϕ β r 2 ϕ α } = 2 {ϕ α ( r ) ϕ β ( r 2 ) ± ϕ β ( r ) ϕ α ( r 2 )}. Note que a base Eq.(2) é só quando as partículas não possuem graus de liberdade internos como spin, ou isospin. Quando existem graus de liberdades internos, devemos utilizar as coordenadas ξ = ( r, χ) (3) 2

3 onde χ representa o conjunto de números quânticos que especifica os graus de liberdades internos. Por exemplo, no caso de elétron, α representaria o estado de spin e assume um dos dois valores +/2 ou /2. Assim, neste caso devemos utilzar a base, { ξ ξ } 2 (4) B. Grupo de Permutação e Sua Representação Aproveitando a discussão sobre a natureza de partículas idênticas, vamos revisar a noção de grupo de permutação e o significado e aplicação das suas representações irredutiveis na mecânica quântica. C. Consideremos um conjunto de operações g = {α, β,...} que manter o sistema invariante e esse conjunto forma um grupo. Por grupo, entendemos primeiramente que está definida uma operação entre quaisquer dois elementos α e β do g, cujo resultado também é elemento do g. Essa operação é chamado produto do grupo e denotamos por. Assim, o conjunto é fechado pelo produto, e expressamos esse fato γ = α β g, α, β g. (5) Para formar um grupo, o produto e o conjunto g têm que satisfazer as seguintes propriedades.. Existência do elemento de identidade e g, tal que e α = α e = α, α g, (6) 2. Existência do elemento inverso α para α g, tal que α α = α α = e. (7) 3. Associatividade do produto, ou seja, α (β γ) = (α β) γ. (8) 3

4 a b c 2 3 b c a 2 3 Para um sistema de N partículas, o conjunto de todas as operações de trocar os estados de partículas forma obviamente um grupo, convencionando a operação de não troca nada como o elemento de identidade. Esse grupo é chamado o grupo de permutação de N elementos e denotamos por S N. Um elemento do grupo S N é comunmente denotado por P i i 2...,i N = 2 N (9) i i 2 i N indicando que a ordenação (, 2,.., N) transforma em outra (i, i 2,.., i N ). Por exemplo, consideramos N caixas numerados de a N fixos na mesa e colocamos N bolas com cores diferentes. Podemos definir a operação correspondente a P i i 2...,i N como sendo um procedimento para colocar a bola na caixa na caixa i, a bola na caixa 2 na caixa i 2, assim por diante. Veja o examplo na figura abaixo no caso de P 32. Note que nesta convenção, as caixas não alteram mas permutamos os conteúdos das caixas. Para a aplicação na mecânica quântica, podemos associar essas operações como trocar os estados de cada partículas no sistema de N partículas. Convencionamos que as caixas acima correspondem à partículas, e os conteúdos os estados que partículas ocupam. Assim, para uma função de onda do sistema de 3 partículas distinguíveis, sendo as partículas, 2 e 3 estão nos estados α, β e γ, respectivamente, ( ψ ξ, ξ 2, ξ ) ( ) ( ) ( ) 3 = ϕ ξ α ϕ ξ2 β ϕ ξ3 γ, (0) a aplicação da operação P 32 a função de onda do sistema se torna ( ψ ξ, ξ 2, ξ ) ( 3 = P 32 ψ ξ, ξ 2, ξ ) 3 = ϕ β ( ξ ) ϕ γ ( ξ2 ) ϕ α ( ξ3 ). () 4

5 Se as partículas são distinguíveis mas idênticas físicamente (por exemplo, como na bolas na figura acima, onde as bolas tem mesmas propriedades físicas mas distinguíveis pela, por exemplo, seus cores ou letras impressas), as duas funções de ondas dadas pelas Eqs.(0) e () correspondem aos dois estados distintos. Entretanto, se as duas partículas são fisicamente idênticas, a energia do estado da Eq.(0) deve ser idêntica a do estado da Eq.(). Assim, neste caso, existem 2 estados distintos para um dado valor de energia, ou seja, o nível de energia é degenerado. Entretanto, se as duas partículas são realmente indistinguíveis, não devem existir tais estados distintos quando trocamos os estados entre as partículas. Vamos formular matematicamente a relação entre a degenerescência do espectro de energia e o grupo de simetria do sistema. Para isto, introduzimos o conceito de representação do grupo. Quando um mapeamento de um grupo para um outro grupo preserva a regra de produto do grupo original, o mapeamento é chamado uma representação. Um exemplo mais simples de representação é a representação trivial. Para um grupo qualquer, a representação trivial é o mapeamento de qualquer elemento do grupo para o número. O conjunto formado de um único elemento forma um grupo pela regra normal de produto. Assim, se α g, α, e αβ = γ, obviamente preserva a regra de multiplicação, pois =. Quando os elementos de grupo representam algum procedimento físico, podemos considerar sempre o conjunto de estados que são afetados pelo esse procedimento do grupo. Por exemplo, vamos considerar o grupo S 2. Esse grupo tem dois elementos apenas, um é a identidade ê, e outro a permutação de dois números, P 2 e a regra de produto do grupo é ê ê = ê, ê P 2 = P 2, (2) P 2 ê = P 2, P 2 P 2 = ê. 5

6 Podemos considerar as duas configurações possíveis de ordenamento de 2 números, (, 2) e (2, ) e associamos dois vetores ortonormais no espaço vetorial bidimensional, como (, 2), 0 (2, ) 0. No caso de S 2, Já que ê (, 2) = (, 2), ê (2, ) = (2, ), P 2 (, 2) = (2, ), P 2 (2, ) = (, 2), podemos associar 2 matrizes que representam as operações acima como ê U (ê) = 0 (3) 0 P 2 U (P 2 ) = 0 (4) 0 de tal forma que U (ê) 0 = 0, U (ê) 0 = 0, U (P 2 ) 0 = 0, U (P 2 ) 0 =. 0 6

7 Note que o mapeamento Eqs.(3) e (4) preserva as regras de produto do grupo S 2, ou seja, a Eq.(2) fica preservada em termos de produtos matriciais, U (ê) U (ê) = U (ê), U (ê) U (P 2 ) = U (P 2 ), U (P 2 ) U (ê) = U (P 2 ), U (P 2 ) U (P 2 ) = U (ê). Assim, o mapeamento, Eqs.(3) e (4) é uma representação do grupo S 2 em termos de matrizes 2 2. Vamos considerar o grupo S 3, ou seja, o conjunto de todas as permutações de 3 diferentes objetos que estão nas caixas, 2 e 3. Para simplicidade, representamos os 3 objetos em termos de 3 números,,2 e 3. Denotanos uma determinada configuração dos objetos nas caixas, por exemplo, 3 na caixa, 2 na caixa 2, e na caixa 3, por [ 3 2 ]. (5) Obviamente para S 3, as operações de permutar os objetos nas caixas, podem resultar em 6 configurações possíveis, [ ] 2 3, (6) [ ] 2 3, (7) [ ] 3 2, (8) [ ] 3 2, (9) [ ] 2 3, (20) [ ] 3 2, (2) Note que essas confugurações acima não são os elementos do grupo, mas os possíveis resultados que um elemento do grupo que causa a partir de uma configuração dada. Por [ ] exemplo, se a configuração inicial for 2 3, as configurações acima podem ser obtidas pelas operações do grupo S 3 por [ ] [ P = 2 3 ], (22) 7

8 Lembre que a notação P i i 2 i 3 2 na caixa i 2, e da caixa 3 na caixa i 3. [ ] [ ] P = 3 2. (23) [ ] [ ] P = 3 2, (24) [ ] [ ] P = 2 3, (25) [ ] [ ] P = 3 2. (26) indica que mudar o conteúdo da caixa na caixa i, da caixa É obvio que as duas operações sucessivas do grupo S 3 resultam num das 6 configurações acima. Assim, podemos construir a tabela de "multiplicação" do grupo como P P2 P3 P4 P5 P6 P P P 2 P 3 P 4 P 5 P 6 P2 P 2 P P 6 P 5 P 4 P 3 P3 P 3 P 5 P P 6 P 2 P 4 P4 P 4 P 6 P 5 P P 3 P 2 P5 P 5 P 3 P 4 P 2 P 6 P P6 P 6 P 4 P 2 P 3 P P 5 (27) onde para facilitar visutal, associamos P 23 P, (28) P 23 P 2, (29) P 32 P 3, (30) P 32 P 4, (3) P 32 P 5, (32) P 23 P 6, (33) Na tabela (27), estão indicado os resultados dos produtos dos dois elemento do grupo i j = k, sendo i na primeira coluna, e j na primeira linha. Por exemplo, da tabela (aqui, ainda 8

9 para simplificar, omitimos a letra P em P, P 2,..etc) (34) temos P 3 P 4 = P 6 (35) indicando P 32 P 32 = P 23 (36) Podemos representar os elementos do grupo S 3 em termos de matrizes. Para isto, consideramos o espaço vetorial de 6 dimensões, associando para cada configuração um vetor base ortonormal, [ 2 3 ] ξ = , [ 2 3 ] ξ 2 = , [ 3 2 ] ξ 3 = , [ 3 2 ] ξ 4 = , [ 2 3 ] ξ 5 = , [ 3 2 ] ξ 6 = (37) Podemos considerar o mapeamento acima como o mapeamento um a um do elemento do grupo de N elementos a vetores ortonormais num espaço vetorial de dimensão N. 9

10 A regra de produto do grupo é nada mais que uma transformação de um elemento do grupo para um outro elemento. Assim, no espaço vetorial acima construido, podemos associar os elementos do grupo para operadores no espaço, ou seja matrizes. Essa associação constitui uma representação do grupo. No caso do grupo S 3, a representação fica as matrizes de 6 6, e obviamente devemos ter P 23. (38) Para construir o resto da representação, podemos seguir o seguinte procedimento. Primeiro, trocar a ordem de linhas na tabela de multipricação, de tal forma que o elemento na tabela fica sempre na posição diagonal. No caso da tabela (27), trocamos a 5 a linha e 6 a linha, tendo, (39) Agora, extrai o quadro da parte (6 6) da tabela, (40)

11 e construimos um comjonto de matrizes, {M i, i =,.., 6} colocando no elemento da matriz correspondente no local onde aparece i no quadro acima M =, M 2 =, M 3 =, M 4 =, M =, M 6 =. (4) Com isto, vejamos a tabela de multiplicação está representada em termos de matrizes. Por exemplo, temos de fato, M 3 M 4 = = = M 6, etc. (42) Assim, estabelecemos uma representação do grupo S 3 pelas matrizes, {M i, i =,.., 6}. Uma representação como essa, onde exitem correspondência um a um entre os vetores base da representação e os elementos do grupo é chamado "representação fiel". Para um grupo discreto e finito, podemos construir sempre a representação fiel a partir da tabela de multiplicação do grupo. Assim, as matrizes para a representação fiel de um grupo com N elementos é (N N). Por outro lado, podemos construir outras representações com dimensão menor. Por exemplo, vamos considerar o espaço vetorial formado pela base Eq.(37). Embora a representação

12 fiel utliza o espaço todo, se olharmos com cuidado, existem algum subespaços que fica invariante sob à aplicações das matrizes da Eq.(4). Por exemplo, consideramos o vetor, e S = 6. En`tão, obviamente M e S = e S, e para outras matrizes verficamos facilmente que M i e S = e S, i =, 2,.., 6. Isto porque, as matrizes M is possui sempre apenas um elemento em cada linha. O resultado acima mostra que o subespaço (unidimensional) formado do vetor e S é não alterado pelas aplicações dos elementos do grupo. O tal espaço é chamado subespaço invariante da representação do grupo. Podemos ver que exite um outro subespaço invariante na representação fiel para o grupo S 3. Dedinindo e A = 6. 2

13 verificamos facilente que M e A = e A, M 2 e A = e A, M 3 e A = e A, M 4 e A = e A, M 5 e A = e A, M 6 e A = e A, o que mostra que o subespaço formado pelo vetor e A (unidimensional) é novamente invariante sob operações de matrizes {M i, i =,.., 6}. Isto porque, os elementos de e A com sinais negativos correspondem aos elementos do grupo S 3 com sinais de permutação netativa. Note que os dois vetores, e S e e A são ortogonais. ( e A e S ) = 0. Assim, o espaço vetorial original de dimensão 6 fica decomposto com {6} = {} S {} A {4}. (43) Podemos construir a base do subespaço de dimensão 4 com 4 vetores ortogonais a e A e e S. Para isto, temos que achar 4 vetores ortogonais entre si e tambem ortogonal a e S e e A.Vamos denotar tais vetores como e i = A condi;áo de ortogonalidade com e S fica a i b i c i d i e i f i, i =, 2, 3, 4. a i + b i + c i + d i + e i + f i = 0, e com e A fica a i b i c i d i + e i + f i = 0. 3

14 Com isto, temos dois grupos separados, correspondente aos espaços de sinal de permutação positiva e negativa. a i + e i + f i = 0, b i + c i + d i = 0. Uma possible conjunto de 4 soluções linearmente independentes para esse sistema é, por exemplo, a =, e =, f = 0, b = 0, c = 0, d = 0, a 2 =, e 2 =, f 2 = 2, b 2 = 0, c 2 = 0, d 2 = 0, a 3 = 0, e 3 = 0, f 3 = 0, b 3 =, c 3 =, d 3 = 0, a 4 = 0, e 4 = 0, f 4 = 0, b 4 =, c 4 =, d 4 = 2, de tal forma que os normalized vetores, e i ficam e = 0, e 2 = 0, e 3 =, e 4 = Esses vetores formam uma base ortonormal no subespaço {4} ortogonal a { e S } e { e A }. É fácil de verificar que a aplicação de qualquer elemento do grupo do S 3 nunca ter componentes dos { e S } e { e A }. Ou seja, e S M i e j = 0, e A M i e j = 0. 4

15 Por exemplo, M 3 e 4 = = que claramente ortogonal a { e S } e { e A }. A razão disto é que numa representação fiel, a aplicaçao de qualquer elemento do grupo resulta em permutação dos elementos do vetor. Também, os componentes no subespaço de um determinado sinal de permutação passa para o subespaço de outra se o sinal do elemento do grupo for negativo, e permanece no mesmo subespaçco se o sinal for positivo. Podemos calcular os elementos de matrizes, e i M α e j que constituirá a representação matricial de dimensão 4. Entretanto, em vez desta base, { e i, i =, 2, 3, 4}, vamos utilizar uma outra base, ζ = 2 ( e + e 3 ), ζ2 = 2 ( e e 3 ), ζ 3 = 2 ( e 2 + e 4 ), ζ4 = 2 ( e 2 + e 4 ), 5

16 e construimos matrizes M (4) α, α =,..., 6, formadas de elementos de matriz ζ i M α ζ j. Temos M (4) = M (4) 4 = M (4) 6 = , M (4) = / /2 0 /2 3/ /2 /2 0 3/2 0 0 /2 / /2 0 /2 3/ /2 /2 0 3/2 0 0 /2, M (4) 5 = / /2 0 /2 3/2 0, 0 3/2 /2 0 3/2 0 0 /2 / /2 0 /2 3/2 0 0, 3/2 /2 0 3/2 0 0 /2, M (4) 3 = Observando cuidadosamente na forma matricial acima, percebemos que existe dois subespaços invariantes no subespaço {4}. Ou seja, se consideramos o subespaço formado apenas { ζ, ζ 4 }, os elementos do grupo ficam mapeados à matrizes (2 2) como P M (2) = P 4 M (2) 4 = 0 0 /2 3/2 3/2 /2, P 2 M (2) 2 = 0 0, P 5 M (2) 5 =, P 3 M (2) 3 = /2 3/2 3/2 /2 /2 3/2 3/2 /2, P 6 M (2) 6 = Podemos verificar que a regra de multiplicação está preservada. Por exemplo, P 5 P 3 /2 3/2 /2 3/2 3/2 /2 3/2 /2 = P (veja a tabela (27)). O mapeamento forma a representação do grupo S 3 de dimensão 2,e vamos denotar como {2}. 6 /2 3/2 3/2 /2 (44).

17 { O subespaço formado de ζ2, ζ } 3 também é invariante. Neste espaço, temos o mapeamento, P 0, P 2 0, P P 4 /2 3/2, P 5 3/2 /2 /2 3/2 3/2 /2 /2 3/2 3/2 /2, P 6 /2 3/2 3/2 /2 o que também constitui uma representação de dimensão 2 que denotamos como {2 }. Finalmente, a representação inicial (representação fiel) do grupo de dimensão 6 fica decomposto em 4 distintas representações menores, correspondendo a decomposição do o espaço vetorial original de dimensão 6 em espaços vetoriais invariantes sob o grupo, como. (45) {6} = {} S {} A {2} {2 }. (46) Essa decomposição pode ser feito através de uma transformação unitária que faz a mudança da base da partir da base original para as novas bases em subespaços invariantes, { ξ, ξ 2, ξ 3, ξ 4, ξ 5, ξ } U 6 { e S, e A, ζ, ζ 4, ζ 2, ζ } 3 Com isso, as matrizes da representação original se torna na forma diagonal em blocos, ɛ UM i U 0 0 M (2) i (,) = M (2) i (,2) M (2) i (2,) M, i =,.., 6 (48) (2) i (2,2) M (2) i (,) M (2) i (,2) M (2) i (2,) M (2) i (2,2) onde ɛ representa ±, de acordo com o sinal da permutação M i, e M (2) i (α,β) é o (α, β)-elemento da matriz da representação em {2}. Nos subespaços {2} e {2 }, não existe nenhum subespaço menor. Neste caso, não podemos achar as representações de menor dimensão, e {2} e {2 } são ditas as representações irredutíveis. O procedimento acima esclarece a idéia de como chegar a decomposição completa de representação do grupo S 3, mas no caso de S n o método se torna impraticável. Por exemplo, 7 (47)

18 o proximo grupo, S 4, temos que trabalhar com o espaço vetorial de dimensão 4! = 24. As matrizes ficam Entretanto, existe uma forma mais poderosa para identificar os subespaços invariantes. D. Decomposição de produto direto de representação de um grupo Vamos considerar um sistema composto de 2 partículas com spin /2. O estado de spin do sistema pode ser obtido com a adição de momento angular, 2 2 = 0 + As funções de onda correspondentes são obtidas utilzando os coeficientes de Clebsch-Gordan, para o estado j =, e, m = 0, 0 = /2 µ= /2 /2 µ= /2 para o estado j = 0. Explicitamente, temos, = 2, 2 () 2, 2 (2) ( 2 2 µ m µ m) 2, µ () 2, m µ (2) ( 2 2 µ µ 00) 2, µ () 2, m µ (2), 0 = 2 { 2, 2 () 2, 2 (2) + 2, 2 () 2, 2 (2) }, = 2, 2 () 2, 2 (2) e 0, 0 = 2 { 2, 2 () 2, 2 (2) 2, 2 () 2, 2 (2) } Notamos que os estados de j = são todos simetricos em relação à troca de partícula, ψ a () ψ b (2) ψ b () ψ a (2) no entanto o estado de j = 0 é antisimetrico, trocando o sinal. Este fato de que todos os estados que possuem a mesma propriedade de simetria ficam agrupados num mesmo estado de j não é acidental. Vamos considerar um sistema composto de n partículas. Neste caso, o espaço de Hilbert para o sistema como todo é o produto direto de espaços de Hilbert, H = H H 2 H n 8

19 e estados do sistema são escritos como ψ >= C i i 2 i n ψ i > () ψ i2 > (2) ψ in > (n) Consideramos ainda um grupo de simetria g para cada partícula. Denotando o gerador deste grupo para i-esimo partícula por Λ (i), o gerador do grupo para o estado do sistema todo é Λ = i Λ (i) ou seja vale a adição dos geradores. Mas neste caso, qualquer permutação das partículas não altera o gerador do grupo. Em outras palavras, denotando o operador de permutação entre partículas por P, temos P ΛP = Λ Como sabemos, o conjunto de todas as permutações formam um grupo, S n. Obviamente um subespaço invariante do grupo g é um subespaço invariante do grupo S n, e vice-versa. Isto é a razão das simetria dos estados no exemplo acima. Em geral, se decompomos o espaço de acordo com o grupo S n, podemos ter os subespaços invariantes para o grupo g, simultaneamente. Caso em que estes são únicos subespaços invariantes do grupo g, teremos automaticamente as representações irredutíveis do grupo g quando o espaço é decomposto em subespaços invariantes irredutíveis do grupo S n. E. Diagrama de Young Os subespaços invariantes do grupo S n são classificados atraves de Diagrama de Young. Por exemplo, no caso de n = 2, existem 2 subespaços invariantes, simetrico e antisimetrico. Representamos diagramaticamente estes subespaços por a b e a b respectivamete. No primeiro diagrama, as caixas horizontais representam que os índices dentro das caixas são simetricos, no entanto, no segundo diagrama, as caixas verticais indicam que os índices são antisimetricos. Para n = 3, analogamente o diagrama 9

20 a b c representa os índices são simetricos em relação a todas as permutações. O vetor correspondente nesta simetria seria, ψ S >= 6 P erm i () i (2) 2 i (3) 3 onde a soma é feita sobre todas as permutações dos estados, {i, i 2, i 3 }. Por outro lado, o diagrama, i i 2 i 3 representa os índices são antisimetrico em relação as permutações. O vetor correspondente nesta simetria seria ψ A >= ( ) P i () 6 P erm i (2) 2 i (3) 3 onde ( ) P é o sinal da permutação ( permuntação par=, permuntação ímpar= ). No caso n = 2, os dois subespaços invariantes do S 2, simetrico e antisimetrico, esgotam o espaço total. Mas, para n > 2, existem subespaços invariantes, não completamente simetricos nem antisimetricos. Por exemplo, podemos verificar pelo cálculo direto, os dois vetores, ψ = a () b (2) c (3) + b () a (2) c (3) c () b (2) a (3) c () a (2) b (3) ψ 2 = a () b (2) c (3) + b () a (2) c (3) a () c (2) b (3) b () c (2) a (3) formam uma base (não ortogonal) para a representação do grupo S 3 de dimen`sao 2 e são linearmente independentes aos vetores, ψ S e ψ A. Isto é, qualquer permutação aplicado nestes estados pode ser escrita como combinação linear destes. A inspeção destes veotres mostra que eles tem simetria em relação a troca de a b e antisimetrica para a troca de a c ou b c. Podemos expressar simbolicamente a simetria destes dois estados por a b. c 20

21 Outro conjunto de vetores que linearmente independente aos ψ S, ψ A, ψ e ψ 2 é composto de dois vetores tipo, ψ 3 >= a () c (2) b (3) + c () a (2) b (3) b () c (2) a (3) b () a (2) c (3) ψ 4 >= a () c (2) b (3) + c () a (2) b (3) a () b (2) c (3) c () b (2) a (3) que também forma uma base não ortogonal para a representação do grupo S 3. Podemos expressar simbolicamente este conjunto por a c b Em geral, os espaços invariantes do grupo S n é representados através de diagrama de Young, a a 2 a n b b 2 b n2. z Fig. Diagrama de Young onde o número de caixas de i esima linha é denotado por n i satisfazendo n n 2 n l No diagrama acima, as letras numa linha horizontal representam os índices simetricas e as letras numa coluna vertical representam os índices antisimetricas. Para dada partição do número n, {ñ} {n n 2 n l } corresponde um diagrama de Young e por sua vez corresponde a um subespaço invariante do grupo S n. A dimensão deste subespaço invariante pode ser obrida pela maneira de preencher as caixas do diagrama pelos números {,..., n}, satisfazendo as seguintes regras:. Números numa linha horizontal deve ser crescente de esquerda para direita. 2

22 2. Números numa coluna vertical deve ser crescente acima para baixo. Por exemplo, para S 4, temos diagramas,,,,, Para o primeiro diagrama, existe só uma maneira de preencher as caixas pelos números satisfazendo as regras acimas, i.e., 2 3 4, portanto para o segundo diagrama, temos 3 maneiras, 2 3 4, 2 4 3, Assim, a dimensão do subespaço invariante correspondente ao primeiro diagrama é um, no entanto, do segundo, a dimensão é 3. É fácil de verificar que o diagrama corresponde ao subespaço de dimensão 2, Em geral, existe m subespaços que correspondem ao mesmo diagrama de Young de dimensão m. F. G. Bósons e Férmions É estabelecido empiricamente que, as partículas existem na realidade, são classificadas em termos de autovalores do operador P. Para uma dada espécie de partícula, o autovalor de P é sempre manter mésmo. Por exemplo, para elétron, P =, e para fótons, P = +. Partículas que possuem autovalor de P positivo é chamado de Bósons e partículas que possuem autovalor negativo é chamado de Férmions. 22

23 Um outro fato importante é que os bósons têm spin inteiro (0,, 2..) e fermions têm spin semi-inteiro (/2, 3/2,..). Esta relação entre spin e estatística não pode ser entendido dentro do contexto da Mecânica Quântica não relativística, mas num formalismo de teoria quântica de campos relativístico, podemos mostrar a necessidade de tal relação. Abaixo, mostramos spin de alguns partículas elementares. Férimons de Spin /2 leptons (elétrons, neutrinos, muons, etc. que não interage fortemente), quarks e suas antipartículas. Bósons de spin Fótons, Bósons Fracos (W, Z) e gluons Bósons de spin 2 Graviton (ainda não é detetado) A relação entre spin e estatística vale também para um sistema composto. Por exemplo, o proton é composto de 3 quarks e gluons. Assim, o spin do proton é semi-inteiro (/2 no estado fundamental) e, portanto, é um férmion. O méson π é um estado composto de quark e antiquark e gluons. Assim, π tem spin inteiro (no estado fundamental 0) e, portanto, um bóson. O núcleo de 4 He é composto de 2 prótons e 2 neutrons, tendo spin inteiro (no estado fundamental 0) e é bóson, no entanto, 3 He é um férmion. Para um sistema composto, na verdade o spin do sistema é o momento angular do sistema e, portanto, a soma de momento angular orbital e a soma de spins de cada constituintes. H. Sistema de N partículas Podemos extender o argumento para os estados de um sistema composto de mais de 2 partículas idênticas. Podemos mostrar que somente 2 possibilidades para um sistema composto de N parttículas. Para o estado onde tem uma partícula no estado α, outra no α 2 e por diante, o vetor de estado fica Ψ S {α, α 2,..., α N } = ϕ α ϕ α2 ϕ αn, (49) N! ou Ψ A {α, α 2,..., α N } = ( ) P ϕ α ϕ α2 ϕ αn, (50) N! P onde o somatório P representa a soma sobre todas as pertumutações de indices {α} = {α, α 2,..., α N } e ( ) P é a paridade da permutação P. Para um sistema de N bósons 23 P

24 idênticos, o estado do sistema é descrito pelo Ψ S (S para simétrico) e para um sistema de N fermions idênticos, o estado do sistema é descrito pelo Ψ A (A para anti-simétrico). Os estados de uma partícula { ϕ α } são chamados como estados de partículas simples. I. Princípio de Exclusão de Pauli e Determinante de Slater Uma conseguência direta da afirmação acima é que, para um sistema de fermions, se alguns de índices de estados coincidem, o vetor de estado Ψ A {α, α 2,..., α N } se torna nulo. Ou seja, não há estado do sistema composto que contém mais de uma partícula no mesmo estado. Esse resultado é nada mais que o Princípio de Exclusão de Pauli. Para o sistema de bósons, não há esta limitação. Para a função de onda, introduzindo a base de configuração, { r r 2 r N } temos e Ψ S {α} ( r, r 2,... r N ) = ϕ α ( r ) ϕ α2 ( r 2 ) ϕ αn ( r N ), (5) N! P Ψ A {α} ( r, r 2,... r N ) = ( ) P ϕ α ( r ) ϕ α2 ( r 2 ) ϕ αn ( r N ). (52) N! P Note que a função de onda, Eq.(52) pode ser escrita na forma de um determinante (determinante de Slater), ϕ α ( r ) ϕ α2 ( r ) ϕ αn ( r ) Ψ S {α} ( r, r 2,... r N ) = ϕ det α ( r 2 ) ϕ αn ( r 2 ) N!. (53).. ϕ α ( r N ) ϕ αn ( r N ) Note que um estado geral é uma combinação linear desses estados, Ψ S,A ( r, r 2,... r N ) = {α} C {α} Ψ S {α} ( r, r 2,... r N ) onde a somatória tem que ser feita sobre as configurações, {α} = {α, α 2,..., α N }. 24

25 II. REPRESENTAÇÃO DE OCUPAÇÃO E ESPAÇO DE FOCK Um estado de sistema de partículas idênticas, seja bósons ou seja fermions, é especificado completamente quando sabemos quais estados {α, α 2,..., α N } estão ocupados. Assim, podemos considerar uma representação de estado em termos de número de partículas que ocupam os estados. Por exemplo, um estado de 3 bosons, tipo Ψ S {α, α 2, α } (54) pode ser escrito também como Ψ S {n α = 2, n α2 = } (55) já que a ordem de α s na Eq.(54) é irrelevante, ou seja, Ψ S {α, α 2, α } = Ψ S {α, α, α 2 } = Ψ S {α 2, α, α }, etc. Por outro lado, especificar toda hora quais são os estados ocupados é inconveniente. Para isto, podemos extender a representação para todos os estados α s como n, n 2, n 3,.., n i,... (56) onde os índices {, 2,..} indicam estados ordenadas de acordo com certa régra (em geral a ordem da energia) e n is podem ser zeros. Por exemplo, um estado de sistema de 3 bosons, que tem 2 partículas no terceira estado e um no quinto estado é expresso por 0, 0, 2, 0,, 0, 0,.., 0,.... Um sistema de N bósons então pode ser representado na forma Eq.(56) com n i = N. (57) i Chamamos essa representação como a representação de numero de ocupação de partículas simples. Para um sistema de fermions, também podemos expressar como n, n 2, n 3,.., n i,... (58) só que neste caso, n i assume somente o valor 0 ou, devido ao Princípio de Exclusão de Pauli. 25

26 Quando envolve processos que criação de partículas ou absorção de partículas, o número de partícula N não necessariamente mantido. Desta forma, podemos generalizar N para qualquer número, ou seja despensar Eq.(57). O espaço formado de conjunto de vetores, Eq.(56) para bósons, e Eq.(58) para férmions, para qualquer N é dito o espaço de Fock. Naturalmente o espaço de Hilbert de partículas com número total de partícula fixo é um subespaço de espaço de Fock. III. EXEMPLO: GASES IDEAIS QUÂNTICOS Segundo a Mecânica Estatística, a propriedade termodinâmica de um sistema em equilíbrio com temperatura T e potencial químico µ confinado num volume V é calculada a partir de uma quantidade, Z = Z(V, T, µ) = α e (Eα µnα)/kt, (59) onde k é a contante de Boltzmann. Esta funcão é conhecida como função de partição para ensemble gran canonico, onde o somatório tem que ser feito sobre todos os estados do sistema, α, e E α e N α são a energia e o número de partícula do sistema para o estado α. O chave é que a probabilidade de encontrar o sistema exatamente no mícroestado α é dada por p α = Z e (Eα µnα)/kt. (60) Um estado quântico α é especificado em termos de número de ocupação de partículas simples. Isto é, α = {n, n 2, n 3,.., n i,...} e N α = i n i, (6) E α = i ε i n i, (62) onde ε i é a energia de partícula simples no i-esmo estado. Somar sobre todos os α implica somar em todas as possibilidades de ocupações, 26

27 {n, n 2, n 3,.., n i,...}, e portanto, = α n n 2 n ( ) i = i n (63) Quando sabemos explicitamente a função de partição em termos de µ and T, podemos calcular as quantidades termodinamicas como: E = ln Z β, (64) µβ N = ln Z β µ, (65) β S = T (E µn) + k ln Z. (66) onde E é a energia, N o número de partículas, S a entropia do sistema. Note que a derivada parcial na Eq.(64) deve ser feita fixando a quantidade λ = µβ. Comparando Eq.(66) com a relação termodinâmica, podemos identificar S = T E µ T N + P V, (67) T ln Z = P V, (68) β que chamamos o potencial termodinâmico para o ensemble gran canonico. A. Gás de Fermi Ideal Vamos calcular a função de partição explicitamente para um sistema de férmions não interagentes (partículas livres), ou seja gás ideal de fermions. Para fermions, vale o Princípio de exclusão de Pauli, Fermi gas, e os números de ocupação, n i para cada estado i assumem 27

28 apenas 0 ou. Assim, podemos calcular, Z (V, β, µ) = α = { exp β n n 2 n 3 n i i = e βn i(ε i µ) i n i =0, = { } + e β(ε i µ) i e β(eα µnα) n i (ε i µ) } = exp i ln [ + e β(ε i µ) ]. (69) No caso de um gás ideal, o estado de partícula simples pode ser identificado como uma onda plana com número de onda k, podemos substituir o somatório sobre i por uma integral em k no limite termodinâmico, i gv (2π) 3 d 3 k, onde g é o fator estatistico, que conta os graus de liberdade de spin da partícula. For a spin /2 particle, this factor is 2. Para simplicidade, a partir de agora, utilizamos o sistema de unidade em que = c =. Temos ln Z (V, T, µ) = gv (2π) 3 onde ε k é a energia da partícula com momento k. A energia total do sistema fica e o número total de partículas fica E = β = gv (2π) 3 = gv (2π) 3 N = β µ = gv (2π) 3 d 3 k ln [ + e β(ε k µ) ], (70) ln Z (V, T, µ) βµ d 3 k ε k e β(ε k µ) + e β(ε k µ) d 3 k ε k e β(ε k µ) + ln Z (V, T, µ) d 3 k 28 β (7) e β(ε k µ) +. (72)

29 As expressões acima, Eqs.(7) e (72) indicam que o número de occupação do nível de energia ε k do um gás ideal de fermion é dada por f (ε k ) = e β(ε k µ) +. (73) Essa distribuição é conhecido como a função de distribuição de Fermi. A pressão pode ser calculada como P = g (2π) 3 β Finalmente, a entropia do sistema é dada por d 3 k ln [ + e β(ε k µ) ]. (74) T S = E µn + P V. B. Gás Ideal de Bosons Para bosons, a soma sobre estados difere do caso de fermion. Não há restrição sobre os números de ocupação n i de estados de partícula simples, temos que somar sobre todos os números inteiros não negativos. Temos e β(eα µnα) Z (V, β, µ) = α = { exp β n n 2 n 3 n i i = e βn i(ε i µ) i n i =0 = e β(ε i µ) i { } n i (ε i µ) = exp ln [ e ]} β(ε i µ), (75) i onde assumimos ε i µ > 0. (76) Essa condição é necessária para que a soma converge. Introduzindo novamente a integral sobre estados de ondas planas, temos ln Z (V, T, µ) = gv (2π) 3 d 3 k ln [ e β(ε k µ) ]. (77) 29

30 Na forma análoga no caso de fermions, temos expressões para a energia, o número de particulas, e a pressão como E = gv (2π) 3 N = gv (2π) 3 e P = g (2π) 3 β A entropia é dada novamente d 3 k d 3 k ε k e β(ε k µ), (78) e β(ε k µ). (79) d 3 k ln [ e β(ε k µ) ]. (80) T S = E µn + P V. (8) No caso de bósons, o número de ocupação do nível de energia ε k do estado de partícula simples fica f (ε k ) = Note que temos que ter ε k > µ para todo k, então, onde ε 0 é a menor energia de partícula simples. e β(ε k µ). (82) ε 0 > µ (83) C. Gás Ideal Relativístico As expressões acima valem mesmo para um gás relativístico. ε k = k 2 + m 2, (84) onde m é a massa da particula. Expressões para a densidade de número de partículas n, a densidade de energia, e a pressão P ficam escritas na forma de integral, n = ε = g 2π 2 g 2π P = ± g 2π 2 β dk k 2 e β( k 2 +m 2 µ) ±, (85) dk k 2 k2 + m 2, (86) e β( k 2 +m 2 µ) ± [ dk k 2 ln ± e β( k 2 +m 2 µ) ], (87) 0 onde os sinais ± correspondem, respectivamente para o caso de férmions e bósons. certas situações, estas integrais podem ser avaliadas analiticamente. 30 Em

31 IV. SEGUNDA QUANTIZAÇÃO A. Caso de Bósons Foi dito que a noção de espaço de Fock é fundamental para tratar processos que envolvem produção e absorção de partículas, tais como o efeito fotoelétrico ou emissão de fótons pela transição eletromagnética de partículas carregadas. Mas mesmo para os problemas com o número total de partícula N fixo, o espaço de Fock oferece uma forma sistemática de tratar a dinâmica quântica de um sistema de N corpos. Na representação de estado quântico em termos de espaço de Fock, os estados são especificados em termos de números de ocupação dos estados. Assim, uma mudânça de estados pode ser feito pela mudânça de números de ocupação.. Operadores de criação e aniquilação Por exemplo, no espaço de Fock, podemos introduzir um operador a i que elimina uma partícula no estado i. Inversamente, podemos introduzir o operador a + que cria uma partícula no estado i. Então, o operador a + j a i elimina uma partícula no estado i e em seguida cria uma partícula no estado j. O efeito deste operador para um estado no espaço de Fock n, n 2, n 3,.., n i,... fica a + j a i n, n 2, n 3,.., n i,., n j,.. = K n, n 2, n 3,.., n i,., n j +,.., onde K é um constante que pode depender de n i e n j. Assim, o operador a + j a i representa a transição de uma partícula do estado i para o estado j para um sistema de N corpos. No tratamento de um oscilador hârmonicos, já vimos os operadores que cria e elimina quântum de osciladores. Podemos aproveitar a estrutura matemática que aprendemos la. Vamos então introduzir operadores {a, a 2,...} 3

32 e seu conjugado hermitiano, { } a, a 2,..., satisfazendo as seguintes régras de comutação, [ ] a i, a j = δ ij, (88) e introduzimos os operadores de número de partícula N i para cada estado i por N i = a i a i. (89) Podemos mostrar que os comutadores [N i, a j ] = a i δ ij, [ ] N i, a j = a i δ ij. e os autovalores de N i são inteiros não negativos. Sejam {n, n 2,..., n i,...} autovalores de N is. Ou seja, idenficamos o estado de Fock, n, n 2,..., n i,... como o autoestado de N is, N i n, n 2,..., n i,... = n i n, n 2,..., n i,..., i. Supomos que o estado de Fock é normalizado, n, n 2,..., n i,... n, n 2,..., n i,... = δ n n δ n 2 n 2 δ n i n i. Com isto, podemos mostrar que a i n, n 2,..., n i,... = n i n, n 2,..., n i,..., a i n, n 2,..., n i,... = n i + n, n 2,..., n i +,... e n, n 2,..., n i,... = i ( a ni ni! i) 0, 0, 0, 0,..., 0,... 32

33 B. Operadores Gerais no Espaço de Fock. Operador de corpo (partícula simples) Queremos representar operadores correspondente a observáveis em termos de operadores de criação e aniquilação acima introduzidos. Inicialmente consideramos o operador de partículas simples. Um operador partícula simples (por exemplo, a energia cinética) de uma partícula tem a forma no espaço de Hilbert de partícula simples, T () = i i T () j j, (90) i j onde o superscript () significa que esse é um operador de partícula simles. Para um estado de N partículas, o operador do sistema seria a soma deste operador para cada partícula. Assim, na representação de produto direto, Ψ S {α, α 2,..., α N } = ϕ α ϕ α2 ϕ αn, N! o vaor esperado deste operador deve ser N Ψ S {α, α 2,..., α N } T Ψ S {α, α 2,..., α N } = ϕ αl T () ϕ αl P l= = n i i T () i (9) i pois a quantidade T para o sistema de N partículas é dada como a soma de conttibuição de cada uma das partículas. O operador i j na Eq.(90) faz o papel de transforma um estado j em estado i, e para qualquer outro estado ortogonal a j, resulta em vetor nulo. Desta forma, podemos considerar o operador correspondente no espaço de Fock, como i j a i a j. O operador correspondente a Eq.(90) será T = i T () j a i a j i j 33

34 Queremos verificar a Eq.(9). Para isto, n, n 2,..., n i,... T n, n 2,..., n i,... = i,j i T () j n, n 2,..., n i,... a i a j n, n 2,..., n i,... = i,j i T () j (a i n, n 2,..., n i,..., a j n, n 2,..., n i,... ) = i,j i T () j n i n j n, n 2,..., n i,... n, n 2,..., n j,... = i,j i T () j n i n j δ ij = i n i i T () i o que verifica a Eq.(9). 2. Operadores de 2 corpos O operador de dois corpos atua no estado, alterando estados de duas partículas simultaneamente. Um exemplo como este é o potencial entre dois corpos. O operador de 2 corpos no espaçco de Hilbert de duas partículas pode ter escrito na forma ( ) ( ) ( ) ( ) V (2) = i i j j V (2) l l m m i j l m para partículas não idênticas. Para as partículas idênticas, em particular no caso de bósons, temos que utilizar a completeza no espaço de Hilbert simmetrizado. A completeza para um espaço de dois corpos simétricos fica onde (2) S (2) S = 2 ( i j + j i ) ( i j + j i ) (i,j) significa o operador de identidade no espaço de Hilbert de duas bósons idênticos e o somatório é feito sobre os pares de (i, j). Assim, o operador de dois corpos deve ser escrito 34

35 como V (2) = ( i j + j i ) ( i j + j i ) V (2) ( l m + m l ) ( l m + m 2 2 = (i,j) ( ) 2 2 (i,j) (l,m) ( i j + j i ) { ij V (2) lm + ij V (2) ml + ji V (2) lm + ji V (2) ml } ( l m + m l ) = Ψ (2) S 2 (i, j) ij V (2) lm Ψ (2) S (l, m), (92) i,j l,m onde o elemento de matriz, ij V (2) lm é definido como (l,m) ij V (2) lm = ( i j, V (2) l m ), e agora, os somatórios são feitos sobre todos os indices e não sobre pares. Para simplificar, introduzimos também a notação Ψ (2) S (i, j) = { i j + j i } 2 para o estado simétrico de duas partículas, uma no estado de i e outro no j. A expressão Eq.(92) mostra que o funcionamento de um operador de dois corpos é transformar um estado simético de duas particulas Ψ (2) S (l, m) em outro estado simétrico, Ψ (2) S (i, j). Fazendo analogia com o caso de operador de partícula simples, podemos concluir que a representação de um operador de dois corpo no espaço de Fock deve ser V = ij V (2) lm a i 2 a j a la m. i,j l,m 3. Operador de Campo Como mencionamos, os estados de partículas simples, { i } formam uma base ortonormal do espaço Hilbert de uma partícula. Ou seja, os oeradores de criação e aniquilação são representados em termos desta base. Para descrição de estado de uma partícula, podemos considerar a representação de coordenadas, { r }. Assim, podemos também considerar os operadores de criação e aniquilação na representação de coordenadas. 35

36 Para isto, vamos definir um operador, ψ ( r) = i ϕ αi ( r) a i onde ϕ αi ( r) = r i é a função de onda do estado i. Temos as propriedade de ortonormal e completeza, ϕ α i ( r) ϕ αj ( r) d 3 r = δ ij, ϕ αi ( r) ϕ α i ( r ) = δ 3 ( r r ). i Usando a relação de ortonormaldade, podemos inverter a relação entre ψ ( r) e a i, a i = ϕ α i ( r) ψ ( r) d 3 r. O conjugado hermitiano de ψ ( r) é ψ ( r) = i ϕ α i ( r) a i. A relação de comutação entre dois operadores com posição diferente, [ ψ ( r), ψ ( r ) ] = [ ] ϕ αi ( r) ϕ α j ( r) a i, a i i j = ϕ αi ( r) ϕ α j ( r ) δ ij i j = i ϕ αi ( r) ϕ α i ( r ) O operador de número de partícula do sistema, = δ 3 ( r r ) (93) N = i a i a i pode ser expesso em termos de ψ ( r). Temos N = ϕ αi ( r) ψ ( r) d 3 r i ϕ α i ( r ) ψ ( r ) d 3 r = ϕ αi ( r) ϕ α i ( r ) ψ ( r) ψ ( r ) d 3 rd 3 r i = δ ( r r ) ψ ( r) ψ ( r ) d 3 rd 3 r = ψ ( r) ψ ( r) d 3 r 36

37 As regras de comutação com N e ψ ( r) e ψ ( r) fica [N, ψ ( r)] = ψ ( r), [ N, ψ ( r) ] = ψ ( r). Com isto, podemos concluir que o operador de campo, ψ ( r) aniquila uma partícula no ponto r, e ψ ( r) cria uma partícula no ponto r. C. Segunda Quantização O procedimento de introdução de operadores de criação e aniquilação no espaço de Fock acima é feito para formular problemas de muitos corpos na forma sistemática. Entretanto, o método está diretamente relacionado com a quântização de uma teoria quântica de campo. Consideramos um problema de formular a equação de Schrödinger do ponto de vista de Princípio Variacional de teoria clássica de campos. complexo, ψ ( r, t) e a ação I = dt Considerando um campo escalar d 3 r {iψ t ψ ψ Hψ} (94) onde H é o operador de Hamiltoniano de uma equação de Schrödinger, H = 2 2m 2 + V ( r). Considerando ψ ( r, t) e ψ ( r, t) como duas varáveis independentes, temos δi = dt d 3 r [{i t ψ Hψ} δψ + { i t ψ Hψ } δψ] onde no segundo termo, foi utilizada a integral por partes e hermiticidade do operador H. Assim, δi = 0 para δψ, δψ implica em i t ψ = Hψ, e i t ψ = Hψ. As ambas equações são nada mais que a equação de Scrödinger usual. Assim, podemos considerar L = iψ t ψ ψ Hψ (95) 37

38 é a densidade de Lagrangiana para um sistema de campo ψ que satisfaz a equação de Schrödinger. Seguindo o procedimento usual, então o momento canonicamente conjugado, π à variável ψ no ponto r é dado por π ( r, t) = L ψ = iψ ( r, t). (96) Resumindo, esquecendo sua origem, a equação de Schrödinger pode ser considerado um sistema de campo clássico com a densidade de Lagrangiana Eq(95) com o momento canonicamente conjugado, obdescendo o procedimento usual da mecânica clássica de campo. Agora, o que acontece se esse campo clássica seja quantizado? Ou seja, a amplitude do campo ψ no ponto r não é mais númmero mas é um operador, sendo que os autovalores deste operador tem papel de valor observado para o ampitude? Neste caso, podemos seguir o procedimento natural de quantização, ou seja, introduzir a régra de comutação canônica entre o operadores de ψ e seu momento canonicamente conjugado, π. Considerando todos os pontos distintos são independentes, temos (o tempo t tem que ser comun), [ψ ( r, t), π ( r, t)] = iδ 3 ( r r ). (97) Utilizando Eq.(96), vemos que essa condição de quântização canônica fica nada mais que a Eq.(93). Resumindo, o sistema descrito por um campo clássico obdescendo sua equação de movimento, quando quântizar, fica equivalente a sistema de muitos corpos idênticos, cujo função de onda de cada uma dela é descrita pelo campo clássico, e a equação de Schrödinger para partícula simples pode ser vista como a equação de movimento do campo clássico. Esse é razão que o método de espaço de Fock com operadores de criação e aniquilação é referido como 2nda quantização do sistema. D. Caso de Fermion O conjunto de operadores { } a i, a i que satisfazem a regra de comutação Eq.(88) com a definição de operadores de número de partículas, Eq.(89) são aplicaveis somente para bósons, pois autovalores de N i são inteiros não negativos sem restrição. Para fermions, temos que ter um conjunto de operadores onde o número de partícula possui autovalores 0 e, apenas. 38

39 Para ter tal propriedade, o operador de número de partícula N i tem que satisfazer N 2 i = N i. Por outro lado, queremos escrever N i = b i b i. Para satisfazer as propriedades, podemos impor a seguinte regra de anti-comutação, { } b i, b j = δ ij, (98) + {b i, b j } + = 0, (99) { } b i, b j = 0, (00) onde {A, B} + AB + BA é chamado anti-comutador. De fato, da Eq.(98), podemos escrever + N 2 i = b i b ib i b i [ ] = b i b i b i b i = N i b i b i b ib i Mas da Eq.(99) ou da Eq.(00), b i b i = b i b i = 0. Assim, temos N 2 i = N i o que guarante os autovalores de N i são ou ou 0. Podemos calcular o comutador de N i e b j. Temos [N i, b j ] = b i δ ij, [ ] N i, b j = b i δ ij. Seja n, n 2,..., n i,... o autoestado de operadores {N, N 2,..., N i,...}. Temos n i = 0 ou n i = para todos i. Podemos mostrar que b i n, n 2,..., n i,... = 0, se n i = 0, b i n, n 2,..., n i,... = n, n 2,..., 0,..., se n i =, 39

40 e b i n, n 2,..., n i,... = 0, se n i =, b i n, n 2,..., n i,... = n, n 2,...,,..., se n i = 0, Assim, podemos concluir que, de fato, b i e b i partíucla (ferminon) no estado i. são operadores de aniquilação e criação de E. Aplicações do Método de Segunda Quantização. Aproximação de Hartree-Fock - Noção de campo médio Vamos considerar o sistema de Z elétrons de um átomo com o núcleo de número atómico Z. Como a massa do núcleo é bem maior que as massas de elétrons, podemos desprezar, numa boa aproximação, o movimento do núcleo quando trata a estrutura do átomo. Tomando a origem de coordenadas na posição do núcleo, o Hamiltoniano do sistema de Z elétrons na forma de a quantização, H = Z T i i= Z i= e 2 Z r i + e2 2 i j r i r j onde T i é a energia cinética de i esma partícula, e r i sua posição. O primeiro termo é a energina cinética, o segundo termo a energia Coulobmiana entre elétrons e núclio, e o último temo, a energia Coulombinano entre elétrons. O Hamiltoniano no espaço de Fock, ou seja, na forma de segunda quantização, fica H = H 0 + e2 d 3 r d 3 r 2 ψ ( r 2 ) ψ ( r ) 2 r r 2 ψ ( r ) ψ ( r 2 ), onde H 0 = ) d 3 rψ ( r) ( 2 2m 2 e2 Z ψ ( r) r é a parte do Hamiltoniano que envolve apenas o operador de partículas simples. Aqui, queremos determinar o estado fundamental do sistema de Z elétrons, e obter o valor da energia, e restringimos a discussão para os estados estacionários. quantidades não depende do tempo t. Desta forma, todas as A presença de termo de interação entre elétrons implica que os elétrons não se comportam independentemente, e existem correlações entre eles. Ou seja, o vetor de estado do sistema 40

41 não pode ser escrito como apenas um produto direto de estados de cada partículas. Para incluir as correlações no estado não é trivial. Por outro lado, o fato experimental demostra que uma imagem de partículas simples funciona bastante bem quando trata de transição de um elétron de uma camada para outra. Isto não somente ocorre para os fenômenos atômicos, mas também ocorrem na Fisica Nuclear, onde a Hamiltoniano para nucleons (prótons e neutrons) tem a forma H = H 0 + d 3 r d 3 r 2 ψ ( r 2 ) ψ ( r ) V ( r r 2 ) ψ ( r ) ψ ( r 2 ), 2 onde agora H 0 = ) d 3 rψ ( r) ( 2 2m 2 ψ ( r) e V ( r r 2 ) é o potencial de força nuclear entre dois nucleons. O sucesso de modelo de camada proposto em 949 para a descrição de espectro nuclear foi uma surpresa, pois diferentemente no cso atomico, no caso nuclear, sabemos que não existe a força central. O comportamento de nucleons num núcleo mostra que eles sentem um campo comun e atuam como se fosse independente dos outros. A idéia básica é introduzir a noção de campo médio. sistema como H = H 0 + V (2), Escrevendo o Hamiltoniano do onde V (2) representa o termo de interações de 2 corpos, podemos introduzir um potencial de corpo U, H = H 0 + U + (V (2) U), de tal forma que minimizar o efeito de interação residual, (V (2) U). Por enquanto, não sabemos como escolher U. Mas, podemos proceguir de seguinte forma. A parte de um corpo, pode ser escrita como H () = d 3 r H () = H 0 + U ( ] ) d 3 r ψ ( r ) δ 3 ( r r) [ 2 2m 2 + V c ( r) + U () ( r, r) ψ ( r), onde V c ( r) é o potencial Coulombiano do núcleo, e U () ( r, r) é o potencial de um corpo, e consideramos a possibilidade de que isto não seja necessariamente um potencial local. 4